2023年人教版初中八年级数学上：第12章《全等三角形》单元测试（含答案）

2023年人教版初中八年级数学第12章全等三角形

一、选择题

1.如图，在aABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0是原点，A的坐标为（1,«）,

A.（-我，1）B.（-1,V3）C.（V3,1）D.（-V3,-1）

3.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别

表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路

线图是（)

4.如图，坐标平面上，AABC与ADEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,

且AB=BC=5.若A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，D、E

两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）

A.2B.3C.4D.5

5.平面上有4ACD与ABCE,其中AD与BE相交于P点，如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,

ZACE=55°,ZBCD=155°，则NBPD的度数为（）

A.110°B.125°C.130°D.155°

6.如图，在aABC和4BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,

BC=BE,则NACB等于（）

A.ZEDBB.ZBEDC.yZAFBD.2ZABF

7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上,

BE=yDB,作EFLDE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,

则y关于x的函数解析式是（）

C.y=-^-D.y=--^r

x-1x-4

8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°，点M、N分别在

AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2,则tanNMCN=()

C.等

D.V5-2

1311

9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边

EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN

的面积为（）

A.|a2B.1a2C.|a2D.1a2

二、解答题（共21小题）

10.如图，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

（1）若NECF=30°,CF=8,求CE的长;

（2）求证：4ABF且△口£（：；

（3）求证：四边形BCEF是矩形.

11.已知AABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC,以DC为边在

DC两侧作等边aDCE和等边4DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），

连接AE、BF

（1）如图1,若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样

的数量关系？并证明你的结论;

(2)如图2,若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数

量关系？请直接写出结论(不需要证明)；

(3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、

BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论(不需要证明)

12.如图I,aABC与aDCB中，AC与BD交于点E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求证：4ABE且DCE；

(2)当NAEB=50°，求NEBC的度数？

13.如图，在aABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于点D,过点D作DELAB于点

E.

(1)求证：4ACD^4AED；

(2)若NB=30°，CD=1,求BD的长.

14.如图，点D,E在aABC的边BC上，AB=AC,BD=CE.求证：AD=AE.

A

15.已知:如图，AD,BC相交于点0,0A=0D,AB〃CD.

求证:AB=CD.

16.如图，把一个直角三角形ACB(ZACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点

C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG,

延长CF与DG交于点H.

(1)求证：CF=DG；

(2)求出NFHG的度数.

17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,AC〃FD,求证：AC=DF.

D

18.如图，aABC和aADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,D在同

一条直线上.求证：BD=CE.

19.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF,AB〃DE,ZA=ZD.求证：AB=DE.

20.已知aABC为等腰直角三角形，NACB=90°,点P在BC边上(P不与B、C重合)

或点P在aABC内部，连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE；将BP

绕点B顺时针旋转90°,得到线段BD,连接ED交AB于点0.

(1)如图a,当点P在BC边上时，求证：0A=0B；

(2)如图b,当点P在aABC内部时，

①0A=0B是否成立？请说明理由；

②直接写出NBPC为多少度时，AB=DE.

21.(1)如图1,在aABC和aDCE中，AB〃DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条

直线上.求证：ZA=ZD.

（2）如图2,在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AB=4,ZA0D=120°,求AC

的长.

22.（1）如图,AB平分NCAD,AC=AD,求证：BC=BD；

（2）列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则

还缺25本，这个班有多少学生？

23.已知：如图，D是AC上一点，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE.求证：BC=AE.

24.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角

形全等的判定方法（即“HL"）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对

角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在aABC和aDEF中，AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,然

后，对NB进行分类，可分为“NB是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当NB是直角时，AABC丝Z\DEF.

(1)如图①，在AABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90°,根据,可以知

道RtAABC^RtADEF.

第二种情况：当NB是钝角时，ZXABC丝ADEF.

(2)如图②，在AABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是钝角，求

证：ZSABC丝ADEF.

