2023年人教版初中九年级数学分解因式法（教五）

2023年人教版初中九年级数学分解因式法（精华版教五）

课时安排

1课时

从容说课

分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法.它是把

一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解.体现了一种“降次”的思想，这

种思想在以后处理高次方程时非常重要.

这部分内容的基本要求是让学生学会方法.本节的重、难点是利用分解因式

法来解某些一元二次方程.

由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学

生仅能解决形如“x（x-a）=0”“xJa2=0”的特殊一元二次方程.所以在教学中，

可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发

现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法.其基

本思想和方法是：一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因

式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是

原一元二次方程的解.这种思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重点.

通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，

从而让学生体会解决问题的多样性.

课题

§21.2.5分解因式法

教学目标

（一）教学知识点

1.应用分解因式法解一些一元二次方程.

2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.

（二）能力训练要求

1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题

方法的多样性.

2.会用分解因式法（提公因式法、公式

法）解某些简单的数字系数的一元二次方程.

（三）情感与价值观要求

通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程

解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确

程度.再之，体会“降次”化归的思想.

教学重点

应用分解因式法解一元二次方程.

教学难点

形如“x-ax”的解法.

教学方法

启发引导式归纳教学法.

教具准备

投影片五张.

第一张：复习练习（记作投影片§2.4A）

第二张:引例（记作投影片§2.4B）

第三张；议一议（记作投影片§2.4C）

第四张：例题(记作投影片§2.4D)

第五张：想一想(记作投影片§2.4E)

教学过程

I,巧设现实情景，引入新课

［师］到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、

配方法、公式法，下面同学们来做一练习.(出示投影片§2.4A)

解下列方程：

(1)X2-4=0；

(2)x-3x+l=0；

(3)(X+1)2-25=0；

(4)20X2+23X-7=0.

［生］老师，解以上方程可不可以用不同的方法？

［师］可以呀.

［生甲］解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方

程的特点，

我采用了开平方法，即

解：X2-4=0,

移项，得X2=4.

两边同时开平方，得

x=±2.

••X］-2>X2=-2.

［生乙］解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用

了公式法，即

解：这里a=l,b=-3,c=l.

b-4ac=(-3)-4XlXl

=5>0,

.3+V53-V5

..Xi=-----，x=------

222

［师］乙同学，你在解方程(2)时，为什么选用公式法，而不选配方法呢?

［生乙］我觉得配方法不如公式法简便.

［师］同学们的意见呢？

［生齐声］同意乙同学的意见.

［师］很好，继续.

［生丙］解方程(3)时，可以把(x+1)当作整体，这时用开平方法简便，即

解：移项，得(x+l)z=25.

两边同时开平方，得

x+l=±5,

即x+1=5,x+l=-5.

Xi=4,X2=-6

［生丁］解方程(4)时，我用的公式法求解，即

解：这里a=20,b=23,c=~7,

b-4ac=23-4X20X(-7)=1089>0,

.-23±V1W-23±33

..x=----------=-------.

2x2040

.17

..x产一x=--.

425

［师］很好，由此我们知道：在己经学习的解一元二次方程的三种方法一一直

接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配

方法不如公式法简便.因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法.

公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元

二次方程.

用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、

b、c的值；其次，通常应先计算b?-4ac的值，然后求解.

一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来

进一步探讨一元二次方程的解法.

II.讲授新课

［师］下面我们来看一个题.（出示投影片§2.4B）

一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎

样求出来的？

［师］大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流.

［生甲］解这个题时，我先设这个数为x,根据题意，可得方程

X2=3X.

然后我用公式法来求解的.

解：由方程d=3x,得

x'-3x=0.

这里a=l,b=-3,c=0.

b2-4ac=(-3)-4XlX0

=9>0.

即

Xi=3,x2=0.

因此这个数是0或3.

［生乙］我也设这个数为x,同样列出方程x?=3x.

解：把方程两边同时约去x,得x=3.

所以这个数应该是3.

［生丙］乙同学做错了，因为0的平方是0,0的3倍也是0.根据题意可知，

这个数也可以是0.

［师］对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉

了一个根.大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程

两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0,否则，变形就会错误.

这个方程还有没有其他的解法呢？

［生丁］我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x,这时可

把x提

出来，左边即为两项的乘积.前面我们知道：两个因式的乘积等于0,则这两个

因式为零，

这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解.

