2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（文科）（解析版）

2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷(文科)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.i为虚数单位，若复数(1+加)(1+i)是纯虚数，则实数，”=()

A.-1B.0C.1D.0或1

2.已知集合用={>状=510%,xGR),N={x|x2-X-2V0},则MC1N=()

A.(-1,1]B.[-1,2)C.(-1,1)D.[-1,1)

TT

3.已知口=3,后|=2,Z与E的夹角为丁，则|27-33=()

A.6B.376C.376-372D.372

4.圆N-2x+y2-3=0的圆心到直线y=x的距离是()

D.也

A.B.—C.1

"N22

5.已知一个半径为4的扇形圆心角为9(0<0<2n),面积为2m若tan(0+(p)=3,则

tan(p=()

A.0B.—C.2

2

6.已知/(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=-log?(ax),若/(-4)=3,则a=()

12

A.---B.—C.2D.1

322

7.2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上

摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时「带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉

祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随

机购买两个，买到隐藏款的概率为()

1929

A.—B.—C.—D.—

3775

8.已知/、加、〃为空间中的三条直线，a为平面.现有以下三个命题：

①若/、团、〃两两相交，则/、加、〃共面；

②若〃ua,/〃a,则/〃〃；

③若nca,/±a,则/_L〃.

其中的真命题是()

A.①②③B.①③C.①②D.③

ITT

9.已知f(x)=~^"sin(3x+石-)(3>0)在［。，b］上单调，且值域为

［弓1，寺1，b-a=n,则f(-j^r尸()

/Nb

A.1B.近C.—D.—

424

10.如图，网格上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，若此多面体的

所有顶点均可以放置在一个正方体的各面内，则此正方体的对角线长为()

A.2V2B.4Mc.276D.273

11.已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(4-x)=f(x).当时，f(x)=3"+〃,

则了(2021)+f(2022)=()

A.7B.10C.-10D.-12

22

12.已知椭圆Ch2T今=1(a>五)与双曲线C2在公共的焦点尸1、尸2,A为曲线Cl、

a"2

C2在第一象限的交点，且△ABB的面积为2,若椭圆G的离心率为ei,双曲线C2的离

11

心率为62,则一2+2”=()

e।©2

14

A.—B.2C.1D.—

23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x+y-5<0

13.若实数X、y满足•2x-y-5<0.贝I］Z=2x-y的最大值是.

x》-2

14.为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源.2020年9月我国

提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标.如图是2016

至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重y的数据统计图，根据图中数据可以

得到y关于年份序号X的回归直线方程：_nniQO上。17口由回归方程可预测2022

y-u.0132x+0.175

年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为%.

2016-2020中国清洁能源消费占能源消费息■的比・

3CCMX----------------------]・----------------------[-

2500%---------------------------------------------------------------------------------------------------J——

----------------------------

_____----------------

割8t------------------；尸.J=---------------------------------------

比

18001------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10001-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

e<XM--------------------------------------------------------------”一

0001--------------------------------------II--------------------J

01214SI

年份汴9

15.在△ABC中，a,b,c,分别为角A,B,C的对边，若(2b-c)cosA-acosC=0,标在

菽方向上的投影是|菽|的今△ABC的面积为3M，则仁.

O

2，-1,x^^O,

16.函数f(x)=«有三个零点XI,XI,X3,且X|<X2〈X3,贝！]X1+X2+X3

-x2-4x-t,x<0,

的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60

分.

S1

17.在①U5=&，②"2是⑶和如的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，

Sg3

并解答.

问题：已知公差d不为0的等差数列｛处｝的前〃项和为S”的=6.

(1),求数列｛飙｝的通项公式；

(2)若数列屏=2&"，Cn=an+bn,求数列｛Cn｝的前“项和7k

18.自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科

研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准.如表是初中八年级A学科

的判断标准.

日均作业时间(分钟))[0,4)[4,8)[8,12)[12,16)不低于16

分钟

判断标准过少较少适中较多过多

之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得到

A学科日均作业时间的频数分布表见表.

日均作业时间(分钟))[4,8)[8,12)[12,16)[16,20)[20,24]

学校数2310105

(1)请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A

学科作业的日平均时间(结果精确到0.1)；

(2)针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设

计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了如表数据.

日均作业时间(分钟))[4,8)[8,12)[12,16)[16,20)[20,24]

学校数510852

若4学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有

99%的把握认为作业是否超量与培训有关.

