专题18 难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略（解析版）

专题18难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一几何图形中动角定值问题】 1【考点二几何图形中动角数量关系问题】 6【考点三几何图形中动角求运动时间问题】 11【过关检测】 19【典型例题】【考点一几何图形中动角定值问题】例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，(1)求的度数.(2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由.(3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.【答案】(1)(2)发生变化，理由见解析(3)不变，【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解；（2）根据，则转动时同样在动，同理也在动；（3）根据（1）的结论即可求解．【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，∴，∴（2）解：∵，∴转动时同样在动，同理同样转动；（3）不变同样35°；解：当射线在的内部线绕点转动时，∵是的平分线，是的平分线，，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：(1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度；(2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数；②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数；(3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②(3)的值不会发生变化，，理由见解析【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可；（2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；（3）分别用表示出．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，∴，故答案为：；（2）解：①由题意得，，∵为的角平分线，∴，∴；②由题意得，，∵为的角平分线，∴，∴；（3）解：的值不会发生变化，，理由如下：由题意得，，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键．2．（2023秋·重庆·七年级校考期末）如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，，，，分别是，的角平分线．(1)当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图2），则的大小为；(2)如图3，在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时，则的大小为；(3)在绕点顺时针旋转到内部时，请你画出图形，的度数是否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出的度数．【答案】(1)(2)(3)的度数不变，为，图形见解析【分析】（1）利用角平分线的定义得到即可求解；（2）通过角的转化得到即可求解；（3）通过角的转化得到即可求解．【详解】（1）∵，，∴，∵，分别是，的角平分线，∴，∴（2）∵，分别是，的角平分线，∴，∴；（3）的度数不变，为，作图见下图．∵，分别是，的角平分线，∴，∴；∴的度数不变，为．【点睛】本题考查了角平分线的定义和角的和差转化，解题关键是能利用角平分线的定义得到关于的表达式，再利用角的和差关系进行计算即可．【考点二几何图形中动角数量关系问题】例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．

(1)如图1，当平分时，求的度数；(2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．【答案】(1)(2)不改变，，理由见解析【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到；（2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵．∴，∴，∴；（2）①在内部时．令，则，，∴，∴；②的两边在射线的两侧时．令，则，，，∴，∴．综上可得，和的数量关系不改变，【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．【变式训练】1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．(1)如图1，若是的平分线，求的度数；(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案；（2）设，则，再利用，然后整理可得结论．【详解】（1）∵是的平分线，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2），设，则，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．(1)如图，当，重合时，求的度数；(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？【答案】(1)(2)为定值，理由见解析(3)当时，；当时，；当时，【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；(2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案；(3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解．【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分，、，；（2）解：的值为定值，理由如下：如图：从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度，，点C、D在直线的右侧，射线平分，射线平分，，，，的值为定值；（3）解：当时，如图2：由(2)知，；当时，如图3所示，，，射线平分，射线平分，，，；当时，如图4所示，，，射线平分，射线平分，，，；综上，与具有的数量关系为：当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．【考点三几何图形中动角求运动时间问题】例题：（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图1，点依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿道时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为(的值在到之间，单位：秒)．

(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值：如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)秒(3)存在，秒或秒【分析】（1）当时，，，根据平角减去，即可求解；（2）根据题意，当第二次达到时，则，解方程即可求解；（3）当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，分别解方程即可求解．【详解】（1）解：当时，，，所以，答：的度数是；（2）根据题意，当第二次达到时，，解得，答：当第二次达到时，的值是秒；（3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下：当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，所以，解得；当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，所以，解得，综上所述，的值是秒或秒．【点睛】本题考查了结合图形中的角度计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由．【答案】(1)；平分，理由见解析(2)的值为或【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分；（2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可．【详解】（1）解：旋转前,当平分时，，则,解得：，结论：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

则，∴，∴，当停止时,平分,则有,

∴,综上所述，满足条件的的值为或．【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得；（3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴由题意得：，∴，，∴；②由①知，∵，∴，∵，，∴，把代入得：解得，∴若，当时，．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．

(1)【探索新知】如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．①一个角的平分线这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则．（用含的代数式表示出所有可能的结果）(2)【深入研究】如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒．①当为何值时，射线是的“巧分线”．②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值．【答案】(1)①是；②或或(2)①或或；②或或【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解；②分3种情况，根据巧分线定义即可求解；（2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”；故答案为：是②∵，当是的角平分线时，∴；当是三等分线时，较小时，∴；当是三等分线时，较大时，∴；故答案为：或或；（2）解：①∵是的“巧分线”，∴在内部，所以转至左侧，∵与成时停止旋转，且，旋转速度为．∴．当时，如图所示：

