第18讲 圆内接正多边形（原卷版）

第18课圆内接正多边形目标导航目标导航课程标准1.知道圆内接正多边形的定义及相关概念；2.认识正多边形与圆的关系；3.会用尺规作一个圆的内接正六边形和正方形；4.掌握正多边形边长、中心角及边心距的求法.知识精讲知识精讲知识点01圆内接正多边形的相关概念圆内接正多边形的定义的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的。圆内接正多边形的相关概念正多边形的中点：一个正多边形叫做正多边形的中心，如上图点O。正多边形的半径：正多边形叫做正多边形的半径，如图中的OA,OB,OE。正多边形的中心角：正多边形叫做正多边形的中心角，如图中的。正多边形的边心距：正多边形的叫做正多边形的边心距，如图中的OM。知识点02正多边形的有关计算与正多边形有关的计算公式（n为正多边形的边数，n3）：正n边形的每个内角为正n边形的每个中心角为正n边形的每个外角为正n边形的半径R、边心距r、边长a之间的关系为若正n边形的边长为a，边心距为r，则，面积知识点03圆内接正多边形的画法可利用正多边形和外接圆的关系画正多边形，即作，只要把，然后即可。有如下两种方法：1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆

对于，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。

注意：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.能力拓展能力拓展考法01求正多边形的中心角以及边数【典例1】如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（

）A． B． C． D．【即学即练】如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（）A．60° B．45° C．30° D．15°【典例2】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（

）A．10 B．12 C．15 D．20【即学即练】如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（）A．9 B．10 C．12 D．15考法02正多边形和圆【典例3】如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（）A．4 B．4 C．2 D．2【即学即练】如图，、、、是上的四点，，，，则的面积为（）A． B． C．2 D．3【典例4】如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（

）A． B． C．2 D．3【即学即练】由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（）A． B． C． D．考法03尺规作图——正多边形【典例5】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（

）A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对【即学即练】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；对于甲、乙两人的作法，可判断（

）A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对C．两人都不对 D．两人都对分层提分分层提分题组A基础过关练1．内角为的正多边形是（

）A． B． C． D．2．已知的直径为4，则它的内接正六边形的面积为（

）A． B．12 C．24 D．3．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（

）A． B． C． D．4．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（

）A．12 B． C． D．5．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B．C． D．6．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（

）A． B．C． D．与相等7．半径为3cm的圆内接正方形的对角线长为______cm，面积为______．8．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．9．如图，正六边形内接于，求的度数．10．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．(1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆，①若，则该正n边形的“接近度”等于．②若，则该正n边形的“接近度”等于______．③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆．(2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？题组B能力提升练1．若正方形的外接圆半径为2，则其内接圆半径为（

）A． B．2 C． D．12．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（

）A．72° B．54° C．36° D．64°3．已知是半径为2的圆形纸板，现要在其内部设计一个内接正三角形的图案，则内接三角形的边长为（

）A． B． C． D．4．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（

）A．的内心与外心都是点G B．C．点G是线段的三等分点 D．5．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（

）A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）6．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（

）A． B． C． D．7．如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为______.8．如图，等边内接于，为边的中点，为上一动点，连接交于点，则的最大值为_________.9．以圆内接正五边形为例证明：如图，把分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形．∵，∴_______＝_______＝_________＝________，∴，∴_______，同理，又∵五边形的顶点都在上，∴五边形是的___________，是五边形的_____________．10．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APB的度数；（2）图②中，∠APB的度数是90°，图③中∠APB的度数是72°；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．题组C培优拔尖练1．圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（）A．4 B． C． D．2．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（

）A．B．C．D．3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．76° B．72° C．60° D．36°4．如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．5．我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（

）A． B． C． D．6．如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．以上结论正确的是（）A．②③ B．①③ C．② D．①7．如图，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，轴，将正六边形绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转，当时，顶点A的坐标为_____________．8．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△B