专题7.8 期末专项复习之基本平面图形十六大必考点（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题7.8基本平面图形十六大考点【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1直线、射线、线段的条数】 1【考点2双中点线段问题】 4【考点3线段的等分点问题】 7【考点4线段动点的定值计算】 12【考点5线段中的参数表示(比例关系)问题】 20【考点6剪绳子(端点重合)问题】 27【考点7动点中线段和差问题】 32【考点8线段的长短比较】 39【考点9时针和分针重合次数与时间】 41【考点10两定角、双角平分线与角度关系】 45【考点11线段、角的规律问题】 55【考点12角度的翻折问题】 58【考点13两块三角板旋转问题】 62【考点14射线旋转与角度的关系】 68【考点15多边形及其对角线】 78【考点16扇形及其圆心角】 81【考点1直线、射线、线段的条数】【例1】（2022·辽宁锦州·七年级期末）如图，C，D是线段AB上的点，若AB=8，CD=2，则图中以C为端点的所有线段的长度之和为______．【答案】10【分析】先根据线段的定义表示出以C为端点的所有线段，再代入数据进行计算即可得解．【详解】解：以C为端点的所有线段分别是AC、CD、CB共3条，∵AB=8，CD=2，∴AC+CD+CB=（AC+CB）+CD=AB+CD=8+2=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了两点间的距离，找线段时要按照一定的顺序做的不重不漏，求和时把相加等于AB的长度的两条线段结合成一组可以使运算更简便．【变式1-1】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有AB，AC，AD3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但AB和BA是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有______条线段．知识迁移：若在一个锐角∠AOB内部画2条射线OC，OD，则这个图形中总共有______个角；若在∠AOB内部画n条射线，则总共有______个角．学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．【答案】6，10，nn-12，6，n+2【分析】问题：根据线段的定义解答；知识迁移：根据角的定义解答；学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．【详解】解：问题：根据题意，则4×325×42nn-1知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=(n+1)n+2学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数12×5×4=10需要车票的种数：10×2=20（种）．故答案为：6，10，nn-12，6，n+2n+1【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．【变式1-2】（2022·北京通州·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有_____条．【答案】3【分析】根据直线的性质来画图解答.【详解】如图，有3条.【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的应用.直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度，经过两点有且只有一条直线，而两条直线相交只有一个交点.【变式1-3】（2022·黑龙江·抚远市第三中学七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，因为1+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．故选：C．【考点2双中点线段问题】【例2】（2022·福建泉州·七年级期末）在一条直线上依次有E、F、G、H四点．若点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，则有（）A．EF=GH B．EG>GH C．GH>2FG D．FG=【答案】D【分析】依据点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，即可得到EF＝FG，EG＝GH，进而得出结论．【详解】解：如图所示：∵点F是线段EG的中点，∴EF＝FG，∵点G是线段EH的中点，∴EG＝GH，∴FG＝12GH故选：D．【点睛】本题主要考查由图判断线段关系，涉及线段的中点概念：把一条线段分成两条相等的线段的点，读懂图形中各个线段之间的关系是解决问题的关键．【变式2-1】（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．(1)若线段AB＝a，CE＝b且(a-16)2+|2b-8|=0，求a，(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．（1）解：∵(a-16)2∴a-16=0，2b-8=0，∴a=16，b=4；（2）解：∵点C为线段AB的中点，AB=16，CE=4，∴AC=12AB=8∴AE=AC+CE=12，∵点D为线段AE的中点，∴DE=12AE=6∴CD=DE-CE=6-4=2．【点睛】本题主要考查非负数的性质，线段中点的有关计算，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．【变式2-2】（2022·山东潍坊·七年级期末）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点．(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）．【答案】(1)BC=7cm；(2)作图见解析，MN=12【分析】（1）根据“点M是AC的中点”，先求出MC的长度，再利用BC=MB-MC，CN=12BC，MN=CM+CN即可求出线段BC，MN的长度；（2）根据题意，M点的位置分两种情况：先画图，再根据线段中点的定义得MC=12AC，NC=12BC，然后利用【详解】（1）解：∵M是AC的中点，∴MC=1∴BC=MB-MC=7cm又N为BC的中点，∴CN=1∴MN=MC+NC=6.5cm（2）解：根据题意，M点的位置分两种情况：①M点的位置在B点左侧，如图所示：∵M是AC的中点，∴CM=1∵N是BC的中点，∴CN=1∴MN=CM-CN=12AC-②M点的位置在B点右侧，如图所示：∵M是AC的中点，∴CM=1∵N是BC的中点，∴CN=1∴MN=CM-CN=12AC-【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，理解线段的中点把线段分成两条相等的线段是解决问题的关键．【变式2-3】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有A，B，C三点，AB=8cm，AC=18cm，点P，Q分别是AB，AC的中点，则PQ=【答案】13cm或【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解．