2023年中考数学重难点04 最值（范围）问题

重难点04最值（范围）问题

命题趋势

最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力

区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

J满分技巧

1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范

围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。

近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。

2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：（1）几何图形中在

特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值问题，其依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉

及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差

小于第三边”等；③借助于圆的知识；④二次函数的最值法解决。

3）几何最值问题中的基本模型举例

1）将军饮马模型

图形

P1

将MN1

军V

原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系

饮

A,8为定点，/为定直线，为定点，/为定直线，

马A，8为定点，/为定直线，MN为直线1

特征P为直线/上的一个动P为直线/上的一个动

模上的一条动线段，求AM+8N的最小值

点，求AP+BP的最小值点,求IAP-BPI的最大值

型

作其中一个定点关于定先平移AM或BN使M,N重合，然后作其中一个定点关于定

转化

直线/的对称点作其中一个定点关于定直线/的对称点直线/的对称点

2）胡不归模型

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型解读】一动点尸在直线MN外的运动速度为％,在直线MN上运动的速度为匕，且A、B

为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使生+生的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

匕V,

2）构造射线A。使得sin/D4N=火，翳=3。〃=必。,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过8点作交MN于点C,交A£>于〃点，此时BC+CH取到最小值，即BC+"C最小.

【解题关键】在求形如“以+枕8''的式子的最值问题中，关键是构造与枕B相等的线段，将“以+狂生”型问题

转化为“双+PC'型.（若k>l,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

3）阿氏圆模型

【模型解读】如图I所示，。。的半径为r,点A、B都在。。外，P为。。上一动点，已知片AOB,连

接尸4、PB,则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2,在线段08上截取0C使。C=k•厂，则可说明△8P0与△PC0相似，B|Jk-PB=PC.

故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“hR4+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当尸点轨迹变为

圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

4）瓜豆模型（动态轨迹问题）

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

（初中阶段动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）

【最值原理】

1.动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：

①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，

若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的

坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线：④若动点轨迹用上述方法都合

适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

2.动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小

值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。

2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：

①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形；②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。

5）费马点模型

【模型解读】结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM,当〃与三个顶点连线的夹角

为120。时，MA+M8+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△A8C的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,此时费马点就

是最大角的顶点4。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120。）

费马点的作法：如图3,分别以△A8C的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,

设交点为M,则点M即为△ABC的费马点。

限时检测

限时检测1:最新各地模拟试题（60分钟）

1.（2023•山东淄博・校考一模）如图，矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E为A8的中点，F为EC上一动

点，P为£）尸中点，连接PB,则尸3的最小值是（）

C.V2D.2正

4

2.（2023・安徽淮北•淮北一中校联考一模）如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,sinZACB=-,BC=5,

点。是斜边AC上的动点，将线段8。绕点B旋转60。至BE,连接C£,DE,则CE的最小值是（)

3.（2023•山东泰安•校考一模）如图，矩形ABC。中，AB=2,BC=3,以A为圆心，1为半径㈣圆A,E是

圆A上一动点，P是BC上一动点，则尸E+PD最小值是（）

A.2逐B.2.5C.4D.3

4.（2023•安徽合肥・统考一模）如图，在一ABC中，4AC=90。，A8=AC=4,P是BC下方的一动点，记

ABC,PBC的面积分别记为耳，邑.若$=2邑，则线段钎长的最小值是（）

A

C.3五D.V2+1

5.（2023•四川绵阳・统考二模）如图，在中，AC=8,ZA=30°/B=45。，点P是AC延长线上一

动点，PMJ.BC边与点M,PNLAB边与点、N,连接则MN的最小值为（）

A.&+遍B.1+如C.&+6D.2V2+—

3

6.（2023•安徽马鞍山•校考一模）ABC为等边三角形，D、E分别是边A3、BC上的动点，且满足4）=,

M是。E的中点，若AB=2,则8M的最小值为（）

c"D.1

7.（2023・安徽合肥•合肥市第四十五中学校考一模）如图，RtZ\A8C中，N4C3=90。，Zfl4C=6O。，点。

是边BC上一动点，以点A为旋转中心，将AO顺时针旋转60。得到线段AE,连接CE,若AC=1,则CE的

长的最小值为（）

C.1D.V2

8.（2023•浙江宁波•校考一模）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3,4）,A的半径为2,P为尤轴

上一动点，PB切A于点B,则PB的最小值为（)

C.2x/3D.4

9.（2023•广西・中考模拟）把二次函数丁=奴2+版+c（q>0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的

解析式为^=一。。一1）2+4。，若（〃7-l）a+0+cW0,则m的最大值为（）

A.-4B.0C.2D.6

10.（2022•浙江・中考模拟）已知二次函数y=N,当心无匕时机0W〃，则下列说法正确的是（）

A.当”-加=1时，h-a有最小值B.当时，h-a有最大值

C.当b-a=l时，"-无最小值D.当b-。=1时，〃-机有最大值

11.（2023・四川巴中・校考一模）如图，在边长为3的等边43c中，E、尸分别是边AC、BC的动点，且AE=CF,

连接BE、瓶交于点P,连接CP,则CP的最小值为.

