江苏省南京市秦淮区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)1.(2分)第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形2.(2分)等腰三角形底边长为2,周长为10,则此三角形的腰长为()A.8B.4C.33.(2分)如图，△ABE≌△ACD,BE,∠A=70°,则∠AEB的度数为()A.80°B.854.(2分)三角形中，到三边距离相等的点是()B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点5.(2分)下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是()A.AB²+BC²=AC2B.AB²-BC²=AC²二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上)7.(2分)等腰三角形一个角等于100°,则它的一个底角是8.(2分)如图，△ABC中，∠C=90°,BC=2cm,则AB的长是cm.9.(2分)三角形的三边长为g、b、c,且满足等式(q+b)2-c²=2ab,则此三角形是三角形(直角、锐角、钝角).10.(2分)如图，∠ACB=∠DFE,BC=EF,就能使△ABC≌△DEF.11.(2分)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为18cm,则△ABC 的周长是C171. 12.(2分)以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆A、B的面积分别是3、4,13.(2分)如图，在△ABC中，AB=20,BC=7,则点A到BC的距离是14.(2分)定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形.例如等边三角形就是一种奇异三角形.在△ABC中，∠C=90°,AC=b,BC=1,若Rt△ABC是奇异三角形，则b²c2的值为15.(2分)如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB=3,AD=5,动点，若△ADP为等腰三角形点P为线段BC上的一16.(2分)如图，在△ABC中，∠CAB=45°,AB=2,过点C作CD⊥CB,且CD=CB,三、解答题(本大题共10小题，共68分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(6分)如图，点E、C在BF上，AC=DF,∠A=∠D.求证：BE=CF.19.(6分)已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°,BC=9,AD=520.(6分)如图，在△ABC中，CD是AB边的中线，将△BCD沿CD折叠，使点B落在点E的位置.判断△AED的形状并加以证明.21.(6分)如图，已知△ABC,请用无刻度的直尺和圆规作OP,AC边的距离相等，且OP经过A(不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母)22.(6分)如图，折叠长方形纸片ABCD,使点D落在边BC上的点F处，长AD=10cm,求EC的长.23.(8分)已知：△ABC是等边三角形，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，且PA=QB.连接AQ、CP交于点M.(1)如图1,当点P是AB边的中点时，∠CMO=°(2)在P、Q运动过程中，∠CMQ的大小是否变化?请利用图2证明你的结论.图1图224.(8分)(1)利用网格画四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点0;(2)点O(填“在”或“不在”)另外两条边的垂直平分线上；(3)把顶点D向左移动8格，以上结论(填“成立”或“不成立”);(4)直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点.25.(8分)如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，BC=a,AC=b,正方形IECF中，1E(1)小明发明了求正方形边长的方法：因为AB=BD+AD,所以a-x+b-x=c,解得(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.26.(8分)【了解概念】如图1,已知A,B为直线MN同侧的两点，连接AP,BP,则称点P为点A,B关于直【理解运用】(1)如图2,在△ABC中，D为BC上一点，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F,F关于直线AB的“等角点”,并说明理由；【拓展提升】为点C,请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置；(3)如图3,在△ABC中，∠ABC,点O到AC的距离为2,直线1垂直平分边BC,B2023-2024学年江苏省南京市秦淮区八年级(上)期中数学试卷1.(2分)第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是()2.(2分)等腰三角形底边长为2,周长为10,则此三角形的腰长为()A.8B.4C.3【解答】解：∵等腰三角形的底边长为2,周长为10,∴腰长为(10-2)÷4=4.3.(2分)如图，△ABE≌△ACD,BE,∠A=70°,则∠AEB的度数为()A.80°B.85°4.(2分)三角形中，到三边距离相等的点是()5.(2分)下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是()A.AB²+BC²=AC²B.AB²-BC²=AC²∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状.二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上)7.(2分)等腰三角形一个角等于100°,则它的一个底角是40。.【分析】由条件可知该角只能为顶角，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求得底角.【解答】解：∵该角为100°,∴这个角只能是等腰三角形的顶角，∴该等腰三角形的顶角为100°,故答案为：40.8.(2分)如图，△ABC中，∠C=90°,BC=2cm,则AB的长是cm.【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案.【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°,故答案为：4.【点评】本题考查了三角形内角和定理以及含30°的直角三角形的性质，熟知30°所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键.9.(2分)三角形的三边长为a、b、c,且满足等式(a+b)²-c²=2ab,则此三角形是直 三角形(直角、锐角、钝角).【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定.∴三角形是直角三角形.故答案为直角.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形.也考查了完全平方公式.10.(2分)如图，∠ACB=∠DFE,BC=EF∠B=∠E,就能使△ABC≌△DEF.【分析】添加∠B=∠E,可利用ASA判定△ABC≌△DEF.【解答】解：添加∠B=∠E,在△ABC和△DEF中【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.11.(2分)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为18cm,则△ABC的周长是26cm.【分析】由DE是AC的垂直平分线，可得AD=CD,AC=2AE=8cm,又由△ABD的周长为18cm,即可求得AB+BC=18cm,继而求得答案.∵△ABD的周长为18cm,故答案为：26.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握数形结合思想的应用是解题关键.12.