作业未超量作业超量

未培训

培训

附.v2n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(心2攵)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.已知四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为菱形，点E为棱PC上一点(与P、C不重合)，

点M、N分别在棱P£)、PB上,平面EMN〃平面A8CD

(1)求证：8。〃平面AMM

JT

(2)若£为尸C中点，PC=BC=BD=2,NPBC=—,PC1.BD,求点A到平面

的距离.

20.已知函数/(x)―^-ax2-sinx,e为自然对数的底数.

(1)求/(x)在x=0处的切线方程；

(2)当x20时，f(%)-x-sin%,求实数。的最大值.

jr

21.已知抛物线氏y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为‘三的直线交抛物线于

4

M、N两点，|MN=8.

(1)求抛物线E的方程；

(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A,过A作抛物线E的切线交x轴于点3,点

A在直线x=-1上的射影为点C,试判断四边形AC8F的形状，并说明理由.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23务中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

f2

22.平面直角坐标系下，曲线Ci的参数方程为，x=4t-1.(,为参数)，曲线C2的参数

y=4t

方程为《x=c.osG,(a为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标

y=sinCl

系.

(1)求曲线G,C2的极坐标方程；

(2)过极点的直线/与曲线Ci交于4,B两点,与曲线C2交于M、N两点，求

的最小值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.己知函数/'(x)=|2x-4+2仅+力.

(1)当f=l时，解关于x的不等式/(x)26；

(2)当00时，/(x)的最小值为6,且正数a,b满足a+b=f,求工的最小值.

abab

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.i为虚数单位，若复数(1+，市)(1+/)是纯虚数，则实数机=()

A.-1B.0C.1D.0或1

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

解：*.*(l+/nz)(14-Z)=(1-m)+(1+机)i是纯虚数，

,fl~m=0un_

1l+mT^O

故选：C,

2

2.已知集合加={》|>=5111¥,XGR},N={X\X-X-2<0}9则MGN=()

A.(-1,1]B.[-1,2)C.(-1,1)D.[-1,1)

【分析】化简集合M、N,再求交集即可.

解：VA/={y|y=sinx,xER]=[-1,1],

N={x\x2-x-2<0}=(-1,2),

・・・MnN=(-1,1],

故选：A.

TT

3.已知国=3,亩=2,Z与E的夹角为丁，则|27-33=()

A.6B.376C.376-3V2D.372

【分析】先根据平面向量的运算及数量积计算出|22-3]匕即(27-35)2的值，进一

步即可计算出[2之-3]|的值，从而可得正确选项.

解：由题意，

可知1|2之-3河=(2彳-3b)2

=44-2・2；咻+9・|守

=4・9-12*|al,lbl，cos<a»b>+9,4

=72-12«3«2«—

2

=36,

・・・|2:-3三|=6.

故选：A.

4.圆/-2无+y-3=0的圆心到直线y=x的距离是()

A.J?B.—C.1D.亚

、22

【分析】首先把圆的方程转换为标准式，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结

果.

解：圆x2-Zx+y2-3=0转换为(x-1)2+/=4,故圆心的坐标为(1,0),半径为2；

故圆心(1,0)到直线x-y=0的距离港.

V22

故选：D.

5.已知一个半径为4的扇形圆心角为6(0<0<2TI),面积为2n,若tan(0+(p)=3,则

tan(p=()

A.0B.1C.2D.1

22

【分析】由己知结合扇形面积公式先求出①然后结合两角和的正切公式可求.

解：由题意得春eX42=2TT,

JT

所以0=工_,

4

所以tan=匿爵=3,

则tan(p-

故选：B.

6.已知/(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=-log2(ar),若/(-4)=3,则a=()

1Q

A.—B.—C.2D.1

322

【分析】由奇函数的定义和x>0时的函数解析式，结合对数的运算性质可得所求值.

解：/(x)是奇函数，当x>0时，/(x)=-log2(ar),

可得/(-4)=-f(4)=-[-log2(4a)]=3,

即4a=8,解得a=2.

故选：C.

7.2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上

摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时.，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉

祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随

机购买两个，买到隐藏款的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

3775

【分析】利用古典概型、排列组合直接求解.

解：冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，

基本事件总数〃=C；=21,

买到隐藏款包含的基本事件个数根=C；C々=6,

买到隐藏款的概率P=-=-^=^--

n217

故选：B.

8.已知/、，〃、〃为空间中的三条直线，a为平面.现有以下三个命题：

①若/、机、〃两两相交，则/、加、〃共面；

②若〃ua,/〃a,则/〃”；

③若〃ua,/J_a,则

其中的真命题是（）

A.①②③B.①③C.①②D.③

【分析】由直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可.