12.（2023・四川成都•模拟预测）已知：如图，RtZXABC中，ZACB=90°,ACBC=\2,圆C半径为6,P

为斜边A8上的一个动点，PM、PN分别与圆C相切于V、N,连接MN交PC于点Q,则A。的最小值为

13.（2023•山东济南•济南外国语学校校考模拟预测）如图，在矩形ABC。中，AB=4,AO=6,点E,F

分别是AD,DC边上的动点，且EF=4,点G为EF的中点，点尸为BC上的一动点，则PA+PG的最小

14.（2023•内蒙古中考模拟）在平面直角坐标系中，已知A（—1,m）和5（5,“。是抛物线丁=1+必+1上

的两点，将抛物线y=f+bx+l的图象向上平移〃是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交

点，则”的最小值为.

15.（2023・四川成都•统考一模）已知矩形ABCD中，AB=2A£>=8,点E、F分别是边ARCD的中点，点P

为AO边上动点，过点尸作与45平行的直线交AF于点G,连接PE,点用是PE中点，连接MG,则"G的

最小值=.

16.（2023・上海金山•统考一模）如图，ABC为等腰直角三角形，NA=90。，AB=6,Q为,ABC的重心，E

为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰RtZ\CO£（点。在直线BC的上方），G?为RtaCDE的重心，

设G、G?两点的距离为止那么在点E运动过程中d的取值范围是.

17.（2023•山东东营•校考一模）如图，在边长为4的菱形ABC。中，44=60。，〃是AO边上的一点，且

AM=-AD,N是A3边上的一动点，将一AMN沿MN所在直线翻折得到ZvlMN,连接AC,则A'C长度

4

的最小值是.

DC

18.（2023•山东泰安・新泰市实验中学校考一模）已知菱形ABC。的边长为1,ZDAfi=6O°,E为AO上的

动点，尸在CQ上，HAE+CF=l,设ABE厂的面积为九AE=x,当点E运动时，则>与x的函数关系式

是.

19.（2022・湖北十堰•统考二模）如图，已知，正43C中，AB=\2,将AfiC沿AC翻折，得到八4。。，

连接80,交AC于。点，E点在。。上，且E>E=2OE,F是8c的中点，P是AC上的一个动点，则PF—PE

的最大值为.

20.（2022・广东佛山•校考一模）在边长为1的正方形A8CO中，M是边A8的中点，P是对角线AC上的动

点，则&PM-PA的最小值为.

21.（2023•陕西西安•西安市曲江第一中学校考三模）如图，等边M8C中，AB=6,P为A8上一动点，

PDLBC,PELAC,则DE最小值为.

22.（2023・江苏镇江市•九年级期中）点P（〃?，〃）在以y轴为对称轴的二次函数丫=9+办+4的图象上.则〃?

-n的最大值为

23.（2023•广西九年级模拟）如图，在Rt_ABC中，AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点，点P

是扇形AEF的"上任意一点，连接8P,CP,则^BP+CP的最小值是

24.（2022.四川成都市.中考模拟）如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,E,尸分别为AB，CD

边的中点.动点P从点E出发沿£4向点4运动，同时，动点。从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ,

过点8作6"，PQ于点〃，连接。H.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的

过程中，线段PQ长度的最大值为,线段。〃长度的最小值为.

25.（2022・湖南•中考模拟）已知直线>=依-2与抛物线y=%2-力x+c（b,c为常数，b>0）的一个交

点为A（—1,0）,点M（m,0）是x轴正半轴上的动点.（1）当直线y="―2与抛物线y=V一法+c（b,c

为常数，b>0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k,b,c的值及抛物线顶点E的坐标；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为右+；,当04M+20M的最小值多写2时，求b的值.

26.（2023•广东东莞・东莞市东华初级中学校考模拟预测）如图所示，AB是半圆的直径，。是A3上一动点,

CD±AB,交半圆于点E,CT是半圆的切线，T是切点.C点、T点都是不动点.

（1）求证：B6+CT2=8C2;（2）连接AE,则。点在哪个位置时，线段AE与线段E8之和最大？

27.（2022•陕西西安♦西安市第三中学校考模拟预测）问题提出：

（1）如图1,在矩形ABCO中，AB=4,40=3,P是对角线AC上的一点，连接尸£）,将PD绕点尸逆时针

旋转90。得到过点M作MNLAC于N,求PN的长.

问题解决：（2）2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计

防疫区域,在道路C。边固定柱子（点Q）,道路AB边确定一点P,以尸Q为边，搭建正方形防疫区域PMN。，

内部道路C。上设点E作为记录处，一EPQ、EPM、EMN、ENQ分别为不同的防疫物资放置区域，设

计图简化如图2所示，已知道路两边AB〃CD,道路宽为6团，。为C。上一定点，P为4B上一动点，

PE上CD于E.请问是否存在符合设计要求且面积最小的若存在，请求出面积最小值及此时QE的

长；若不存在，请说明理由.

