2024（人教版）数学九年级下册 第27章 相似 知识清单+练习（学生版+解析版）

第二十七章相似(知识清单)相似比定义性质判定4.相似比的概念；相似多边形叫做相似比.5.比例线段的概念：对于四条线段a,b.c.d,如果其中相等，如 (即),我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.6.相似三角形的概念；在△ABC和△A'B'C中，如果∠A=,∠B=,∠C=,且似比. =k,即三角分别、三边,我们就说△ABC和△AB'C'相似，为相7.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的成比例.简称：平行线分线段成比例.8.平行线分线段成比例推论：平行于(或_),所得的对应线段成比例.9.相似三角形判定定理3;三边的两个三角形相似.10.相似三角形判定定理4:两边日的两个三角形相似，11.三角形相似判定定理5:两角分别的两个三角形相似，12.直角三角形相似判定定理1:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应,那么这两个直角三角形相似.14利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意画出(2)将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的(3)利用相似三角形建立线段之间的关系，求出如果两个图形的都经过同一点，且这点与对应顶点所连线段_,那么这两个图形叫做位似图形.1)位似图形是一种特殊的.图形，它具有图形的所有性质，即相2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于.(位似图形的相似比也叫做 )3)对应线段或者在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比(新图与原图的相似比)为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于,则图象上的对应点的坐标考查题型一判断相似图形3.观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有()考查题型二由平行判定成比例线段且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()2.如图，ACⅡBD,AD与BC交于点E3.如图，在△ABC中，DEⅡBC,DF|AC,则下列比例式中正确的是()考查题型三由平行截线求相关线段的长或比例A.2B.32.如图，在△ABC中，点D在边ABA.3:2B.4:3连接BE并延长交AC于点F,则AF:FC的值是()则BE的长为()A.12B.20C.24考查题型四证明两个三角形相似求证：△ACD~△ABC.2.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在BC,AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC∽△DEB.(2)△AEF∽△ACD.5.如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8,BC=10.(1)求证：△AEF∽△DFC;(2)求线段EF的长度.2.如图，要使△ACD~△ABC,需要具备的条件是()D.CDD.CD²=AD·BD;(2)当点P,Q相遇时，相遇点在哪条边上?并求出此时AP的长.(4)点P,Q分别在AC,BC上时，△PQC的面积能否是△ABC面积的一半?若能，求出t的值；若不能，请说明理由.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D,点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒.(3)当t为何值时，△CPQ与△CAD相似?请直接写出t的值.考查题型七相似三角形与存在性问题动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为(2)是否存在某一时刻t,使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动过动点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,设M、N运动时间为t秒，(0<t<4)(1)当t=3秒时，P点的坐标为(),PC=;不存在，说明理由.考查题型八利用相似三角形性质求解1.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为()c.D.2.如图，在因ABCD中，EF//AB,DE:EA=2:3,EF=4,则CD的长为().象恰好经过点A,A.-2√3B.2√3C.√34.如图，点E是②ABCD的边AD上的一点，且,连接BE并延长交CD的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则②ABCD的周长为()A.21B.28C.34考查题型九利用相似三角形解决实际问题1.如图，利用标杆DE测量楼高，点A,D,B在同一直线上，DE⊥AC,BC⊥AC,垂足分别为E,C.若测得AE=1m,DE=1.5m,CE=5m,楼高BC是多少?2.【学科融合】如图1,在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r.这就是光的反射定律.【问题解决】如图2,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m,点F到地面的高度CF=1.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,木板到墙的水平距离为CD=4m.图中A,B,C,D在同一条直线上.(2)求灯泡到地面的高度AG.3.如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m,点F到地面的高度CF=1.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木板的水平距离为CD=4m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上.(2)求灯泡到地面的高度.4.在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1).小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.图1图2(1)在横线上直接填写甲树的高度为米；(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度.考查题型十位似图形的识别1.下列选项中的两个图形(实线部分),不是位似图形的是()2.下列各组图形中不是位似图形的是()A.考查题型十一利用位似图形的性质求解1.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB,则△ABC与△DEF的周长之比A.1:2B.1:4C.1:32.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA:OD=1:2,则△ABC与△DEF的面积比为3.如图，图形甲与图形乙是位似图形，0是位似中心，位似比为2:3,点A,B的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B'的长为()A.8B.9考查题型十二在坐标系中画位似图形1.在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示.2:1.2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(2,3),以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A'B'C'.112第二十七章相似(知识清单)相似比图形的放大与缩小定义等，如a:b=c:d(即ad=bc),我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.即三角分别相等、三边成比例，我们就说△ABC和△A'B'C'相似，k为相似比.7.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称：平行线分线段成比例.8.平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.9.相似三角形判定定理3:三边成比例的两个三角形相似.10.相似三角形判定定理4:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.11.三角形相似判定定理5:两角分别相等的两个三角形相似.12.直角三角形相似判定定理1:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.14.利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意画出示意图(2)将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角(3)利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未知量(4)写出答案如果两个图形的对应顶点的连线都经过同一点，且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形1)位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等.2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.(位似图形的相似比也叫做位似比)3)对应线段平行或者在一条直线上.