，解得；当时，如图所示：

，解得；当时，如图所示：

，解得．∵或或均在的范围内，∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”；②依题意有：在的内部，∴，，当时，如图所示：

，解得；②当时，如图所示：

，解得；③当时，如图所示：

，解得．∴当t为或或时，射线是的“巧分线”．【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．【过关检测】一、填空题1．（2023秋·广西百色·七年级统考期末）如图，在的内部，且，若将绕点O顺时针旋转,当旋转的角度超过，不超过时，使在的外部，在运动过程中，平分，则与之间满足的数量关系是．【答案】【分析】先根据题意画出图形，然后再根据几何图形中的角的计算即可解答．【详解】解：如图：当旋转的角度超过，不超过时，∴，，∵，平分，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了角的和差、角平分线等知识点，根据题意正确画出图形是解答本题的关键．2．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为．【答案】12或30．【分析】根据角平分线定义列出方程可求解．【详解】解：（1）∵∠AOC=120°，∵OP所在直线恰好平分∠AOC，∴∠AOP=180°-∠AOC=120°（此时OP在角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在角平分线上），∴10t=120或10t=300，∴t=12或30，故答案为：12或30．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，平角的定义，列出正确的方程是本题的关键．二、解答题3．（2022秋·广东珠海·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分．

(1)如图①，与的数量关系为______；(2)如图①，如果，求的度数；(3)若将图①中的绕点O旋转至图②的位置，依然平分，若，请猜想的度数（可用表示），并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据已知条件和图形可知：，，从而可以得到与的数量关系；（2）先求出，根据射线平分，得到，再利用即可求解；（3）利用，表示出，再利用平分，得到，再写出的度数．【详解】（1）解：∵，，∴，故答案为：；（2）理由如下：∵，，∴，∵平分，∴，∴；（3），理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．4．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．(1)如图，当，重合时，求的度数；(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？【答案】(1)(2)为定值，理由见解析(3)当时，；当时，；当时，【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；(2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案；(3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解．【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分，、，；（2）解：的值为定值，理由如下：如图：从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度，，点C、D在直线的右侧，射线平分，射线平分，，，，的值为定值；（3）解：当时，如图2：由(2)知，；当时，如图3所示，，，射线平分，射线平分，，，；当时，如图4所示，，，射线平分，射线平分，，，；综上，与具有的数量关系为：当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．5．（2022秋·福建福州·七年级统考期末）如图，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板MON绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒．(1)若平分，求t的值；(2)求的数量关系；(3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止．求在旋转过程中，的数量关系．【答案】(1)(2)时，；时，(3)【分析】（1）根据角平分线的定义得到，得于是得到t＝2.25秒，（2）分两种情况当当时，当时分别求出再相加减即可得到结论；（3）根据题意得，求得，即可得到结论．【详解】（1）∵∴∵平分∴∵∴∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转∴∴的值为；（2）当时,如图2根据题意，得∴∵∴∴当时，如图3根据题意，得∴

∵∴∴；（3）∵∴∴∵

∴∴.【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．6．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．

(1)运动开始前，如图1，______，______；(2)旋转过程中，当为何值时，射线平分?(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)39，51(2)(3)存在，符合条件的的值为12s或33s【分析】（1）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义直接计算即可；（2）根据列方程求解即可；（3）分情况根据列方程求解即可．【详解】（1）解：，，三点在一条直线上，，，，，分别平分和，，，故答案为：39，51；（2）解：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，，射线平分，，，，；（3）解：存在某一时刻使得，分以下几种情况：情况一：若在上方，此时，即，解得；情况二：若在下方，此时，即，解得（不符合题意，舍去）；情况三：当停止运动时，继续旋转时，当旋转264°时，有，此时．综上所述，符合条件的的值为12s或33s．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键．7．（2023秋·山东潍坊·八年级统考阶段练习）将一副直角三角板按图摆放在直线上（直角三角板和直角三角板在同一平面内，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针转动（即每一条边都绕点以相同速度顺时针转动），转动时间为秒．

(1)当秒时，平分？如图，此时；（直接写答案）(2)继续转动三角板，如图，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含）(3)若在三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时同时停止，（自行画图分析）当为多少秒时，？在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含）【答案】(1)，；(2)，理由见解析；(3)秒或秒；，理由见解析．【分析】（）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到；（）根据题意得，求得，即可得到结论；