【详解】解：根据题意由两种情况①若B在A，C两点之间，如图：则PQ=AQ-AP=12∵AB=8cm∴PQ=12②若C在A，B两点之间，如图：则PQ=AP+AQ=∵AB=8cm∴PQ=12故答案为：13cm或5cm．【点睛】本题主要考查了线段中点定义、线段的和差等知识点，根据题意正确画出符合题意的图形是解答本题的关键.【考点3线段的等分点问题】【例3】（2022·吉林白城·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为－10，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时间为t（t＞0）秒，解答下列问题．（1）数轴上点P表示的数为，点Q表示的数为（用含t的代数式表示）；（2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；（3）点P追上点Q时，求t的值；（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为．【答案】（1）-10+4t，2+2t；（2）t=43；（3）t=6；（4【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，在结合路程=速度×时间，即可解答（2）根据相反数的定义，在结合（1）的结论列方程即可（3）根据题意列方程求解即可（4）根据题意列方程求解即可【详解】解：（1）数轴上点P表示的数为：-10+4t；点Q表示的数为：2+2t

（2）由题意得-10+4t解得t=即t=43时，点P表示的数和点（3）由题意得4t=2t+2+解得t=6即当点P追上点Q时，t=6（4）由题意得：2--10+4t=解得：t=1.5或t=2.4【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适等量关系流出方程，在求解．【变式3-1】（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若CB=2，则线段AB的长为______．【答案】16【分析】根据中点和四等分点的性质可得AD=BD=12AB，BC=14【详解】解：∵点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点∴AD=BD=12AB∴BC=1∵CB=2，∴AB=16故答案为：16．【点睛】本题考查了线段中点的性质，n等分点的计算，解题的关键是利用数形结合的思想求解．【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝43AB（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝_______（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求ADCE②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【答案】（1）13，（2）3，（3）12cm或24cm【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；（2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分BD=3CD和BD=3CB两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB＝43AB∴CA＝BC-AB=1ACAB故答案为：13（2）①AB＝9cm，由（1）得，CA=13AB=3（cm）DA=(9-3t)cm，CE=(3-t)cm，ADCE②当BD=3CD时，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=2CD=12cm，∴CD=6cm，BD=3CD=18cm，运动时间为：18÷3=6（秒），则AE=6cm，BE=BA+AE=15cm，ED=BD-BE=3cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴DM=1.5cm，BN=4.5cm，MN=BD-DM-BN=12cm，当BD=3CB时，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=12cm，∴BD=3CB=36cm，运动时间为：36÷3=12（秒），则AE=12cm，BE=BA+AE=21cm，ED=BD-BE=15cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴DM=7.5cm，BN=4.5cm，MN=BD-DM-BN=24cm，综上，MN的长是12cm或24cm．【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长．【变式3-3】（2022·辽宁锦州·七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1n【答案】(1)6(2)①12a；②MN=2【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=12AC=4，CN=12BC=2，故MN=CM+CN（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=12AC，CN=12BC，即得MN=12AC+12BC=12AB，故②由AM=13AC，BN=13BC，知CM=23AC，CN=23BC，即得MN=CM+CN=23AC+23BC=23③由AM=1nAC，BN=1nBC，知CM=n-1nAC，CN=n-1nBC，即得MN=CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1n（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC=4，CN=12BC∴MN=CM+CN=6；故答案为：6；（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=12∴MN=12AC+12BC=1∵AB=a，∴MN=12a故答案为：12a②∵AM=13AC，BN=13∴CM=23AC，CN=23∴MN=CM+CN=23AC+23BC=2∵AB=a，∴MN=23a③∵AM=1nAC，BN=1n∴CM=n-1nAC，CN=n-1n∴MN=CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1∵AB=a，∴MN=n-1na故答案为：n-1na【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【考点4线段动点的定值计算】【例4】（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足a+1+(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=12x-2的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM-2BN的值不变；②PM-2【答案】(1)4(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，PA+PB=BC；理由见解析(3)结论①正确，PM-2BN=2【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由PA+PB=BC确定出P位置，即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n，就有PA=n+1，PB=n-3，根据条件就可以表示出PM=n+12，BN=n-34，再分别代入①PM-2BN和②(1)解：∵|a+1|+（b-3）2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，∴AB=|-1-3|=4．