解：/、m,〃为空间中的三条直线，a为平面，

对于①，若/、相、〃两两垂直且交于一点时，则/、m、〃不共面，故①错误；

对于②，若〃ua,l//a,则/与〃平行或异面，故②错误；

对于③，若〃ua,/±a,则由线面垂直的性质得/，小故③正确.

故选：D.

ITT

9.已知f（x）=^sin（3x+百）（3>0）在6］上单调，且值域为

［弓1，寺1，b-a=n,则f（-jr^尸（）

//b

A.1B.近C.—D.—

424

【分析】由题可知，区间3,勿的长度n即为了（X）最小正周期，由此求出3,从而可

JT

求•

0

解：设下为f（X）的最小正周期，

因为/(X)在3，万I上单调，则8-a=7iw3,

又因为/(x)=《sin(u)x+-^-)(u)>0)且在［m/上值域为［-4■,3,

2622

故6-a=n=—,

2

故丁=如，

故3=1,

1兀

故/(x)=—sin(x+—),

26

匕匚1、1C/兀、—1•/兀兀、-1V3_V3

所以f(-7")=~sm(—―H■——)y

6266T飞"-"F

故选：B.

10.如图，网格上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，若此多面体的

所有顶点均可以放置在一个正方体的各面内，则此正方体的对角线长为()

C.276D.273

【分析】根据三视图还原出直观图，将图形放到正方体内可得正方体棱长，即可求解体

对角线长.

解：由已知三视图三个图形都为正方形可以看出,

直观图中各个顶点在正方体的面中心位置,

如上图中AB为正视图中两个小正方形的边长，得到A8=2,

所以可以得到正方体的棱长为2,

所以正方体的体对角线长为+22+22=2爪，

故选：D.

11.已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(4-x)—/(x).当0WxW2时，f(x)—3x+a,

则f(2021)t/(2022)=()

A.7B.10C.-10D.-12

【分析】根据奇函数的性质利用/(0)=0求出a的值，然后利用对称性和奇偶性求出

函数的周期，利用函数周期性进行转化求解即可.

解：函数f(x)是R上的奇函数，••./(())=0,即,(0)=1+。=0,得。=-1,

即当0WxW2时,f(x)=3，-1,

由/(4-x)=于3得/(4-x)=/(x)=-/(x-4),

则/(x+4)=-/(x),即/(x+8)=f(x),

即/(x)是周期为8的周期函数，

则/1(2021)=/(253X8-3)=/(-3)=/(7)=/(-1)=-/<1)='(3-1)=

-2,

f(2022)=f(253X8-2)=f(-2)=-/⑵=-(9-1)--8,

则f(2021)+f(2022)=-2-8=-10,

故选：C.

22

12.已知椭圆G,(a>&)与双曲线C2在公共的焦点Fi、Fi,A为曲线Ci、

a"2

C2在第一象限的交点，且△ABB的面积为2,若椭圆G的离心率为e”双曲线C2的离

11

心率为62,则一蒙+»=()

e1e2

14

A.—B.2C.1D.—

23

【分析】先由椭圆定义和余弦定理结合面积公式求出/KAB,再由双曲线定义和椭圆定

义找到a,a'的关系，代入目标式化简可得.

解：记椭圆中的几何量为“，b,c,双曲线中的几何量为〃，b',c,AF\=m,AF2=n,

则由椭圆和双曲线定义可得根+"=2a,①

m-n=2ar

两式平方相减整理得层-/2=〃?〃,

记NRAF2=e,则由余弦定理得〃及+/-2相〃85。=4〃，③

①2-③得2mn(1-cos0)=4足-4c2=4/?2=8,④

由面积公式可得sin0=2»即inn=一

《2iiinsinti.4‘

代入④整理得sin(84)*，

因为0E(0,TT),

所以8号€小，牛)，

所以8m丹_,得ej

442

所以理--2—4,BPa2=a2-4,

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x+y-5<0

13.若实数x、y满足，2x-y-5<0>则z=2x-y的最大值是5.

x》-2

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优

解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

解：由约束条件作出可行域如图，

由z=2r-y,得y=2x-z,由图可知，当直线y=2x-z与2x-y-5=0重合时,

直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5.

故答案为：5.

14.为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源.2020年9月我国

提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标.如图是2016

至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重)，的数据统计图，根据图中数据可以

得到y关于年份序号x的回归直线方程：［nmoo17C＞由回归方程可预测2022

y-0.U132x+O.172

年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为27.14%.