第三种情况：当NB是锐角时，AABC和ADEF不一定全等.

(3)在AABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是锐角，请你用尺规

在图③中作出△DEF,使ADEF和AABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)NB还要满足什么条件，就可以使AABC之ADEF?请直接写出结论：在AABC和4

DEF中，AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是锐角，若，则AABC乌ADEF.

25.问题背景:

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分别是BC,

CD上的点.且NEAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE❷A

ADG,再证明4AEF乌AAGF,可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且

ZEAF=|ZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处，舰艇乙在

指挥中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰

艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/

小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰

艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

26.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于0点，0C=0A,若E是CD

上任意一点，连接BE交AC于点F,连接DF.

(1)证明：4CBF乌ACDF；

(2)若AC=2炳，BD=2,求四边形ABCD的周长；

(3)请你添加一个条件，使得NEFD=NBAD,并予以证明.

B

27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求

证：AE=CF.

28.(1)如图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，NEAF=45°,延长CD

到点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证：EF=FG.

(2)如图，等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上，且NMAN=45°,

若BM=1,CN=3,求MN的长.

29.如图，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点，过点A作AD,AB交BE

的延长线于点D,CG平分NACB交BD于点G,F为AB边上一点，连接CF,且NACF=N

CBG.求证：

(1)AF=CG；

(2)CF=2DE.

30.如图，在△ABC和AADE中,AB=AC,AD=AE,ZBAC+ZEAD=180°，△ABC不动，△

ADE绕点A旋转，连接BE、CD,F为BE的中点，连接AF.

(1)如图①,当NBAE=90°时,求证:CD=2AF；

（2）当NBAEW90。时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由

ED

BCB

图①图②

第12章全等三角形

参考答案

一、选择题（共9小题）

1.如图，在aABC中，ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

【解答】解：:F是高AD和BE的交点，

/.ZADC=ZADB=ZAEF=90°,

/.ZCAD+ZAFE=90o,ZDBF+ZBFD=90°,

VZAFE=ZBFD,

/.ZCAD=ZFBD,

VZADB=90°,ZABC=45°,

.*.ZBAD=45°=ZABD,

/.AD=BD,

在aDBE^QADAC中

'NFBD=NCAD

•DB=AD

.NFDB=/CDA

.,.△DBF^ADAC(ASA),

BF=AC=8cm,

故选C.

2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0是原点，A的坐标为（1,如）,则

点C的坐标为（）

A.（一右1）B.（-1,如）C.（百，1）D.（-百，-1）

【解答】解：如图，过点A作AD，x轴于D,过点C作CELx轴于E,

•.•四边形OABC是正方形，

/.OA=OC,ZA0C=90°,

/.ZC0E+ZA0D=90o,

又•.•N0AD+NA0D=90°,

/.Z0AD=ZC0E,

在AAOD和aoCE中，

rZOAD=ZCOE

,ZAD0=Z0EC=90°,

,OA=OC

.,.△AOD^AOCE（AAS）,

.*.0E=AD=V3，CE=OD=1,

•.,点C在第二象限，

.•.点C的坐标为（-百，1）.

故选：A.

3.（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图

中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程

最长的行进路线图是（）

B选项

VZCAB=ZEDB=45°,

，AS〃ED,则SC〃DE.

同理SE〃CD,

，四边形SCDE是平行四边形，

/.SE=CD,DE=CS,

即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；

B、延长AF、BH交于S”作FK〃GH与BH的延长线交于点K,

VZSAB=ZS1AB=45°,ZSBA=ZSlBA=70°,AB=AB,

/.△SAB^AS.AB,

/.AS=AS1>BS=BS”

VZFGH=180°-70°-43°=67°=ZGHB,

，FG〃KH,

VFK/7GH,

四边形FGHK是平行四边形，

；.FK=GH,FG=KH,

AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,

VFS1+S1K>FK,

.\AS+BS>AF+FK+KH+HB,

C、D、同理可证得AI+1K+KM+MB<AS2+BS2<AN+NQ+QP+PB.