答：AB的长为4；(2)解：存在，∵2x+1=1∴x=-2，∴BC=-2-3=5．设点P在数轴上对应的数是m，∵PA+PB=BC，∴|m+1|+|m-3|=5，令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3．①当m≤-1时，-m-1+3-m=5，m=-1.5；②当-1＜m≤3时，m+1+3-m=5，（舍去）；③当m＞3时，m+1+m-3=5，m=3.5．∴当点P表示的数为-1.5或3.5时，PA+PB=BC；(3)解：设P点所表示的数为n，∴PA=n+1，PB=n-3．∵PA的中点为M，∴PM=12PA=n+1∵N为PB的四等分点且靠近于B点，∴BN=14PB=n-3∴①PM-2BN=n+12-2×n-34②PM+23BN=n+12+23×n-34=∴正确的结论为①，且PM-2BN=2．【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式．【变式4-1】（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0(1)数轴上点P表示的数为__________（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，AP=2BP？(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)9-5t.(2)t=2或t=6(3)答案见解析【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据题意列一元一次方程，解方程求解即可；（3）分情况讨论，①当点P在A，B两点之间时，②当点P运动到点B的左侧时，根据线段中点的性质，分别计算MN，即可求解．(1)数轴上点A表示的数为9，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0则数轴上点P表示的数为9-5t故答案为：9-5t(2)AP=5t，BP=9-5t+6∵AP=2BP，∴5t=2×15-5t，∴5t=30-10t或5t=10t-30解得t=2或t=6，∴当t=2或t=6时，AP=2BP；(3)①当点P在A，B两点之间时，如图1所示.MN=②当点P运动到点B的左侧时，如图2所示.MN=综上可知，当点P在运动过程中，线段MN的长度为定值152【点睛】本题考查了数轴动点问题，一元一次方程的应用，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．【变式4-2】（衢州华茂外国语学校七年级期末）【概念与发现】当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作dAC例如，点C是AB的中点时，即AC=12AB反之，当dACAB=因此，我们可以这样理解：“dACAB=n”与“【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若AC=3，AB=4，则dACAB若dACAB=23【拓展与延伸】(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m⋅dAPAB+dAQAB②t为何值时，dAQ【答案】(1)34，(2)①3；②2或6【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案；（2）①设运动时间为t，再根据m⋅dAPAB+d②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可（1）解：∵AC=3，AB=4，∴AC=∴dAC∵dAC∴AC=（2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则dAPAB∵m⋅dAP∴m⋅t∴m=3②当点Q从点B向点A方向运动时，∵d∴10-3t∴t=2当点Q从点A向点B方向运动时，∵d∴3t∴t=6∴t的值为2或6【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键．【变式4-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5DE的值为定值，且定值为0．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=12AC，DN=BN=1∴MN=CM+CD+DN=12AC+CD+1=12AC+12CD+12=12(AC+CD+BD)+1=12=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：a+8解得：a=2在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点∴CE=BE=12BC=2+tⅠ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5DE的值为定值，且定值为0．【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．【考点5线段中的参数表示(比例关系)问题】【例5】（2022·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDAB【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）17【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，则CD＝（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝27x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE∴CD＝163或CD＝8∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵AD+ECBE∴0.5x+y+yx-y∴y＝27x∴CD＝1.5x﹣27x＝1714∴CDAB当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵AD+ECBE=32，BE＝EC+BC＝∴y-0.5x+yx+y∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴CDAB当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述CDAB的值为1742或故答案为：1742或11【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．【变式5-1】（2022·广西河池·七年级期末）如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．(1)若点A表示的数为-3，点B表示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；(2)若点A，B分别表示-2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点．