高二数学圆的标准方程

第七章直线和圆的方程7.6圆的方程（1）圆？圆的标准方程问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置(定位）和大小（定型）．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．圆的标准方程解：设M(x,y)是圆上任意一点，xyO．rM根据圆的定义|MC|=rC由两点间距离公式，得①把①式两边平方，得圆的标准方程说明：1.特点：明确给出了圆心和半径。2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件。练习1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)（2）圆心在点C(3,4)，半径是；练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）（2）（3）（-1，2）3(4)(2x-2)2+(2y+4)2=2例1、求满足下列条件的各圆的方程:解:已知圆心是C(1,3),那么只要再求出圆的半径r,就能写出圆的方程.

因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式,得OXYM(1,3)3x-4y-7=0(1)以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆.(2)圆心在x轴上,半径为5且过点A(2,-3)的圆.解:设圆心在x轴上,半径为5的方程为(x-a)2+y2=52.∵点A(2,-3)在圆上,∴(2-a)2+(-3)2=52,∴a=-2或6.∴所求的圆的方程为:(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.方法总结:此方法属于待定系数法.(3)过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程.解:设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2∵线段AB的垂直平分线为y=6,∴圆心坐标为(a,6),∴圆的方程可以写成(x-a)2+(y-6)2=r2∵直线x-2y-1=0与圆相切,∴解得a=-7或3,∴r2=80或20.∴所求圆的方程为(x+7)2+(y-6)2=80或(x-3)2+(y-6)2=20XYOX-2y-1=01A(1,2)B(1,10)C(a,6)评注:1.求圆的方程常用方法(1)定义法,(2)待定系数法.2.解题时注意充分利用圆的几何性质.3.用待定系数法求圆的方程一般步骤为:(1)根据题意,设所求方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设方程得所求解方程.例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)

的切线的方程。解：如图，xyO．M(x0,y0)设切线的斜率为k半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是经过点M的切线方程是整理得，x0x+y0y=x02+y02因为点M(x0,y0)在圆上，所以x02+y02=r2所求切线方程是x0x+y0y=r2当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。例2已知圆的方程是，求经过圆上一点

的切线的方程。P(x,y

)由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法二（利用平面几何知识）：在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2P(x,y

)yxO例2已知圆的方程是，求经过圆上一点

的切线的方程。解法三（利用平面向量知识）：OMMP=0OMMPx0x

+y0y=r2x2

+

y2=r2练习3.(1)写出过圆x2+y2=10上一点M的切线的方程（2）求过点A（5，15）向圆x2+y2=25所引的切线方程。（2）解：经验证点A在已知圆外，设所求切线的切点为M（x0,y0）,则切线方程为：x0x+y0y=25又点A在切线上，所以：5x0+15y0=25

所以，所求切线的方程为4x-3y+25=0或x=5练习4、猜想过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上一点(x。,y。)的切线方程并给予证明。

切线方程为:(ｘ–ａ)(ｘ。–ａ)+(ｙ–ｂ)(ｙ。–ｂ)=r²练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求（1）斜率等于1的切线的方程；（2）在y轴上截距是的切线的方程。所以切线方程为：y=x±2提示：设切线方程为y=x+b,由圆心到切线的距离等于半径1，得：|b|12+(-1)2=1解得b=±22（2）在y轴上截距是的切线方程。y=±x+2例3、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m，拱高为4m。求该圆拱桥所在的圆的方程。解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2

。把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52A

（-10，0）B

（10，0）P

（0，4）yxO

析：(x-a)2+(y-b)2=r2

变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。yxA

B

P

O

E

F

G

H

C

D

R

T

x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。yxA

B

P

O

E

F

G

H

C

D

R

T

变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。x2+(y+10.5)2=14.52小结：1、求圆的标准方程实质就是求a、b、r2、求圆的切线方程实质就是求直线的方程3、有关圆的实际应用问题关键就是抽象出数学模型(x-a)2+(y-b)2

=r2已知x2+y2=1,求x+y的最值。问题:解:由题可知-1≤