山东省青岛市莱西市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试题

高三教学质量检测（一）数学试题本试卷共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．命题“，”的否定为（）A．， B．，C．， D．，3．已知角的终边经过点，则的值等于（）A． B． C． D．4．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．5．已知向量，，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．6．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（）A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件7．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若P为线段中点，则点P到直线的距离为（）A． B． C． D．8．已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（）A．4048 B．－4048 C．2024 D．－2024二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（）A． B． C． D．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．为函数图象的一条对称轴．B．函数在上单调递减．C．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上的最小值为，则m的最大值为．D．在上有2个零点，则实数a的取值范围是．11．在中，D是BC边的中点，E是边AC的三分之一分点（靠近点A的），AD与BE交于点F，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．12．已知函数有两个极值点，，则（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则______．14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则______．15．若，，，则2ab的最小值为______．16．已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）记的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且，．（1）证明：是等腰三角形（2）若，求18．（12分）已知函数．（1）若是函数的极值点，求在处的切线方程．（2）若，求在区间上最大值．19．已知且，函数在R上是单调递增函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③．（1）从中选择的两个条件的序号为______，说出你的理由；依所选择的条件求出a和b．（2）设函数，，若对，总，使得成立，求实数m的取值范围．20．（12分）如图，四棱锥中，平面平面ABCD，，．（1）求证：；（2）若，且平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．求PC的长．21．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）若，求C；（2）若，且，求的最小值．22．（12分）已知函数（……是自然对数底数）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：．高三教学质量检测（一）数学试题参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AC 10．BC 11．ABD 12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14． 15．8 16．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．解：（1）因，，由正弦定理，得，所以，所以是等腰三角形（2），则，，，所以在中，由余弦定理，得：，在中，∵，∴∴18．解（1），又是函数的极值点，∴，即∴，∴，在处的切线方程为，即，所以在处的切线方程是（2），令，得，∴在单调递减，在单调递增而，①当，即时，②当，即时，综上，当时，；当时，19．解：（1）选择的两个条件的序号为①②因为在R上是单调递增函数，故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数．因为函数的定义域为R，所以，则，，故一定满足②．选择①②，，即，而，解得．（2）设，，由题意可知，，由已知，在时单调递增，所以，即即集合，又∵，∴，∴．20．解（1）如图，连接BD交AC与点O．∵，即为等腰三角形，又，故，∵平面平面ABCD，平面平面，∴平面PAC，∵平面PAC，∴．（2）在和中，，，∴，，又，∴．在中，作于点E，则平面ABCD，以O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因平面xoz，设点P坐标为，故，，，设平面PBC的法向量为，由，得，可取，平面PAC的法向量取为，因为平面PBC与平面PAC夹角的余弦值．．即①又因∵，∴，即②由①②解得，或，（舍去）所以21．（1）∵，∴∴∴∴或者由，得，从而由得∴，则，而，故综上，∴或（2）∵，∴，即由（1）知∴，又，∴，∴由正弦定理，，∴的最小值为22．解：当时，，∴，令，显然在单增，且所以当时，；当时，；所以函数