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比(新图与原图的相似比)为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,则图象上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)考查题型一判断相似图形C.两个等边三角形D.两个菱形【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解.【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟记各种变换的概念的解题的关键.3.观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有()【分析】根据相似图形的定义，对图形进行一一分析，选出正确答案.是相似图形的有2组.【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换.考查题型二由平行判定成比例线段且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可.,【详解】解：对A、B选项.∵ACⅡBD,EFIBD,故AB正确，不符合题意；而DE≠故D错误，不符合题意.【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型.3.如图，在△ABC中，DE||BC,DFⅡAC,则下列比例式中正确的是()【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.考查题型三由平行截线求相关线段的长或比例,则DE的长为()【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作即可求解.(或两边的延长线)所得对应线段成比例”.A.3:2B.4:3C.2:1【分析】过点D作DGⅡAC,与BF交于点G,于是FC=2DG,AF=3DG,∴AF:FC=3DG:2DG=3:2【详解】过点D作DGⅡAC,与BF交于点G,如图：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键.则BE的长为()考查题型四证明两个三角形相似求证：△ACD~△ABC.【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可.∴△ACD~△ABC.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准证明.2.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在BC,AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC∽△DEB.根据∠ADE=60°,可得∠ADB=∠2+60°,可证∠1=∠2即可.【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键.(2)△AEF∽△ACD.【分析】(1)根据∠ADE=∠B,可得DEBC,从而得到即可求证；(2)根据AD²=AF·AB,可得从而得到即可求证.【详解】(1)证明：∵∠ADE=∠B,(2)证明：∵AD²=AF·AB,(1)求证：△AEF∽△DFC;(2)求线段EF的长度.【答案】(1)证明见解析；(2)【答案】(1)证明见解析；(2)EF=5.D.AC²=AD·AB【分析】根据公共角∠A,再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.A、当∠ACD=∠B时，再由∠A=∠A,可得出△ACD~△ABC,故选项A不合题意；B、当∠ADC=∠ACB时，再由∠A=∠A,可得出△ACD~△ABC,故选项B不合题意；寸，∠A不是夹角，所以无法得出△ACD~△ABC,故选项C符合题意；【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.2.如图，要使△ACD~△ABC,需要具备的条件是()C.AC²=AD·AB【分析】题目中隐含条件∠A=∠A,根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条【详解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A,∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：C.AB·BC=AD·DED.AB·AE=AD·AC答案.则则BP=2r(cm),CP=BC-BP=(8-2r)(cm),CQ=t(cm),(2)当点P,Q相遇时，相遇点在哪条边上?并求出此时AP的长.(4)点P,Q分别在AC,BC上时，△PQC的面积能否是△ABC面积的一半?若能，求出t的值；若不能，请说明理由.【分析】(1)利用勾股定理直接求解即可；(2)分类讨论点的位置对应不同的时间，直接计算即可；(3)直接求出边长来求面积即可；(4)解方程时通过求根公式来说明不能取到值；(5)先画出图形，然后利用平行线间的线段比列方程求值.【详解】(1)在RtAABC中，AB=√AC²+BC²=√32+42=5(2)点P运动到B需要：(4+5)÷1=9s点Q运动到B点需要：(3+4+5)÷2=6s当点P,Q相遇时，有2t-t=4.解得t=4.(4)不能,化为t²-2t+3=0.,(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t为何值时，△CPQ与△CAD相似?请直接写出t的值.【分析】(1)利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长.(2)过点P作PH⊥AC,垂足为H,通过△CHP~△BCA,可用t的代数式表示PH,从而可以求出S与t之间的函数关系式，即可解决问题；(3)先用t表示出DP,CQ,CP的长，再分∠CPQ=90°与∠COP=90°两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解，即可得出结论.【详解】(1)解：∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,(2)解：过点P作PH⊥AC于点H,如图，综上所述，当t为3或?时，△CPQ与△CAD相似.【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.考查题型七相似三角形与存在性问题1.如图，在矩形ABCD中，AB=3动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒(0<t<3).(2)是否存在某一时刻t,使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在，求出t的值请说明理由.【分析】(1)由△AMN的面积等于矩形ABCD面(2)存在.理由如下：①当△MNA~△ACD时【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题和平行四边形的动点问题，熟练掌握相似三角形的性质和矩不存在，说明理由.【分析】(1)先确定出点C坐标，进而得出直线AC解析式，即可得出点P的坐标，最后用两点间的距离公式(2)先得出AC=5,BN=t,CN=4-t,用相似三角形的性质列出方程即可求出时间t;(3)由菱形的性质，邻边相等即可分三种情况列方程即可求出时间t.【详解】(1)解：∵四边形OABC为矩形，点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),∵点M从点O向点A以每秒1个单位的速度运动，;;时当tt③当CN=PN时，,【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了平面坐标系内两点间的公式，相似三角形的性质，菱形的性质，解本题的关键分类讨论思想，是一道比较简单的中考常考题.考查题型八利用相似三角形性质求解1.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均A.5∴△DEF~△DAB.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、比例性质、平行四边形的性质，熟练掌握相求得△AOD的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得k的值.【详解】解：作AD⊥OB于D,,连接BE并延长交CD的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则@ABCD的周长为()A.21B.28【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可.【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形答.考查题型九利用相似三角形解决实际问题测得AE=1m,DE=1.5m,CE=5m,楼高BC是多少?【答案】楼高BC是9米.【分析】先求出AC的长度，由DE//BC∴楼高BC是9米.【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.2.【学科融合】如图1,在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光光的反射定律(2)解：∵AC=5.4m,∴△∴△BGA~△BFC,上.则△BFC~△BED,∴△BGA~△BFC,【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键.小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1).小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.【分析】(1)根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高；(2)根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案.【详解】(1)解：根据题意得：∴BC=2.4(米)CD=1.2(米)1.下列选项中的两个图形(实线部分),不是位似图形的是()