(3)若AM=14AB，N是数轴上的一点，且AN-BN=MN【答案】(1)CD=3(2)当t=65时点D是线段(3)MNAB=【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据CD=CM+MD可求；（2）先表示出BD和CD，再根据点D是线段BC的中点，列方程求解；（3）分N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，分别求解．（1）解：∵CM=2×1=2，BD=2×3=6，又∵点A表示-3，点B表示7，∴AM=3，BM=7∴MD=BM-BD=7-6=1∴CD=CM+MD=2+1=3．（2）解：∵点A，B分别表示-2，6，所以AM=2，BM=6，MC=t，BD=3t，MD=6-3t，CD=MD+MC=t+6-3t当D是BC的中点时CD=BD，即t+6-3t=3t，t=∴当t=65时点D是线段（3）解：①当点N在线段AB上时，如图∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN∴BN=AM，又∵AM=∴MN=12②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB∴MN=AB，即MN综上所述MNAB=1【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系．【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【答案】(1)7(2)1(3)13或【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13故答案为：13（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝14AB①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝14AB∴MN＝12AB，即2MN3AB②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴MNAB=1,即2MN3AB综上所述2MN3AB＝1【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝（填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB【答案】（1）2，4；（2）6cm；（3）4；（4）MNAB=1【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；（3）根据已知得MB＝2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝4cm∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝13AB＝4故答案为：4；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4∴MNAB②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12∴MNAB综上所述MNAB=故答案为MNAB=1【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．【考点6剪绳子(端点重合)问题】【例6】（2022·全国·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段AB，在线段AB取一点P，使AP=13PB，从P处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为24A．32cm B．64cm C．32cm或64cm D【答案】C【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．【详解】解：如图∵AP=1∴2AP=23PB①若绳子是关于A点对折，∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+23×24=64cm②若绳子是关于B点对折，∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm∴PB=12cm∴AP=12×13∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32cm；故选：C．【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．【变式6-1】（2022·全国·七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）A．37 B．36 C．35 D．34【答案】B【分析】先求出每3厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；因为3和4的最小公倍数是12，所以每12厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．【详解】解：∵绳子长72cm，∴每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72÷3＝24（段），可以做24−1＝23个记号，每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4＝18（段），可以做18−1＝17个记号，∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：72÷12−1＝5（个），∴有记号的地方共有23＋17−5＝35，∴这段绳子共被剪成的段数为35＋1＝36（段）．故选：B．【点睛】此题主要考查了线段，关键是正确理解每3厘米、4厘米作一个记号，可以作几个记号，有多少的记号重合．【变式6-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是__________．【答案】20【分析】设折痕对应的刻度为x，根据折叠的性质和A，B，C三段的长度的比为3：2：1，列出方程求解即可．【详解】解：设折痕对应的刻度为x，由A，B，C三段长度的比为3：2：1，可得三段长度分别是30、20、10，依题意得：x＝202＋10＝20故答案为：20．【点睛】考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【变式6-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'①如图2，若A',B'恰好重合于点O处，②如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B③若A'B'=ncm，求MN（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出【答案】（1）①30，②40cm，③30+n2cm或30-n2cm；（2）25cm或27.5cm或【分析】（1）①根据MN=MO+NO=12AO+12BO=1②根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=12AA'，BN=12BB'，再由③根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=12AA'，BN=12BB'，然后分两种情况点A′落在点B′的左侧，点A′落在点B′的右侧，根据（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，得出绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情况讨论，根据AN=AP+12P【详解】解：（1）①MN=MO+NO=12AO+12BO=1②因为AB=60cm，A′B′=20cm，所以AA′+BB′=AB-A′B′=60-20=40cm．