限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）

1.（2022广西贺州•中考真题）已知二次函数产244厂1在0S&时,y取得的最大值为15,则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022.内蒙古包头.中考真题）已知实数“"满足a=l,则代数式a?+2。-6a+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2022・四川遂宁•中考真题）如图，。、E、F分别是ABC三边上的点，其中8c=8,BC边上的高为6,

且。目/BC,则一。所面积的最大值为（）

4.（2022•江苏泰州•中考真题）如图，正方形ABC。的边长为2,E为与点。不重合的动点，以OE-•边作

正方形OEFG.设点尸、G与点C的距离分别为42,d3,则力+刈+必的最小值为（）

A.72B.2C.2近D.4

5.（2022•山东泰安・中考真题）如图，四边形A8C。为矩形，AB=3,BC=4.点尸是线段BC上一动点,

点M为线段”上一点.ZADM=/BAP，则BM的最小值为（）

6.（2022•山东泰安♦中考真题）如图，4408=30°,点/、N分别在边。4、08上，且QW=3,ON=5,点尸、

。分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）

C.后一2D.735-2

7.（2022・安徽・中考真题）已知点。是边长为6的等边"8C的中心，点P在AABC外，4ABC,^PAB,,BC,

△PCA的面积分别记为s0,s,,S[,s3.若由+$2+53=25°,则线段O尸长的最小值是（）

A.至B.迥C.36D.速

8.（2022•浙江湖州•中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如

图，在6x6的正方形网格图形ABCC中，M,N分别是48,BC上的格点，BM=4,BN=2.若点尸是这个

网格图形中的格点，连接PM,PN,则所有满足NMPN=45。的△PMN中，边P例的长的最大值是（）

A.4及B.6C.2710D.3>/5

9.（2022•广西柳州•中考真题）如图，直线y/=x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C,直线”=-x+3分别

与x轴、y轴交于点8和点C,点P（加，2）是△A8C内部（包括边上）的一点，则机的最大值与最小值之

差为（）

A.1B.2C.4D.6

2

10.（2022♦江苏宿迁•中考真题）如图，点4在反比例函数y=V（x>0）的图像上，以。4为一边作等腰直角

三角形OAB,其中N048=90。，AO=AB,则线段OB长的最小值是（）

A.1B.&C.2A/2D.4

11.（2022♦吉林长春•中考真题）已知二次函数y=-V-2x+3,当成/g时，函数值y的最小值为1,则a

的值为.

12.（2022・四川凉山・中考真题）己知实数a3满足a—〃=4,则代数式/一3〃2十。一14的最小值是.

13.（2022,四川自贡・中考真题）如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=2,G是A。的中点，线段E尸在边AB

上左右滑动；若EF=1,则GE+C尸的最小值为.

14.（2022•山东滨州•中考真题）如图，在矩形A8C。中，AB=5,AD=10.若点E是边上的一个动点,

过点E作EF1.AC且分别交对角线4C,直线BC于点0、F,则在点E移动的过程中，AF+EE+EC的最

15.（2022.浙江台州•中考真题）如图，在菱形ABCO中，NA=60。，AB=6.折叠该菱形，使点A落在边BC

上的点M处，折痕分别与边AB,A。交于点E,F.当点M与点B重合时，E尸的长为；当点M的

位置变化时，。尸长的最大值为.

8M

16.（2022・四川眉山・中考真题）如图，点P为矩形ABC。的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE,

PB,若AB=4,BC=4币,则PE+P3的最小值为

17.（2022・广西贺州・中考真题）如图，在矩形A8CD中，AB=8,8c=6,E,尸分别是AO,AB的中点，ZADC

的平分线交AB于点G,点P是线段DG上的一个动点，则“PE尸的周长最小值为.

18.（2022•广西柳州•中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4,G是8c的中点，点E是正方形内一个

动点，且EG=2,连接。E,将线段OE绕点。逆时针旋转90。得到线段。凡连接CF,则线段CF长的最

小值为

/D

19.（2022・江苏无锡・中考真题）AABC是边长为5的等边三角形，AOCE是边长为3的等边三角形，直线

BD与直线AE交于点凡如图，若点。在aABC内，N。8c=20。，则/54尸=°；现将△力CE绕点

C旋转1周，在这个旋转过程中，线段A尸长度的最小值是.

B

20.（2022・四川成都•中考真题）如图，在菱形A8CO中，过点。作DELC。交对角线AC于点E,连接8E,

点P是线段BE上一动点，作P关于直线OE的对称点P,点。是AC上一动点，连接尸。，。。.若AE=14,

CE=18,则DQ-P'Q的最大值为.

21.（2022.四川成都.中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度/?

（米）与物体运动的时间♦（秒）之间满足函数关系/7=-5/+〃”+〃，其图像如图所示，物体运动的最高点

离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到f秒时八的值的“极差”（即。秒到，秒

时。的最大值与最小值的差），贝D当0WT1时，叩的取值范围是；当2W时，w的取值范围是

22.（2022•浙江绍兴•中考真题）已知函数y=-x2+fev+c（h,c为常数）的图象经过点（0,-3）,（-6,

-3）.（1）求b,c的值.⑵当-4