河南省十所重点名校2023年数学高一上期末质量检测试题含解析

河南省十所重点名校2023年数学高一上期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（）A.（－1，1） B.C. D.（2，4）2．函数的图象的一个对称中心是（）A B.C. D.3．已知，，则A. B.C. D.4．的值等于（）A. B.C. D.5．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A. B.C. D.6．若三点在同一直线上，则实数等于A. B.11C. D.37．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是（）A. B.C. D.8．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）A. B.C. D.9．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知角是第四象限角，且满足，则（）A. B.C. D.11．若，，，则（）A. B.C. D.12．已知函数的图像如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________14．经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是__________15．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______16．函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.（Ⅰ）求与的数量积；（Ⅱ）求与的数量积.18．已知函数f(x)＝为奇函数（1）求a的值；（2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明19．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由20．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设.（1）当时，求证：；（2）求的最大值.21．已知圆C过，两点，且圆心C在直线上（1）求圆C的方程；22．已知，求下列各式的值.（1）；（2）.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.【详解】根据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且函数的草图如图，或，由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为故选：C2、B【解析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案【详解】令，，解得：，.所以函数的图象的对称中心为，.当时，就是函数的图象的一个对称中心，故选：B.3、A【解析】∵∴∴∴故选A4、D【解析】利用诱导公式可求得的值.【详解】.故选：D5、A【解析】选项是非奇非偶函数，选项是奇函数但在定义域的每个区间上是减函数，不能说是定义域上的减函数，故符合题意.6、D【解析】由题意得：解得故选7、A【解析】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA=,AB⊥BC且AB=BC=1，∴AC=∴SA⊥AC，SB⊥BC，SC=∴球O的半径R==1∴球O的表面积S=4πR2=4π故选A点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键8、D【解析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.【详解】若，则，所以，，，ABC均错；因为，则，因为，则，即.故选：D.9、D【解析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围【详解】因为，所以.由，得.当时，，又，则因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.故选：D10、A【解析】直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可【详解】由，得，即，∵角是第四象限角，∴，∴故选：A11、A【解析】先变形，然后利用指数函数的性质比较大小即可【详解】，因为在上为减函数，且，所以，所以，故选：A12、B【解析】由函数的图象可得，函数的图象过点，分别代入函数式，，解得，函数与都是增函数，只有选项符合题意，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】|a－b|＝14、【解析】设圆心坐标，则，，，根据这三个方程组可以计算得：，所以所求方程为：点睛：设出圆心与半径，根据题意列出方程组，解出圆心和半径即可15、【解析】先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围.【详解】设，则，所以，在上递增，且为奇函数，所以.故答案为：16、【解析】由x∈(0，)求出，然后，画出正弦函数的大致图像，利用图像求解即可【详解】由题意因为x∈(0，)，则，可画出函数大致的图则由图可知当时，方程有三个根，由解得，解得，且点与点关于直线对称，所以，点与点关于直线对称，故由图得，令，当为x∈(0，)时，解得或，所以，，，解得，，则，即.故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于利用x∈(0，)，则画出图像，并利用对称性求出答案三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(Ⅰ)-18；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到．设设，则得到，，根据数量积的定义及运算率可得所求试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，所以，所以是等腰三角形，且，所以,所以（Ⅱ）由,得，所以点在的角平分线上，又因为点是边上的一点，所以由角平分线性质定理得，所以.因为，所以.设，则，由，得，所以，又，所以点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：（1）在中，若或，则点是的外心；（2）在中，若，则点是的重心；（3）在中，若，则直线一定过的重心；（4）在中，若，则点是的垂心；（5）在中，若，则直线通过的内心.18、（1）a＝－1；（2）函数f(x)在定义域R上单调递增，详见解析【解析】（1）根据定义域为R的奇函数满足f(0)＝0即可求得结果；（2）由定义法知，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，故可证得结果.【详解】（1）因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1，经检验满足题意.（2）f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增理由：设任意的x1，x2，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝.因为x1<x2，所以，所以<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增【点睛】本题考查指数型复合函数的基本性质，要求学生会根据函数的奇偶性求参数以及利用定义法证明函数的单调性，属基础题.19、（1）或，(2)存在实数，使在区间上的最大值为2【解析】（1）由条件幂函数，在上为增函数，得到解得2分又因为所以或3分又因为是偶函数当时，不满足为奇函数；当时，满足为偶函数；所以5分（2）令，由得：在上有定义，且在上为增函数.7分当时，因为所以8分当时，此种情况不存在，9分综上，存在实数，使在区间上的最大值为210分考点：函数的基本性质运用点评：解决该试题的关键是能理解函数的奇偶性和单调性的运用，能理解复合函数的性质得到最值，属于基础题20、（1）见解析（2）【解析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，，再利用三角函数的图像和性质求解.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，.当时，，则，，∴.∴.（2）由三角函数的定义可设，则，，，从而，所以，因为，故当时，取得最大值2.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）；（2）或.【解析】（1）设圆C的圆心为，半径为r，结合题意得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案【小问1详解】根据题意，设圆C的圆心为，半径为r，则圆C方程为，又圆C过，，且圆心C在直线上，∴，解得：，，，故圆C的方程为小问2详解】根据题意，设直线