2023-2024学年山东省泰安市高三上册11月期中考试数学试题（附解析）

2023-2024学年山东省泰安市高三上学期11月期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．设，则p是q成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．的值为（

）A． B． C． D．4．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（

）A． B． C． D．5．有四个关于三角函数的命题：：xR,+=:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny:x,=sinx:sinx=cosyx+y=其中假命题的是A．， B．， C．， D．，6．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．已知函数的图象关于对称，为偶函数，则下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．8．在下列四组函数中，函数与的图象上存在关于x轴对称的点的是（

）A．，B．，C．，D．，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C．若，则 D．10．已知函数的图象如图所示，则（

）A．B．函数的一个对称中心为C．是函数的一个周期D．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象11．设数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．是等比数列B．是单调递减数列C．D．12．已知，，则下列结论正确的是（

）A．函数在上存在极大值B．为函数的导函数，若方程有两个不同实根，则实数m的取值范围是C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为D．若，则的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在中，若，则14．已知是第四象限角，且，则.15．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是.16．已知数列满足，设数列的前n项和为，若，，则.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数，，是的导函数.(1)已知的解集为A，集合，若，求a的值；(2)若在上存在单调减区间，求a的取值范围.18．已知函数.(1)解不等式；(2)设，求在上的最值.19．已知数列的前n项和为，且，.(1)求；(2)记，求数列的前n项和.20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)若，求；(2)延长BC至点D，使得，若，求面积的最大值.21．某公司在年初购买了一批价值1000万元的设备，设备的价值在使用过程中逐年减少，前5年每年年底的价值比年初减少m万元，从第6年开始，每年年底的价值为年初的80%，已知第7年年底的设备价值为608万元，设备运行一段时间后需要运行养护维修，前3年不需要养护，第4年的养护费为19万元，此后每年在上一年的基础上上升25%.(1)求第n年年底设备价值的表达式；(2)当设备价值低于当年设备花费的养护费时，公司就于当年年底淘汰该批设备，问公司在第几年年底淘汰该批设备？（参考数据，）.22．已知函数的导函数为，且曲线在点处的切线方程为.(1)证明：当时，；(2)设有两个极值点.，过点和的直线的斜率为k，证明.1．B【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可.【详解】由题意，，当，当，当，当，当，当，由集合中元素满足互异性，所以.故选：B2．A【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断是不是的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当成立时，也成立，就说是的充分条件，否则称为不充分条件；而当成立时，也成立则是的必要条件，否则称为不必要条件；当能证明的同时也能证明，则是的充分条件．3．C【分析】根据正切和差角公式即可求解.【详解】,故选：C4．D由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.故选：D.本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.5．A【详解】故是假命题；令但故是假命题.6．B【分析】根据题意，构造函数，，即可判断的大小关系，然后作差，即可得到结果.【详解】因为，则，且，则，则；构造函数，，则，令，则，令，则，所以当，单调递增，当，单调递减，则时，有极大值，即最大值，所以，即时，，且，，则，所以；即.故选：B7．C【分析】利用函数的对称性和奇偶性逐项判断即可.【详解】因为函数的图象关于对称，所以关于对称，即①，因为为偶函数，所以，则②，由①②得，，所以，,4为周期，对于C，令，则，则为奇函数，C正确；对于A，令，则，所以不为奇函数，A错误；对于B，令，则，即，所以不为奇函数，B错误；对于D，令，则所以不为奇函数，D错误；故选C.8．D【分析】函数的图象关于x轴对称的函数为，则函数与的图象上存在关于x轴对称，即函数与的图象有交点，分别作出函数与的图象，由图即可得解.【详解】对于A，函数的图象关于x轴对称的函数为，如图作出函数与，由图可知函数与的图象没有交点，所以A选项不符题意；对于B，函数的图象关于x轴对称的函数为，如图作出函数与，由图可知函数与的图象没有交点，所以B选项不符题意；对于C，函数的图象关于x轴对称的函数为，如图作出函数与，由图可知函数与的图象没有交点，所以C选项不符题意；对于D，函数的图象关于x轴对称的函数为，如图作出函数与，由图可知函数与的图象有交点，所以D选项符合题意.