综上所述，D选项的所走的线路最长.

故选：D.

4.如图，坐标平面上，^ABC与4DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,

且AB=BC=5.若A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，D、E

两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P.

/.ZDPF=ZAKC=ZCHA=90°.

VAB=BC,

/.ZBAC=ZBCA.

在aAKC和△CHA中

'NAKC=NCHA

<AC=CA,

,ZBAC=ZBCA

.,.△AKC^ACHA(ASA),

.\KC=HA.

•••B、C两点在方程式y=-3的图形上，且A点的坐标为(-3,1),

.\AH=4.

Z.KC=4.

VAABC^ADEF,

NBAC=NEDF,AC=DF.

在aAKC和4DPF中，

rZAKC=ZDPF

•NBAC=NEDF,

AC=DF

.".△AKC^ADPF(AAS),

，KC=PF=4.

故选：C.

5.平面上有4ACD与ABCE,其中AD与BE相交于P点，如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,

ZACE=55°,ZBCD=155°，则NBPD的度数为()

D.155°

【解答】解：在aACD和4BCE中,

AC=BC

CD=CE，

AD=BE

/.△ACD^ABCE(SSS)，

，NA=NB,ZBCE=ZACD,

/.ZBCA=ZECD,

VZACE=55°,ZBCD=155°,

/.ZBCA+ZECD=100°,

.,.ZBCA=ZECD=50°,

VZACE=55°,

/.ZACD=105°

/.ZA+ZD=75°,

/.ZB+ZD=75°,

VZBCD=155°,

ZBPD=360°-75°-155°=130°,

故选：C.

6.如图，在4ABC和4BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,

BC=BE,则NACB等于（）

A.ZEDBB.ZBEDC.yZAFBD.2ZABF

【解答】解：在aABC和aDEB中，

'AC=BD

<AB=ED,

BC=BE

.,.△ABC^ADEB(SSS),

/.ZACB=ZDBE.

VZAFB^ABFC的外角,

，ZACB+ZDBE=ZAFB,

ZACB=yZAFB,

故选：C.

7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上,

BE=yDB,作EFLDE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,

则y关于x的函数解析式是（）

C.y=-^~D.y=--^r

x-1x-4

【解答】解：作FGLBC于G,

VZDEB+ZFEC=90°，ZDEB+ZBDE=90°；

/.ZBDE=ZFEG,

在aDBE与aEGF中

'/B=NFGE

,ZBDE=ZFEG

,DE=EF

.,.△DBE^AEGF,

.,.EG=DB,FG=BE=x,

；.EG=DB=2BE=2x,

/.GC=y-3x,

VFG±BC,AB±BC,

，FG〃AB,

CG：BC=FG：AB,

8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°,点M、N分别在

AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2,则tanNMCN=()

A.B.C.D.V5-2

【解答】解:VAB=AD=6,AM：MB=AN：ND=1：2,

，AM=AN=2,BM=DN=4,

连接MN,连接AC,

VAB±BC,AD±CD,ZBAD=60°

在Rt^ABC与RtZ\ADC中,

[AB=AD

lAC=AC，

ARtAABC^RtAADC(HL)

/.ZBAC=ZDAC=^-ZBAD=30°,MC=NC,

/.BC=yAC,

.*.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB-,

，BC=2依，

在RtZXBMC中，@1=五、2+8,2成2+(2我)2=2后

VAN=AM,ZMAN=60°,

.•.△MAN是等边三角形，

/.MN=AM=AN=2,

过M点作MELCN于E,设NE=x,则CE=2有-x,

.'.MN2-NE2=MC2-EC2,即4-x2=(277)2-(277-x)%

解得：x平，

；.EC=2政-喜△等,

ME=JMN?-NE2-，

tanZMCN=^=^S

EC13

故选：A.