2016-202。中国清洁能源消费占能源消费息■的比・

------

一5一一‘

•

1411

年份汴9

【分析】由题意可知，2022年对应的年份序号为7,将x=7代入线性回归方程，即可求

解.

解：由题意可知，2022年对应的年份序号为7,

=0.0132X7+0.179=0.2714,

y

故2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为27.14%.

故答案为：27.14.

15.在△ABC中，a,h,c分别为角A,B,C的对边，若(2b-c)cosA-acosC=0,标在

菽方向上的投影是|菽|的京△ABC的面积为出后，则。=_后一

【分析】先利用正弦定理整理三角函数关系式求出A的值，再由标在正方向上的投影是

|菽|的,，以及三角形面积公式求得Ac的值，最后利用余弦定理即可求得。的值.

解：整理(2b-c)cosA-acosC=0,

得：2〃cosA=sinAcosC+cosAsinC,

1K

解得：COSA=4，由于则4=不-,

23

因为标在正方向上的投影是|ACI的母即屈cosA=/c=/|■记|=全，

所以c=?b,

因为△ABC的面积为出行，即与sinA=*.近=3«,

232

所以6=3,则c=4,

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2/?ccosA,解得。=/石，

故答案为：yj13-

2*-t,x）0,

16.函数f（x）=<'有三个零点XI,X2,孙且2V13,贝I」X1+X2+X3

-x2-4x-t,x<C0,

的取值范围是［一取一2）.

【分析】由题意将问题转化为g（X）=<2'的图象与直线y=t交点的横

-X2-4X,x<0

坐标分别为M,X2,X3,画出函数图象，结合图象求解即可.

2X,x>0

解：设g（X）=\，

-X2-4X,x<0

2x-t,x〉0,

因为函数f（x）='有三个零点九1,XI、X3,且XlVx2V冗3,

-x2-4x-t,x<C0,

所以g（X）的图象与直线y=/交点的横坐标分别为XI,X2,X3,且为Vx2Vx3,

作出g（X）的图象如图所示，

由图可知1W/V4,且xi,及是方程-/-4x-/=0的两个实根,

所以X1+X2=-4,

因为工3满足2*3T=O,即X3=log2，，

因为Kr<4,所以log21Wlog2ylog2%

所以0WX3<2,

所以-4WXI+X2+X3<-2,

即Xt+X2+X3的取值范围是［-4,-2）.

故答案为：・4,-2）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

分.

17.在①②“2是0和44的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，

并解答.

问题：已知公差d不为0的等差数列｛“”｝的前”项和为S”43=6.

（1），求数列｛斯｝的通项公式；

（2）若数列d=2@11,Cn=a“+力，求数列｛Cn｝的前〃项和

【分析】选条件①时，（1）直接利用关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用分

组法的应用求出数列的和.

选条件②时，（1）直接利用关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用分组法的应

用求出数列的和.

xcS1

解：选条件①时，-T5^=—，

由于公差d不为0的等差数列｛〃〃｝的前n项和为S〃，

所以3s5=S9,

整理得3X（56Z1+10J）=9m+36d,

故a\=d,

由于6/3=6,

整理得m+2d=6,

故a\=d=2,

所以。〃=2+2（n-1）=2力;

n

（2）由（1）得：bn=4，

故％=an+bn=2n+4n,

所以Tn=(2+4+...+2n)+(41+42+...+4n)

4-1

4n+1-4

2,

+n+rr

3

选条件②时，42是〃1和〃4的等比中项，且43=6,

2

a=aa

故＜2l'4

a3=6

解得ai=d=2；

所以“〃=2+2(〃-1)=2〃；

n

(2)由(1)得：bn=4.

n

A^cn=an+bn=2n+4.

所以Tn=(2+4+...+2n)+(41+42+...+4n)

4-1

4n+1-4

2,

+n+rr

3

18.自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科

研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准.如表是初中八年级A学科

的判断标准.

日均作业时间（分钟））[0,4）[4,8）[8,12）[12,16）不低于16

分钟

判断标准过少较少适中较多过多

之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得到

A学科日均作业时间的频数分布表见表.

日均作业时间（分钟））[4,8）[8,12）[12,16）[16,20）[20,24]

学校数2310105

（I）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A

学科作业的日平均时间（结果精确到01）；

（2）针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设

计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了如表数据.

日均作业时间（分钟））[4,8）[8,12）[12,16）[16,20）[20,24]

学校数510852

若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有

99%的把握认为作业是否超量与培训有关.