根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=12AA'，BN=AM+BN=12AA'+12BB'=1所以MN=AB–（AM+BN）=60-20=40cm．③因为M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=12AA'，BN=（ⅰ）如图，若点A′落在点B′的左侧，AA′+BB′=AB-A′B′=(60–n)cm．AM+BN=12AA'=12AA'+BB'=1所以MN=AB–（AM+BN）=60-30-n（ⅱ）如图，若点A′落在点B′的右侧，

AA′+BB′=AB+A′B′=(60+n)cm．AM+BN=12AA'=12AA'+BB'=1所以MN=AB–（AM+BN）=60-30+n2=综上，MN的长度为30+n2cm或30-（2）如图，∵三段的长度由短到长的比为3：4：5，∴60×33+4+5=15，故绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段当B'P'=15，PPAN=AP+12PP'=25+当B'P'=15，PPAN=AP+12PP'=20+当B'P'=20，PPAN=AP+12PP'=25+当B'P'=20，PPAN=AP+12PP'=15+当B'P'=25，PPAN=AP+12PP'=15+当B'P'=25，PPAN=AP+12PP'=20+综上AN所有可能的长度为：25cm或27．5cm或32．5cm或35cm．【点睛】本题主要考查了线段的计算、线段的折叠问题、线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质，注意审题及分类讨论思想．【考点7动点中线段和差问题】【例7】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式(a+10)x3+20x2-5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB【答案】(1)-10，20，30；(2)3或75；(3)252【分析】（1）由题意直接可求解；（2）①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：-10+t，点H表示的数为：20+56t，根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG=13BG【详解】（1）解：由题意知：a+10=0∴a=∴AB的距离为20故答案为：-10，20，30（2）分两种情况：①当点C在AB之间时，如图1，∵AC=32∴AC=18∵M是AB的中点，∴AM=15∴CM=18②当点C在点B的右侧时，如图2，∵AC=32∴AC=90∵AM=15∴CM=90综上，CM的长是3或75；（3）由题意得：点G表示的数为：：-10+t，点H表示的数为：∵t<30，AB∴点G在线段AB之间，∵D为BG的中点，∴点D表示的数为：20+(-10+t)2∵F是DH的中点，∴点F表示的数为：5+1∵BG=20∵EG=∴EG=30-t3∴点E表示的数为：-10+t+10-13∴DE+DF=(5+12【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．【变式7-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在直线AB上，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．(1)若点P在线段AB上的运动，当PM=10时，PN=；(2)若点P在射线AB上的运动，当PM=2PN时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【答案】(1)PN=2(2)8或24(3)PN-PM=1【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；（2）分点P在线段AB上运动和线段AB的延长线上运动进行讨论，从而求解；（3）先将PM和PN表示出来，再求出线段AB、PM、PN之间的数量关系．【详解】（1）解：∵M为AP的中点，PM=10，∴AP=20，∵线段AB=24，N为BP的中点，∴PN=24-20故答案是：2；（2）解：①当点P在线段AB上，PM=2PN时，如图，∵PM=AM=12AP=t∴t=212-t，解得：t=8②当点P在线段AB的延长线上，PM=2PN时，如图，∵PM=AM=12AP=t∴t=2t-12，解得：t=24综上所述，当PM=2PN时，点P的运动时间t的值为8或24．（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，PN-PM=1∵PM=AM=12AP∴PN-PM=1【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．【变式7-2】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为9，动点B，C在数轴上移动（点C在点B右侧），总保持BC=n（n大于0且小于4.5），设点B表示的数为m．(1)如图，当动点B，C在线段OA上移动时，①若n=2，且B为OA中点时，则点B表示的数为__________，点C表示的数为__________；②若AC=OB，求多项式6m+3n-40的值；(2)当线段BC在射线AO上移动时，且AC-OB=12AB，求m【答案】(1)①4.5，6.5；②-13；(2)m=3-23n或m【分析】（1）①由点A表示的数得到OA=9，根据B为OA中点，得到OB=4.5，可知点B表示的数；由BC=n=2，点C在点B右侧，即可得到点C表示的数；②根据AC=OB，BC=n，点B表示的数为m，得到2m+n=9，代入计算即可；（2）分别用n、m表示出AC、OB、AB，进一步利用AC-OB=1(1)解：①∵点A表示的数为9，∴OA=9，∵B为OA中点，∴OB=4.5，∴点B表示的数为4.5；∵BC=n=2，点C在点B右侧，∴4.5+2=6.5，∴点C表示的数为6.5；故答案为：4.5，6.5；②∵AC=OB，BC=n，点B表示的数为m．∴2m+n=9，∴6m+3n-40=3(2m+n)-40=3×9-40=-13；(2)解：①当点B在原点右侧时，AC=9-(m+n)=9-m-n，OB=m，AB=9-m，9-m-n-m=1解得m=3-2②当点B在原点左侧时，AC=9-(m+n)=9-m-n，OB=-m，AB=9-m，9-m-n+m=1解得m=2n-9；综上，m=3-23n或m=2【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键．【变式7-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝cm，OB＝cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为；此时，Q点所到的点表示的数为．