9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边

EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN

A.1a2B./a2C.1a2D.1a2

【解答】解：过E作EPLBC于点P,EQLCD于点Q,

•••四边形ABCD是正方形,

/.ZBCD=90°,

XVZEPM=ZEQN=90°,

ZPEQ=90°,

.\ZPEM+ZMEQ=90o,

•.•三角形FEG是直角三角形,

/.ZNEF=ZNEQ+ZMEQ=90°,

；.NPEM=NNEQ,

「AC是NBCD的角平分线，ZEPC=ZEQC=90°,

，EP=EQ,四边形PCQE是正方形，

在AEPM和aEON中，

'/PEM=NNEQ

•EP=EQ,

,ZEPM=ZEQN

...△EP侬△EQN(ASA)

=

..SAEQNS△EpM)

四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，

•.•正方形ABCD的边长为a,

«•AC=,

VEC=2AE,

.\EC=-^-a,

9

AEP=PC=^a,

...正方形PCQE的面积=1aX^a=1a2,

四边形EMCN的面积=*a2,

故选：D.

二、解答题(共21小题)

10.如图，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的长;

(2)求证：Z\ABF丝ADEC；

(3)求证：四边形BCEF是矩形.

【解答】(1)解：•；NCEF=90°.

.\cosZECF~.

Cr

VZECF=30°,CF=8.

/.CF=CF*cos30°=8X醇4小

(2)证明:VAB^DE,

ZA=ZD,

•..在4ABF和aDEC中

'AB=DE

-ZA=ZD

AF=DC

.,.△ABF^ADEC(SAS)；

(3)证明：由(2)可知：Z\ABF之△口£(：,

，BF=CE,ZAFB=ZDCE,

VZAFB+ZBFC=180°,ZDCE+ZECF=180°,

.*.ZBFC=ZECF,

，BF〃EC,

...四边形BCEF是平行四边形，

VZCEF=90°，

，四边形BCEF是矩形.

11.已知AABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC,以DC为边在

DC两侧作等边4DCE和等边aDCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），

连接AE、BF

（1）如图1,若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样

的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2,若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数

量关系？请直接写出结论（不需要证明）；

（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、

BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）

【解答】解:（1）AE+BF=AB，如图1,

VAABC和4DCF是等边三角形,

/.CA=CB,CD=CF,ZACB=ZDCF=60°.

二ZACD=ZBCF,

在AACD和aBCF中

CA=CB

<ZACD=ZBCF

CD=CF

/.△ACD^ABCF(SAS)

/.AD=BF

同理：4CBD之ACAE(SAS)

/.BD=AE

/.AE+BF=BD+AD=AB；

(2)BF-AE=AB,

如图2,易证△CBF^^CAD和△CBDgACAE,

.\AD=BF,BD=AE,

ABF-AE=AD-BD=AB；

(3)AE-BF=AB,

如图3,易证^CBF^^CAD和ACBD之^CAE,

/.AD=BF,BD=AE,

图2

12.(2013•舟山)如图，aABC与4DCB中，AC与BD交于点E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求证：aABEgDCE；

(2)当NAEB=50°,求NEBC的度数？

【解答】(1)证明：•.•在4ABE和4DCE中

2A=ND

<ZAEB=ZDEC

AB=DC

.'.△ABE^ADCE(AAS)；

⑵解:VAABE^ADCE,

.*.BE=EC,

...ZEBC=ZECB,

VZEBC+ZECB=ZAEB=50°,

.,.ZEBC=25°.

13.如图，在AABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于点D,过点D作DELAB于点

E.

(1)求证：4ACD且Z\AED；

(2)若NB=30°，CD=1,求BD的长.

