北京市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(无答案)

北京市重点中学2023-2024学年度第一学期12月调研试卷高二数学本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟第一部分（选择题共50分）一、选择题：1．己知数列是一个等差数列，，公差，则其首项（）A．3B．4C．5D．62．下列求导数运算中正确的是（）A．B．C．D．3．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．4．某物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（）A．2米/秒B．3米/秒C．5米/秒D．6米/秒5．己知空间三点，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，则（）A．B．C．D．7．设等比数列的的前n项和是，则“”是“”的（）条件．A．充分而不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊啦、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（）A．21寸B．20.5寸C．20寸D．19.5寸9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．曲线在点处的切线斜率小于零B．函数在区间上单调递增C．函数在处取得极大值D．函数在区间内至多有两个零点10．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（）A．存在点E，使B．三棱锥的体积随动点E变化而变化C．直线EF与所成的角不可能等于D．存在点E，使平面第二部分（非选择题共100分）二、填空题：11．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，，其中2名喜欢甜品现在从这5名学生中随机抽取3人、则抽到的3人中有人喜欢甜品的概率为_________．12．直线与直线的夹角为_________．13．已知长方形ABCD，，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为_________．14．己知点，F为抛物线的焦点．点P在抛物线上移动，当最小时，点P的坐标为_________．15．（图1）庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶四面斜坡，也称“四阿顶”；（图2）是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面ABCD是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等，已知，则_________．图1庑殿顶图216．已知点和圆上两个不同的点M，N，满足，Q是弦MN的中点，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是_________．①的最小值是4；②点Q的轨迹是一个圆；③若点，点，则存在点Q，使得；④面积的最大值是．三、解答题：17．已知是公差为正数的等差数列，，且是与的等比中项．（1）求的通项公式；（2）求的前n项和；（3）求的前n项和的最小值．18．如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）在上是否存在一点E，使得与BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．已知椭圆离心率为，右焦点为F，点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线交于点P，Q，求的大小．20．己知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的最大值；（3）当时，证明：．21．若数列满足：，且，则称为一个X数列