（用含t的代数式表示）②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．【答案】（1）8，4；（2）43cm；（3）①﹣8+2t，4+t；②1.6或8【分析】（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；②分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．【详解】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案为：8，4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x＝﹣43②点C在线段OB上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，解得x＝﹣4（不符合题意，舍）．故CO的长是43cm（3）①t（s）后，P点所到的点表示的数为﹣8+2t；此时，Q点所到的点表示的数为4+t．故答案为：﹣8+2t，4+t；②0＜t＜4（P在O的左侧），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6；4≤t≤12（P在O的右侧），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8．综上所述，t＝1.6或8时，2OP﹣OQ＝4cm．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．【考点8线段的长短比较】【例8】（2022·陕西·延安市实验中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短．（保留作图痕迹，不要求写作法）【答案】见解析【详解】试题分析：直接利用圆规连续截取两条线段分别等于a，b进而得出答案；试题解析：如图所示：EF即为所求，EF＞AB.【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则(

)A．AB＜CD B．AB＞CD C．AB＝CD D．以上都有可能【答案】B【详解】解：由点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，得AB＞CD．故选B．【变式8-2】（2022·浙江·衢州华茂外国语学校七年级期末）如图，已知AC=BD，则AB与CD之间的大小关系是()A．AB>CD. B．AB=CD. C．AB<CD. D．无法确定.【答案】B【分析】根据AC=BD,将等量线段都减去BC即可解答此题.【详解】∵AC=BD,∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD,故选B.【点睛】此题考察线段间的数量关系，利用AC=BD,将等量线段都减去BC即可解答此题.【变式8-3】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若AB=CD．①比较线段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若BC=34AC，且AC=16cm，则AD(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．【答案】(1)①=；②20(2)27cm【分析】（1）①根据等式的性质，得出答案；②求出BC的值，在求出AB、CD的长，进而求出AD的长即可；（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．(1)解：①∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即，AC=BD，故答案为：=；②∵BC=34AC∴BC=3∴AB=CD=AC-BC=16-12=4(cm)，∴AD=AC+CD=16+4=20(cm)，故答案为：20；(2)解：如图所示，设每份为x，则AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，∴AM=BM=x，CN=DN=2x又∵MN=18，∴x+3x+2x=18，解得，x=3，∴AD=9x=27(cm【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的意义．【考点9时针和分针重合次数与时间】【例9】（2022·江苏苏州·七年级期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午2点整到下午4点整，钟面角为90°的情况有（

）A．有一种 B．有二种 C．有三种 D．有四种【答案】D【详解】试题解析：设n=分，m=点，则钟面角为{5.5°×n-30°×m将m=2代入上式，得n1=27311，n2=60-5511=54将m=3代入上式，得n3=32811，n4=04：00时，钟面角为30°×4=120°≠90°．故选D．考点：钟面角．【变式9-1】（2022·全国·七年级单元测试）根据所学知识完成题目：

（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角．

（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？【答案】（1）这个角是45°；（2）经过51011【分析】（1）设这个角是x°，则余角是（90-x）°，补角是（180-x）°，然后根据余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，即可列方程求解；（2）根据分针与时针的转动速度结合夹角为90°，得出等式求出即可.【详解】（1）解：设这个角是x°，则余角是（90﹣x）°，补角是（180﹣x）°根据题意得：（90﹣x）+（180﹣x）=2（解得：x=45．则这个角是45°.（2）解：两点三十分时时针和分针的夹角是：105°，设经过x分钟，时针和分针第一次重合，时针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．则6x﹣0.5x=360﹣105，解得：x=51011则经过51011分钟，时针和分针第一次重合【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系以及利用时针和分针的位置关系得出等式.【变式9-2】（2022·全国·七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：(1)分针每分钟转了几度？(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°？(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？【答案】(1)6°(2)22(3)236【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是121°，列方程解答即可；（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于121°时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与121°之和是360°．