作业未超量作业超量

未培训

培训

附：n(ad-bc)2

K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(群280.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】（1）根据已知条件，结合表中数据，以及平均数公式，即可求解.

（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.

解：（1）由表中数据可得，该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间为

6X2+10X3+14X10+18X10+22XJis?

2+3+10+10+5〜

（2）根据题意填写列联表为：

作业未超量作业超量合计

未培训52530

培训151530

合计204060

计算噜吟随舞铲

所以有99%的把握认为作业是否超量与培训有关.

19.己知四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为菱形，点E为棱PC上一点（与P、C不重合），

点M、N分别在棱P。、尸B上，平面〃平面A2CD

（1）求证：8。〃平面AMV；

JT

（2）若E为PC中点,PC=BC=BD=2,NPBC=—,PC1BD,求点A到平面EBO

4

的距离.

【分析】(1)根据面面平行求出再根据线面平行的判定定理证明即可；

(2)把点A到平面EBD的距离转化为点C到平面EBD的距离，再由等体积法求解.

【解答】(1)证明：•.•平面EMN〃平面A8CD,

平面PBOC平面ABCD=BD,平面P8OC平面EMN=MN,：.BD//MN,

平面EMN,MNu平面EMM

平面AMN；

(2)解：由(1)得80〃平面AMN,

TTTTTT

•：PC=BC=2,ZPBC=—,：.ZPBC=ZCPB=—,则NBCP=—,

442

APCLBC,又PCLBD,BSBD=B,；.PC_L平面ABC。，

:四边形ABC。是菱形，8C=BO=2,.•.△BCD为正三角形，

则S"CDVX2X2X与

•••E为PC中点，:.BE=DE^22+12=\[5'则5与口五总*2*后1=2，

设C到平面EBD的距离为/?,由VEBDC=VC-BDEf

得X11x2Xh，解得仁哗.

OoN

由图可知，A与C到平面3OE的距离相等，可得点A到平面或。的距离为返.

2

20.己知函数/(%)=ex-ax2-sinr,e为自然对数的底数.

(1)求f(x)在冗=0处的切线方程；

(2)当xNO时，f(x)21-x-sinx,求实数〃的最大值.

【分析】(1)求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可；

(2)利用参数分离法进行转化求解即可.

解：(1)V/(%)-ax1-sinx,

.\f(0)=1,且/(x)=ev-2ax-cosx,

则/(0)=0,所以/(x)在x=0处的切线方程为y=l；

(2)当时,f(x)-x-sinx,即ex-ax2+x-120,

当x=0时，-ax2+x-1=0,

aX+Y-1

当x>0时，ex-ax2+x-120,即aW--------,

因为x>0,所以e，-1>e。-1=0,

当x>2时，g'(x)>0,g(x)在(2,+8)上单调递增；

当0<x<2时，g'(x)<0,g(x)在(0,2)上单调递减，

2..

所以g(X)niin—g(2)=———

4

2口

所以“wCL,

4

工

所以实数。的最大值为三2上L1

4

JT

21.已知抛物线E：V=2px(p>0)的焦点为凡过点尸且倾斜角为二二的直线交抛物线于

4

M、N两点，|MM=8.

(1)求抛物线E的方程；

(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A,过A作抛物线E的切线交x轴于点B,点

4在直线x=-1上的射影为点C,试判断四边形ACBF的形状，并说明理由.

TT

【分析】(1)将过点F且倾斜角为二二的直线与抛物线方程联立，由韦达定理以及抛物

4

线的性质得出抛物线E的方程；

(2)设A(xo,yo),联立切线和抛物线方程，由判别式等于0得出3(-迎，0),再

由抛物线定义得出|Bfl=|AF|=|AC|,最后由AC〃BF得出四边形AC8F54为菱形.

TT„

解：(1)设过点尸且倾斜角为二｝的直线方程为y=x-

2

代入V=2px(p>0)中，得--3pz+£—=0,

4

若M(xi,yi),N(X2,”)，则xi+x2=3p,

所以|MN]=xi+x2+p=4p=8,则p=2,

即抛物线E的方程为)2=4尤

(2)设4(xo,yo)则过A作抛物线E的切线为y-州=左(x-/o),即犬=/'Q.+xo,

k

代入产二人，整理得可得62-4)，+4)，o-Zy：=O,

因为此直线与抛物线相切，所以A=4（4-的＞o+%2yj）=0,即（ky（）-2）2—0,k—~~,