【解答】(1)证明:：AD平分NCAB,DE±AB,ZC=90°,

/.CD=ED,ZDEA=ZC=90°,

,在RtAACD和RtAAED中

(AD二AD

iCD二DE

ARtAACD^RtAAED(HL)；

(2)解：VDC=DE=1,DE±AB,

/.ZDEB=90°,

VZB=30°,

/.BD=2DE=2.

14.如图，点D,E在aABC的边BC上，AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.

【解答】证明：；AB=AC,

/.ZB=ZC,

在aABD与4ACE中，

'AB=AC

v<NB=NC,

BD=EC

.'.△ABD丝△ACE(SAS),

.\AD=AE.

15.已知:如图，AD,BC相交于点0,0A=0D,AB〃CD.

求证：AB=CD.

【解答】证明：•••AB〃CD,

AZB=ZC,ZA=ZD,

；在△AOB和△DOC中，

'NB=NC

"NA=ND,

,OA=OD

/.△AOB^ADOC(AAS),

/.AB=CD.

16.如图，把一个直角三角形ACB(ZACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点

C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG,

延长CF与DG交于点H.

(1)求证:CF=DG；

(2)求出NFHG的度数.

【解答】(D证明:VitACBF^ADBG

'BC=BD

•NCBF=/DBG,

,BF=BG

.,.△CBF^ADBG(SAS),

.*.CF=DG；

(2)解：VACBF^ADBG,

.".ZBCF=ZBDG,

又YZCFB=ZDFH,

又「△BCF中，ZCBF=180°-ZBCF-ZCFB,

△DHF中，ZDHF=180°-ZBDG-ZDFH,

.,.ZDHF=ZCBF=60°,

ZFHG=180°-ZDHF=180°-60°=120°.

17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,AC〃FD,求证：AC=DF.

/.FB+FC=CE+FC,

，BC=EF,

VAB/7ED,AC〃FD,

/.ZB=ZE,ZACB=ZDFE,

•.,在aABC和aDEF中，

2B=NE

"BC=EF,

，/ACB=NDFE

/.△ABC^ADEF(ASA)，

.\AC=DF.

18.如图，AABC和AADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,D在同

一条直线上.求证：BD=CE.

【解答】证明：..•△ABC和AADE都是等腰直角三角形

.\AD=AE,AB=AC,

又•；NEAC=90°+ZCAD,ZDAB=90°+ZCAD,

NDAB=NEAC,

V^AADB和AAEC中

'AB=AC

-ZBAD=ZCAE

AD=AE

/.△ADB^AAEC(SAS)，

/.BD=CE.

19.如图,已知点B、E、C、F在同一条直线上,BE=CF,AB〃DE,ZA=ZD.求证:AB=DE.

【解答】证明：•••BE=CF,，BC=EF.

•.•AB〃DE,.,.ZB=ZDEF.

在AABC与ADEF中,

2A=ND

<NB=NDEF,

,BC=EF

.,.△ABC^ADEF(AAS),

.\AB=DE.

20.已知AABC为等腰直角三角形，NACB=90°,点P在BC边上(P不与B、C重合)

或点P在AABC内部，连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE；将BP

绕点B顺时针旋转90°,得到线段BD,连接ED交AB于点0.

(1)如图a,当点P在BC边上时，求证：0A=0B；

(2)如图b,当点P在AABC内部时，

①0A=0B是否成立？请说明理由；

②直接写出NBPC为多少度时，AB=DE.

【解答】(1)证明：:△ABC为等腰直角三角形,

/.CA=CB,ZA=ZABC=45°,

由旋转可知:CP=CE,BP=BD,

ACA-CE=CB-CP,

即AE=BP,

.\AE=BD.