【详解】（1）解：∵分针一小时转一圈即360°,∴分针每分钟转过的角度是：360°÷60=6°,答：分针每分钟转了6度；（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，∵时针一小时转动角度为：360°÷12=30°，时分针每分钟转过的角度是：30°÷60=0.5°；∵分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，∴时针与分针转过的角度差是121°，∴6x-0.5x=121，解得：x=22，答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于121°，则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于121°，因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与121°之和是360°，故列得方程：6(y+22)-0.5(y+22)+121=360，解得：6(y+22)-0.5(y+22)+121=360，解得：y=236答：经过23611分钟两针所成的钝角会第二次等于121°【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．【变式9-3】（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．实验准备：机械钟（手表）一只实验内容与步骤：观察与思考：（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）操作与探究：（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？拓展延伸：一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）【答案】观察与思考：（1）0.5，6，（2）75；操作与探究：（1）1211，22；（2）311

，44；拓展延伸：22，【详解】解析:试题分析：观察与思考：(1)钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30°即可得出答案;(2)钟表上8:30,时针指向8和9的中间,分针指向6,即可得出答案,时针和分针相隔2.5个格;操作与探究：(1)①设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+360°列出方程即可得出答案；②设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+90°列出方程即可得出答案；拓展延伸：根据一天时针与分针重合的次数，结合每重合一次都会出此案两次n的角可得到答案.解：观察与思考：（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；（2）30°×2.5=75°操作与探究：（1）设经过x小时时针与分针再次重合．360x=30x+360解得：x=1211∵时针与分针每经过x=1211∴24÷1211=22答：1211时时针与分针再次重合．一天24小时中，时针与分针重合22（2）设经过y小时钟面角第一次为90°．360y=30y+90，解得：y=311∵每经过x=1211时针与分针重合一次，而钟面角为90°∴24÷1211×2=44答：12311时钟面角第一次为90°．一天24小时中，钟面角为90°44拓展延伸：由2可得：一天24小时中，钟面角为180°有22次，钟面角为n°（0＜n＜180）44次．故答案为22；44．点睛：本题考查了钟面角的计算及一元一次方程的应用，根据时针与分针每小时转动的角度和时针与分针所形成的夹角列方程求解.【考点10两定角、双角平分线与角度关系】【例10】（2022·陕西西安·七年级期末）已知∠AOB和三条射线OE、OC、OF在同一个平面内，其中OE平分角(1)如图，若∠BOC=70°,∠AOC=50°，求∠EOF的度数；(2)如图，若∠BOC=α,∠AOC=β，直接用α、β表示∠EOF；(3)若∠BOC、∠AOC在同一平面内，且∠BOC=α,∠AOC=β，OE平分角∠BOC，OF平分角∠AOC，直接写出用α、β表示∠EOF．【答案】(1)∠EOF=60°(2)∠EOF=1(3)∠EOF=12α+12【分析】(1)首先根据角平分线的定义求得∠COF，同理求得∠EOC，然后根据∠EOF=∠COF+∠EOC求解；(2)根据角平分线的定义可以得到∠COF=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，直接用(3)分三种情况讨论，一种情况如图所示∠AOC和∠BOC相邻，还有一种情况是当∠BOC在∠AOC内部时，还有一种情况是当∠AOC在∠BOC在内部时．【详解】（1）解：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=1∴∠EOF=∠COF+∠EOC=60（2）解：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∵∠EOF=∠COF+∠EOC，∴∠EOF=1∵∠BOC=α,∠AOC=β，∵∠EOF=1（3）解：当∠AOC和∠BOC相邻时，由（2）可知∠EOF=1当∠BOC在∠AOC内部时，如图：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∴∠EOF=∠COF-∠EOC=1即∠EOF=1当∠AOC在∠BOC内部时，如图所示：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∴∠EOF=∠EOC-∠COF=即∠EOF=1【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，分类讨论的思想，正确理解角平分线的定义是关键．【变式10-1】（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．【答案】(1)50°(2)50°(3)50°或130°【分析】（1）先根据角平分线的定义可得∠COE=12∠AOC=15°，再根据角的和差、角平分线的定义可得∠COF=（2）先根据角的和差可得∠AOC+∠COB=100°，再根据角平分线的定义可得∠COE=12∠AOC,∠COF=（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，再分①射线OC在∠AOD的内部，②射线OC在∠DOM的内部，（1）解：∵OE是∠AOC的平分线，∠AOC=30°，∴∠COE=1∵∠AOB=100°，∴∠COB=∠AOB-∠AOC=70°，∵OF是∠COB的平分线，∴∠COF=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=15°+35°=50°；（2）∵∠AOB=100°，∴∠AOC+∠COB=100°，∵OE是∠AOC的平分线，OF是∠COB的平分线，∴∠COE=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=故答案为：50°（3）∵OE是∠AOC的平分线，OF是∠COB的平分线，∴∠COE=1由题意，分以下三种情况：①如图，延长BO至点D，当射线OC在∠AOD的内部时，∵∠AOB=100°，∴∠COB-∠AOC=100°，∴∠EOF=∠COF-∠COE=1②如图，延长BO至点D，延长AO至点M，当射线OC在∠DOM的内部时，∵∠AOB=100°，∴∠COB+∠AOC=360°-∠AOB=260°，∴∠EOF=∠COF+∠COE=1③如图，延长AO至点M，当射线OC在∠BOM的内部时，∵∠AOB=100°，∴∠AOC-∠COB=100°，∴∠EOF=∠COE-∠COF=1综上，∠EOF的度数为50°或130°．