故选：D.9．AC【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由可得，对于A,由于，所以，A正确，对于B，当时，，故B错误，对于C，，则，又，所以，故，C正确，对于D，当时，，故D错误，故选：AC10．BCD【分析】根据函数图象可得及函数的最小正周期，即可求出，再利用待定系数法求出，再根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】由图可知，，所以，所以，故，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以函数的一个对称中心为，故B正确；对于C，因为函数的最小正周期为，所以是函数的一个周期，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.故选：BCD.11．ACD【分析】构造法得、判断A，并可得，应用分组求和、等比数列前n项和公式求，根据通项公式判断单调性判断B、C、D.【详解】由题设，则，当，则，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，故，则，故不递减，，在上递增，所以，综上，A、C、D对，B错.故选：ACD12．BCD【分析】利用导数探讨的单调性判断A；求出并利用导数探讨其性质，结合函数零点判断B；利用函数的单调性脱去法则“f”，再利用的单调性求出最小值判断C；由已知结合同构思想得，再利用导数求出的最小值判断D.【详解】对于A，，令，则，当时，，函数递增，当时，，函数递减，于是，因此在上单调递增，在上无极值点，A错误；对于B，，令，则，当时，，函数递减，当时，，函数递增，则，即，显然当时，恒有，方程有两个不同实根，即直线与函数的图象有两个交点，因此，B正确；对于C，由选项B知，在上恒成立，则函数在上单调递增，于是，不等式，则有，，由选项A知，函数在上单调递增，因此，即，所以实数a的最大值为，C正确；对于D，若，则，即，由，得，由选项A知，函数在上单调递增，于是，，因此，令，则，当时，，函数递增，当时，，函数递减，从而，所以的最大值为，D正确.故选：BCD结论点睛：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，总有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.13．【分析】由正弦定理求解．【详解】由得．故．14．【分析】利用诱导公式与同角三角函数的基本关系进行求解即可.【详解】由题意，得，即因为是第四象限角，即，所以，则，所以，故-215．【分析】求导，根据在上单调递增，由在上恒成立求解.【详解】解：因为函数，所以，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上恒成立，当时，，无解；当时，，无解；当时，，解得，所以a的取值范围是，故答案为；16．100【分析】根据已知递推公式得出，，则，由此可以求出，根据，即可求得.【详解】由，得，则，所以，则，所以，可知，所以，因为，所以，，则，所以，又所以，所以，.故10017．(1)(2)【分析】（1）根据题意，将集合化简，再由交集的结果，列出方程，即可得到结果；（2）将问题转化为在上有解，结合二次函数的对称轴，即可得到结果.【详解】（1），.，，5为方程的根.，.（2）由题知在上有解，的对称轴为，在上单调递增，，.18．(1)(2)最小值为，最大值为5【分析】（1）由两角和的正弦公式和倍角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，解不等式；.（2）化简函数解析式，由定义域结合函数解析式求值域.【详解】（1）.∴即，，，，.不等式的解集为（2）.，，设，则.令，则，当时，.当时，.在上的最小值为，最大值为5.19．(1)(2)【分析】（1）根据的关系可得是等差数列，即可求解，进而可得，（2）根据错位相减法即可求解.【详解】（1），，又.数列是公差为2，首项为的等差数列.,即.当时，，故.（2）时，时，.设的前n项和为，则，..（）当时，也符合，所以20．(1)(2)4【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理边角互化、余弦定理分析运算即可得解.（2）利用余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积公式、基本不等式分析运算即可得解.【详解】（1）解：由题意，，，，∵，∴，∵，∴，∴.（2）解：如上图，由（1）知，∵，∴，∴在中，，又知，∴.∵，∴在中，，∴，∴.∴，当且仅当即时，等号成立，∴的面积最大值为4.21．(1)(2)公司应在第14年年底淘汰该批设备【分析】（1）根据等差数列等比数列的定义，即可根据首项和公差公比求解，（2）根据数列的单调性，结合对数运算即可求解.【详解】（1）设第n年年底设备价值为万元，，因为前5年每年年底的价值比年初减少m万元，所以当时，为等差数列，公差为，首项为，所以.又因为从第6年开始每年年底的价值为年初的80%，所以当时，为等比数列，公比为0.8，首项为，所以.因为，即，解得.综上，.（2）设第n年养护费为万元，，由题意，时，，当时，成等比数列，公比为，.由（1）知，时，递减，，当时，令，即，整理得，即.解得.公司应在第14年年底淘汰该批设备.22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）点在曲线和切线上，所以先求出点，然后代入，计算出，再对进行求二阶导数，分析在时的情况即可.（2）现根据的表达式化简