XVZCBD=90°,/.Z0BD=45°,

在△AEO和△BDO中，

fZA0E=ZB0D

>ZA=Z0BD=45°,

AE=BD

.,.△AEO^ABDO(AAS),

.\OA=OB；

(2)成立，理由如下：

连接AE,则△AECgABCP,

，AE=BP,ZCAE=ZBPC,

VBP=BD,

.-.BD=AE,

VZ0AE=45°+ZCAE,Z0BD=90°-Z0BP=90°-(45°-ZBPC)=45°+ZPBC,

ZOAE=ZOBD,

在△AEO和△BDO中，

"ZA0E=ZB0D

-Z0AE=Z0BD,

AE=BD

/.△AEO^ABDO(AAS),

.,.OA=OB,

②当NBPC=135°时,AB=DE.理由如下：

解法一：

当AB=DE时，由①知OA=OB,.\OA=OB=OE=OD.

设NPCB=a,由旋转可知，ZACE=a.

连接0C,则OC=OA=OB,.*.OC=OE,

/.ZDEC=Z0CE=45o+a.

设NPBC=B,则NABP=45°-B,Z0BD=90°-ZABP=45°+P.

V0B=0D,.,.ZD=Z0BD=45°+B.

在四边形BCED中，ZDEC+ZD+ZDBC+ZBCE=360°,

即：(45°+a)+(45°+B)+(90°+8)+(90°+a)=360°,

解得：a+B=45°,

/.ZBPC=180°-(a+B)=135°.

解法二(本溪赵老师提供，更为简洁)：

当AB=DE时，四边形AEBD为矩形

则NDBE=90°=NDBP,

...点P落在线段BE上.

VAECP为等腰直角三角形，

/.ZEPC=45°,

/.ZBPC=1800-ZEPC=135°.

21.(1)如图1,在AABC和4DCE中,AB//DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条

直线上.求证：ZA=ZD.

(2)如图2,在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AB=4,ZA0D=120°,求AC

的长.

【解答】(1)证明：［AB〃DC,

ZB=ZDCE,

'AB=DC

在4ABC和ADCE中，NB=/DCE,

,CB=CE

.,.△ABC^ADCE(SAS)，

：.ZA=ZD；

(2)解：•••四边形ABCD是矩形,

.\A0=B0=C0=D0,

VZA0D=120°,

.,.ZA0B=60°,

/.△AOB是等边三角形，

.\A0=AB=4,

.,.AC=2A0=8.

22.(1)如图，AB平分NCAD,AC=AD,求证：BC=BD；

(2)列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则

还缺25本，这个班有多少学生？

【解答】(1)证明：：AB平分NCAD,

二ZCAB=ZDAB,

在aABC和aABD中

'AC=AD

,ZCAB=ZDAB

AB=AB

.'.△ABC丝△ABD(SAS),

.\BC=BD.

(2)解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x-25,

解得：x=45,

答：这个班有45名学生.

23.已知：如图，D是AC上一点，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE.求证：BC=AE.

【解答】证明：•••DE〃AB,

.,.ZCAB=ZADE,

•..在AABC和aDAE中，

'NCAB=NADE

,AB=DA,

,ZB=ZDAE

.,.△ABC^ADAE(ASA),

.*.BC=AE.

24.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角

形全等的判定方法（即“HL"）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对

角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在AABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,然

后，对NB进行分类，可分为“NB是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当NB是直角时，△ABC^^DEF.

(1)如图①，在aABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90°,根据HL,可以知

道RtAABC^RtADEF.

第二种情况：当NB是钝角时，△ABC^^DEF.

(2)如图②，在aABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是钝角，求

证：^ABC^4DEF.

第三种情况：当NB是锐角时，AABC和4DEF不一定全等.

(3)在aABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是锐角，请你用尺规

在图③中作出aDEF,使4DEF和aABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)NB还要满足什么条件，就可以使△ABCgZXDEF?请直接写出结论：在AABC和4

DEF中，AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是锐角，若NB1NA,则4ABC且

△DEF.