(2分)以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆A、B的面积分别是3、4,则半圆C的面积是7【分析】给直角三角形注上字母，根据勾股定理得DE²+DF²=EF²,从而可推出Sg+SA=Sc,代入已知条件即可求出半圆C的面积.【解答】解：如图，∵△DEF是直角三角形，∴DE²+DF²=EF⁵,∵半圆A、B的面积分别是3、4,∴半圆C的面积是3+4=7,【点评】本题考查勾股定理，圆面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键.13.(2分)如图，在△ABC中，AB=20,BC=7,则点A到BC的距离是12【分析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D,∴点A到BC的距离是12,故答案为：12.【点评】本题考查了勾股定理，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.14.(2分)定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形.例如等边三角形就是一种奇异三角形.在△ABC中，∠C=90°,AC=【解答】解：∵∠C=90°,∴1²+b⁴=c²①,∵Rt△ABC是奇异三角形，且b>1,∴6²+c²=6b²②,故答案为：5.【点评】本题考查勾股定理，新定义的奇异三角形，理解奇异三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键.15.(2分)如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB=3,AD=5,点P为线段BC上的一①当DP=DA=5时，过点D作DE⊥BC于点E,设BP=x,则PE=5-x,在Rt△DPE中，由勾股定理，得DE²+PE⁴=DP²,即3²+(5-x)²=6²,解得xi=6,xz=9(舍去),故此时BP=4;在Rt△ABP和Rt△DEP中，故此时③当AP=AD=7AP=5,AB=3,由勾股定理，得【点评】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握相关图象的性质和分类讨论的思想是解题的关键.16.(2分)如图，在△ABC中，∠CAB=45°,AB=2,过点C作CD⊥CB,且CD=CB,连接AD²的值为22.【分析】作AE⊥AB,CE⊥AC,AE交CAE=∠CEA=45°,则AC=EC=3,则AE²=AC²+EC²=18,EB²=AE²+AB²=22,由CD⊥CB,得∠BCD=90°,则∠ACD=∠ECB=90°+∠ACB,而△ACD≌△ECB,得AD=EB,则AD²=EB²=22,于是得到问题的答案.【解答】解：作AE⊥AB,CE⊥AC,则∠BAE=∠ACE=90°,故答案为：22.【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股三、解答题(本大题共10小题，共68分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【分析】欲证明∠B=∠C,只要证明△ADB≌△ADC即可.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键.18.(6分)如图，点E、C在BF上，AC=DF,∠A=∠D.求证：BE=CF.即BE=CF,19.(6分)已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°,BC=9,AD=5【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a,20.(6分)如图，在△ABC中，CD是AB边的中线，将△BCD沿CD折叠，使点B落在点E的位置.判断△AED的形状并加以证明.【分析】由折叠的性质可得出BD=ED、∠EDC=∠BDC=60°,根据角的计算可得出∠ADE=60°,再根据中线的定义即可得出AD=BD=ED,由此即可证出△ADE是等边三角形.【解答】证明：由折叠的性质可知：BD=ED,∠EDC=∠BDC=60°,∴△ADE是等边三角形.【点评】本题考查了翻折变换、平行线的判定以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键.21.(6分)如图，已知△ABC,请用无刻度的直尺和圆规作OP,AC边的距离相等，且OP经过A(不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母)【分析】作∠BAC的角平分线AK,边AB的垂直平分线MN,AK交MN于P,以P为圆心，PA为半径作OP,OP即为所求.【解答】解：作∠BAC的角平分线AK,边AB的垂直平分线MN,以P为圆心，如图：⊙P即为所求.【点评】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线，垂直平分线的性质和尺规作图方法22.(6分)如图，折叠长方形纸片ABCD,使点D落在边BC上的点F处，长AD=10cm,【分析】由矩形的性质得BC=AD=10cm,CD=AB=6cm,∠B=∠C=90°,由折叠得AF=AD=10cm,FE=DE=6-EC,根据勾股定理得求得则【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，由折叠得AF=AD=10cm,FE=DE=6-E接AQ、CP交于点M.(1)如图1,当点P是AB边的中点时，∠CMQ=60°;(2)在P、Q运动过程中，∠CMQ的大小是否变化?请利用图2证明你的结论.图1图2故答案为：60;(2)∠CMQ的大小不变，理由如下：【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证△APC≌△BQA是本题的关键.24.(8分)(1)利用网格画四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O;(2)点O在(填“在”或“不在”)另外两条边的垂直平分线上；(3)把顶点D向左移动8格，以上结论(填“成立”或“不成立”);(4)直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点.【分析】(1)根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；(2)由(1)作图的结果可知O在另外两边的垂直平分线上；(3)通过作图可知O不在另外两边的垂直平分线上；(4)根据垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质即可得出答案.【解答】解：(1)如图所示：(2)如图所示，点O在另外两条边的垂直平分线上；(3)如图所示，把顶点D向左移动8格，以上结论不成立；(4)当四边的垂直平分线交于一点时，交点与四个顶点的距离相等，所以，当四边形满足对角互补时.【点评】本题考查了复杂作图，用到的知识点有垂直平分线的作法，解决此键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.25.(8分)如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形(1)小明发明了求正方形边长的方法：因为AB=BD+AD,所以a-x+b-x=c,解得(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进行推导即可得结论.(3)根据(1)和(2)得：化简得a²+b²=c2【点评】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是综合利用相关知识.26.(8分)【了解概念】如图1,已知A,B为直线MN同侧的两点，连接AP,BP,则称点P为点A,B关于直【理解运用】(1)如图2,在△ABC中，D为BC上一点，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F,F关于直线AB的“等角点”,并说明理由；【拓展提升】(2)如图2,在(1)的条件下，若点Q是射线EF上一点，Q关于直线AC的“等角点”为点C,请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置；(3)如图3,在△ABC中，∠