辽宁省辽阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题

高一考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，若，则集合B可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据确定正确答案.【详解】A选项，，A选项错误.B选项，，B选项正确.C选项，，C选项错误.D选项，，D选项错误.故选：B2.命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（）A.每一个四边形的对角线都不互相垂直B.存在一个四边形，它对角线不垂直C.所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.存在一个四边形，它的对角线互相垂直【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定分析判断即可.【详解】因为“每一个四边形的对角线都互相垂直”是全称命题，所以其否定为：存在一个四边形，它的对角线不垂直，故B正确，ACD错误.故选：B.3.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】，易知函数单调递增，，，,故函数在上有唯一零点.故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远两项比赛．已知参加100米短跑比赛的有15人，参加立定跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（）A.3人 B.2人 C.6人 D.4人【答案】C【解析】【分析】设同时参加这两项比赛的人数为，作出venn图，列出关系式，求解即可得出答案.【详解】设同时参加这两项比赛的人数为，由题意可作出venn图，根据venn图可知，，解得.故选：C.5.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.【详解】由已知，，则，故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；当时，，则，故AD项错误，应选B.又设，且，则，故，则有，即，故在上单调递减.综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.故选：B.6.设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.【详解】若“的周长为16”，则，解得，所以“其中一条边长为6”.若“其中一条边长为6”，如，则，此时三角形的周长为，即无法得出“的周长为16”，所以“的周长为16”是“其中一条边长为6”充分不必要条件.故选：A7.若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合.【详解】当时，不等式化为对恒成立；当，要使得不等式对恒成立，则，解得综上，a的取值集合为.故选：D.8.定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】依题意，定义域为的函数满足，所以的图象关于直线对称，而时，恒成立，所以在区间上单调递增，，，，，所以，所以.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，故两函数是同一个函数，所以A正确；选项B，因为的定义域为，而的定义域为，故两函数不是同一个函数，所以B错误；选项C，，且定义域都为，故两函数是同一个函数，所以C正确；选项D，的定义域为，的定义域为，故两函数不是同一个函数，所以D错误.故选：AC.10.若函数恰有三个零点，则a的值可能为（）A.－1 B.6 C.1 D.2【答案】BCD【解析】【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有一个零点，则有，可得a可能的值.【详解】函数恰有三个零点，时，，函数有两个零点0和6，则时，有一个零点，所以，即，BCD选项都符合.故选：BCD11.“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素，因，则有：当时，；当时，；当时，；则的取值范围为，由，，，可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；又因为与之间没有包含关系，可知是的既不充分也不必要条件；故选：ABD.12.某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】BC【解析】【分析】根据题意列出不等式组得到且在上恒成立，结合对勾函数性质求出n的取值范围．【详解】依题意，则，由知：，且，由知：在上恒成立，因为在上递增，所以，即，综上，，.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据的定义域即可求出的定义域.【详解】由题意，在函数中，定义域为，∴在中，，解得：，故答案为：.14.已知是定义在上的奇函数，则______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，又因为是奇函数，则恒成立，即恒成立，化简得，因为该等式对恒成立，所以.故答案为：；.15.设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是______．【答案】【解析】【分析】利用韦达定理化简可得，再解分式不等式可得答案.【详解】因为一元二次方程的两个实根为，（），则，而，解得，故答案为：16.已知是定义在上的单调函数，且，，则______．【答案】14【解析】【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.【详解】，，是定义在上单调函数，则为定值，设，则，，解得，得，所以.故答案为：14.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集，集合，．（1）求，．（2）设，若，求t的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化简集合，由并集与补集运算可得；（2）化简集合，由包含关系建立不等关系即可解得t的取值范围.【小问1详解】因为，，所以，.【小问2详解】由题意得，又，因为，则，所以，解得，即的取值范围为.18.（1）已知______，试比较M，N的大小．从下列两个条件中选择其中一个填入横线中，并解答问题．①，，②，．（2）若，证明：．【答案】（1）选①：；选②：.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用作差法和求倒数的方法比较大小；（2）作差法证明不等式.【详解】（1）选①：，所以；选②：，，由，得，所以.（2）证明：，由，得，所以.19.已知函数．（1）求的解析式；（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）（2）单调递增，证明详见解析【解析】【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.【小问1详解】，所以.【小问2详解】，在上单调递增，证明如下：设，，其中，所以，所以，所以在上单调递增.20.已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，【答案】（1）当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低（2），最大值万元【解析】【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.【小问1详解】依题意，，解得，所以，，当且仅当时等号成立，所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.【小问2详解】依题意，，当万吨时，取得最大值为万元.21.已知．（1）求的最小值．（2）试问是否有最值？若有，求出对应的最值；若没有，请说明理由．【答案】21.22.有最小值，无最大值，最小值为【解析】【分析】（1）利用乘“1”法，将原式变形为，再将括号内的式子相乘展开，结合基本不等式即可求得最小值.（2）先将原式变形，再结合乘“1”法求最值即可.【小问1详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为.【小问2详解】，而，当且仅当时等号成立，故有最