解：x'3x=0,

x(x-3)=0,

于是x=0,x-3=0.

••Xj=0,X2=3

因此这个数是0或3.

［师］噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗？

［生齐声］行.

［师］丁同学应用的是：如果aXb=O,那么a=0,b=0,大家想一想，议一

议.(出示投影片§2.4C)

aXb=O时，a=0和b=0可同时成立，那么x(x-3)=0时，x=0和x-3=0也能同

时成立吗？

［生齐声］不行.

［师］那该如何表示呢？

［师］好，这时我们可这样表示：

如果aXb=0,

那么a=0或b=0

这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次

方程中间用的是“或”，而不用“且”.

所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中间应写上“或”字.

我们再来看丁同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0,而另一

边可以分解成两个因式的乘积，然后利用aXb=0,则a=0或b=0,把一元二次

方程变为一元一次方程，从而求出方程的解.我们把这种解一元二次方程的方法

称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次

因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程.

因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少

有一个等于零.如：若(x+2)(x-3)=0,那么x+2=0或.x-3=0；反之，若x+2

=0或x-3=0,则一定有(x+2)(x-3)=0.这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相

当于解方程x+2=0或x-3=0.

接下来我们看一例题.(出示投影片§2.4D)

［例题］解下列方程：

(1)5X2=4X；(2)x-2=x(x-2).

［师］同学们能独自做出来吗？

［生］能.

［师］好，开始.

［生甲］解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解.

解：原方程可变形为

5x?-4x=0,

x(5x-4)=0,

x=0或5x-4=0.

・n4

•.Xi=0,x2=—.

5

［生乙］解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2),所以可把(x-2)看

作整体，然后移项，再分解因式求解.

解：原方程可变形为

x-2-x(x-2)=0,

(x-2)(1-x)=0,

x-2=0或l-x=0.

•*X|=2>X2=l.

［生丙］老师，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢？

［师］能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便.

下面同学们来想一想，做一做.(出示投影片§2.4E)

你能用分解因式法解方程x2-4=0,(X+1)2-25=0吗？

［生丁］方程x2-4=0的右边是0,左边X2-4可分解因式，即X2-4=(X-2)(X+2).这

样，方程x2-4=0就可以用分解因式法来解，即

解：x2-4=0,

(x+2)(x-2)=0,

.,.x+2=0或x-2=0.

.".Xi=-2,X2=2.

［生戊］方程(x+l”-25=0的右边是0,左边(X+1)2-25,可以把(x+1)看作整

体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的

解,即

解：(X+1)2-25=0,

［(x+D+5］［(x+l)-5］=0.

，(x+1)+5=0,

或(x+l)-5=0.

/.Xi=-6,X2=4.

［师］好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，

现在用的是因式分解法.由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们

在选用时，以简便为主.

好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法.

in.课堂练习

(一)课本P6I随堂练习1、2

1.解下列方程：

(1)(x+2)(X-4)=0；

(2)4x(2x+l)=3(2x+l).

解：(1)由(x+2)(x-4)=0得

x+2=0或x-4=0o

/.Xi=-2,X2=4.

(2)原方程可变形为

4x(2x+l)-3(2x+l)=0,

(2x+l)(4x_3)=0,

/.2x+l=0或4x-3=0.

.__1_3

•*Xj——,X2---・

24

2.一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.

解：设这个数为x,根据题意，得

2x'=7x,

2x-7x=0,

x(2x-7)=0.

/.x=0或2x-7=0.

.・.Xi=n0,x=—7.

22

因此这个数等于0或1.

2

（二）阅读课本P59〜P.,然后小结.

IV.课时小结

我们这节课又学习了一元二次方程的解法一一因式分解法.它是一元二次方

程解法中应用较为广泛的简便方法.

V.课后作业

(一)课本P6I习题2.71

(二)1.预习内容：P62~PM

2.预习提纲

如何列方程解应用题.

VI.活动与探究

1.用分解因式法解:(x-1)(x+3)=12.

［过程］通过学生对这个题的探讨、研究来提高学生的解题能力，养成良好的

思考问题的习惯.

［结果］

1.解:(x-1)(x+3)=12.

x~+2x-3=12,

X2+2X-15=0,

(x+5)(x-3)=0.

.,.x+5=0或x-3=0.

/.