【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．【变式10-2】（2022·浙江宁波·七年级期末）【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB,OA关于OM(1)【理解题意】如图1，射线OB,OA关于OM对称且∠AOB=45∘，则(2)【应用实际】如图2，若∠AOB=45∘,OP在∠AOB内部，OP,OP1关于OB对称，OP,O(3)如图3,若∠AOB=45∘,OP在∠AOB外部，且0∘<∠AOP<(4)【拓展提升】如图4，若∠AOB=45∘,OP,OP1关于∠AOB的OB【答案】(1)22.5(2)∠P1OP2=90°(3)∠P1OP2=90°(4)∠AOP=30°或54°【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；（2）根据OP和OP1关于OB对称，得到∠POP1＝2∠BOP，根据OP和OP2关于OA对称，得到∠POP2＝2∠AOP，根据角的和差即可得到结论；（3）根据OP和OP1关于OB对称，得到∠POP1＝2∠BOP，根据OP和OP2关于OA对称，求得∠POP2＝2∠AOP，根据角的和差即可得到结论；（4）①OP在∠AOB内部，如图4，②当OP在∠AOB外部，根据轴对称的性质即可得到结论．(1)∵射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，∴∠AOM＝12∠AOB＝12×45°＝故答案为：22.5；(2)∵OP和OP1关于OB对称，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2关于OA对称，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1+∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°；(3)∵OP和OP1关于OB对称，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2关于OA对称，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1－∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP－2∠AOP=2∠AOB=90°，(4)①OP在∠AOB内部，如图4，∵OP，OP1关于OB对称，∴∠BOP＝∠BOP1，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴∠AOB＝3∠BOP1＝45°，∴∠BOP1＝15°，∴∠BOP1＝∠BOP＝15°，∴∠AOP＝30°，②当OP在∠AOB外部，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴射线OP在射线OB的上面，如图5，∵OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，∴∠BOP＝∠BOP1，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴∠AOB＝∠BOP1＋∠AOP1＝5∠BOP1＝45°，∴∠BOP1＝9°，∴∠BOP1＝∠BOP＝9°，∴∠AOP＝45°＋9°＝54°综上所述，∠AOP＝30°或54°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．【变式10-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．(1)如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数；(2)将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．①如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数；②当AE旋转至∠BAC的外部时，直接写出∠MAN的度数．【答案】(1)165°；(2)①37.5°；②37.5°或142.5°．【解析】(1)解：如图1∵∠BAC=45°，∠BAD=30°，∴∠DAC=45°-30°=15°，∴∠FAD=180°-15°=165°．(2)解：①如图2∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAC+∠CAE=====37.5°；②如图3，当AE旋转至∠BAC的外部，且∠BAE＜180°时，∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAC-∠CAE=====37.5°；如图4，当AE旋转至∠BAC的外部，且180°＜∠BAE＜210°时，∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAD-∠DAE=====142.5°；如图5，当AE旋转至∠BAC的外部，且∠BAE＞210°时，∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAB=12∠BAE∴∠MAN=∠MAB+∠NAD-∠DAB=====37.5°．综上所述：∠MAN的值为37.5°或142.5°．【点睛】本题考查了含角平分线的角的计算，难度较大，理解题意，根据题意画出图形并准确进行分类讨论是解题关键．【考点11线段、角的规律问题】【例11】（2022·重庆忠县·七年级期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【答案】C【分析】根据前三个图形可知图①中OC1为2等分线，图②中OC1为3等分线，图③中OC1为4等分线，依次类推，可得第【详解】解：根据题意可得，图①中，∠AOC图②中，∠AOC图③中，∠AOC依次类推，第④个图中，∠AOC∴前④个图形中的∠AOC1之和为故选：C．【点睛】本题主要考查了角的计算，根据题意找出角度变化规律进行计算是解决本题的关键．【变式11-1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：12【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1+2=3=14条直线相交最多有1+2+3=6=15条直线相交最多有1+2+3+4=10=1…20条直线相交最多有12故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有12【变式11-2】（2022·全国·七年级）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（

）A．190 B．380 C．231 D．462【答案】C【分析】根据画一条、两条、三条射线时可以得出的角的个数整理出当画n条射线可以得出的角的个数，然后进一步求解即可.【详解】∵在∠MON内画一条射线时，则图中共有1+2=3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有1+2+3=6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中