【解答】⑴解:HL；

(2)证明：如图，过点C作CGLAB交AB的延长线于G,过点F作FHLDE交DE的延长

线于H,

VZABC=ZDEF,且NABC、NDEF都是钝角,

.•.180°-ZABC=180°-ZDEF,

即NCBG=NFEH,

在4CBG和△FEH中，

'/CBG=NFEH

<NG=NH=90°,

,BC=EF

...△CBG四△FEH(AAS),

.*.CG=FH,

RtAACG和RtADFH

fAC=DF

icG=FH'

/.RtAACG^RtADFH(HL),

，NA=ND,

在AABC和aDEF中，

'/A=ND

-ZABC=ZDEF,

AC=DF

.,.△ABC^ADEF(AAS)；

(3)解：如图，ZXDEF和AABC不全等;

(4)解：若NB2NA,贝IJZXABCg^DEF.

故答案为：(1)HL；(4)NB2NA.

25.(2014•德州)问题背景:

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分别是BC,

CD上的点.且NEAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE❷A

ADG,再证明aAEF乌AAGF,可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且

ZEAF=|ZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在

指挥中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰

艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/

小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰

艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.

证明如下：如图，延长FD到G,使DG=BE,连接AG,

VZB+ZADC=180°,ZADC+ZADG=180°,

，NB=NADG,

在aABE和4ADG中，

fDG=BE

<NB=NADG,

AB=AD

.,.△ABE^AADG(SAS),

.\AE=AG,ZBAE=ZDAG,

ZEAF=yZBAD,

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

ZEAF=ZGAF,

在aAEF和AGAF中，

'AE=AG

,NEAF=/GAF,

AF=AF

/.△AEF^AGAF(SAS),

；.EF=FG,

VFG=DG+DF=BE+DF,

；.EF=BE+DF；

实际应用：如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C,

VZA0B=30°+90°+(90°-70°)=140°,

ZE0F=70°,

ZE0F=yZA0B,

XV0A=0B,

Z0AC+Z0BC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

...符合探索延伸中的条件，

，结论EF=AE+BF成立，

即EF=1.5X(60+80)=210海里.

答：此时两舰艇之间的距离是210海里.

26.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于0点，0C=0A,若E是CD

上任意一点，连接BE交AC于点F,连接DF.

(1)证明：4CBF乌ACDF；

(2)若AC=2依，BD=2,求四边形ABCD的周长；

(3)请你添加一个条件，使得NEFD=NBAD,并予以证明.

【解答】(1)证明：在aABC和AADC中,

'AB=AD

-BC=DC,

,AC=AC

/.△ABC^AADC(SSS)，

.•.ZBCA=ZDCA,

在aCBF和aCDF中，

'BC=DC

,ZBCA=ZDCA,

CF=CF

.,.△CBF^ACDF(SAS),

(2)解：:△ABC/△ADC,

AABC和AADC是轴对称图形，

.\OB=OD,BD1AC,

VOA=OC,

...四边形ABCD是菱形，

，AB=BC=CD=DA,

；AC=2百，BD=2,

：.0\=y[3,OB=1,

•>-AB=7OA2+OB2=V(V3)2+l2=2，

...四边形ABCD的周长=4AB=4X2=8.

(3)当EBJLCD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足,ZEFD=ZBCD,

理由：•.•四边形ABCD为菱形，

.*.BC=CD,ZBCF=ZDCF,ZBCD=ZBAD,

VABCF^ADCF,

ZCBF=ZCDF,

VBE±CD,

.,.ZBEC=ZDEF=90°，

.,.ZBCD+ZCBF=90°，ZEFD+ZCDF=90°，

/.ZEFD=ZBAD.

27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求

证:AE=CF.

【解答】证明：•••四边形ABCD是平行四边形,

.*.AB=CD,AB〃CD,

ZABD=ZCDB,

180°-ZABD=180°-ZCDB,

即NABE=NCDF,

在4ABE和ACDF中，

'AB=CD

<NABE=/CDF,

BE=DF

/