江苏省苏州市2023-2024学年高一上学期期中摸底数学试题

2023-2024年第一学期高一年级11月摸底调研数学学科（总分：150分；考试时长：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合补集的性质直接求解即可【详解】由于，，所以，故选A2.函数定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可.【详解】的定义域满足，解得.故选：D3.“函数在上为减函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据函数在上为减函数求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若函数在上为减函数，则，解得，又因为，因此，“函数在上为减函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5.设函数，若，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数，先由得，由代入分段函数可得.【详解】由题意，因，所以，故选：C6.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（）(参考数据：)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.7.函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合函数的单调性，建立m所满足的不等式组，求解得结果.【详解】因为在上单调递增，且，所以有，解得，所以m的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关抽象函数的问题，根据题中所给的条件，结合函数的定义域以及单调性，建立相应的不等式组，求解即可，在解题的过程中，定义域优先原则是关键.8.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.A.的值域为 B.C. D.以上选项都不对【答案】B【解析】【分析】设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可．【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A错误；对B、C选项：①当，，则，；②当，，则，＝0；③当或，则，，所以选项B正确，选项C、D错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.图中阴影部分用集合表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由图可得图中阴影部分表示为，再根据集合的运算判断即可.【详解】由图可得图中阴影部分表示为，又，，，故符合题意的有A、B、C.故选：ABC10.下列命题中假命题有（）A.，B.“且”是“”的充要条件C.，D.函数的值域为【答案】BC【解析】【分析】由不等式性质判断A；特殊值法并结合充分、必要性定义判断B；根据函数的性质判断C；利用二次函数性质求值域判断D.【详解】A：由，则，故，真命题；B：显然满足，但此时且不成立，假命题；C：对于，开口向上且，则恒成立，假命题；D：且开口向下，易知其值域为，真命题.故选：BC11.若，，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据对数和指数运算规则逐项分析.【详解】由条件：，即，A正确；，即，B错误，D正确；由，则，C正确；故选：ACD.12.下列说法正确的是（）A.若为正数，且满足，则的最小值为B.已知实数，则表达式的最小值为C.已知实数且，满足，则的最小值为D.若两个不相等的正数满足，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据基本不等式、“1”的代换以及二次函数求最值判断各选项.【详解】对于A，若为正数，，得，解得，所以当时，的最小值为；故A正确.对于B，已知实数，，当时，即时，的最小值为，故B正确；对于C，已知且，则，，，，所以当时，即，时，取最小值1，但已知，故C错误；对于D，已知两个不相等的正数，因为，所以，所以，解得，，所以，，当时，，所以当时，有最小值所以的最小值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“”的否定是______.【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“”.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.14.已知幂函数的图象经过点，则该函数的单调区间为___________.【答案】，【解析】【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可.【详解】设幂函数的解析式为，因为幂函数的图象经过点，所以有，因此该函数的单调区间为，，故答案为：，15.已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解抽象不等式即可.【详解】由题知：区间上单调递减，在上单调递增，且，当时，，，，符合题意，当时，，，，不符合题意，当时，，，，符合题意，当时，，，，不符合题意，综上的解集为故答案为：16.已知函数，，为常数，若对于任意，，且，都有则实数的取值范围为________.【答案】[0，2]【解析】【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣g（x），利用F（x）的单调性求出a【详解】解：对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]单调递增即可，当x＝1时，F（x）＝0，图象恒过（1，0）点，当x＞1时，F（x）＝x2﹣ax+a，当x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a，要使F（x）在[0，2]递增，则当1＜x≤2时，F（x）＝x2﹣ax+a的对称轴x＝，即a≤2，当0≤x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a的对称轴x＝，即a≥0，故a∈[0，2]，故答案为：[0，2]【点睛】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）把平方，结合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案．【详解】（1）；（2），，，，．18.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知在时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值集合；（2）分析可知，分、两种情况讨论，求出集合，结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：由，都有不等式成立，得在时恒成立，所以，因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，当时，，，所以，.【小问2详解】解：由可得.①当时，可得或，因为是的充分条件，则，则，此时，；②当时，可得或，因为是的充分条件，则，则，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的值；（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得、b的值；（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求【小问1详解】由题意可知，即，，又，即【小问2详解】，且，有，由于，即，所以函数在区间上单调递增.【小问3详解】因为为奇函数，所以由，得，又因为函数在区间上单调递增，所以解得，故，所以实数的取值范围是20.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数及利润函数最大值；（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．【答案】（1）利润函数，最大值为（元）（2）当台时，每台产品的利润取到最大值1900元【解析】【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.【小问1详解】由题意知，，易得的对称轴为，所以当或时，取得最大值为（元）．所以利润函数，最大值为（元）；【小问2详解】依题意，得（元）.当且仅当时等号成立，即时，等号成立．所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．21.已知函数（1）求函数的解析式；（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）解法一：运用配凑法，然后整体换元得函数的解析式；解法二：运用换元法，令，则且．代入原式求得的解析式，进而换元得到函数的解析式；（2）由（1）代入将问题转化为在时有解．再令，由，得，设．根据二次函数的最值可得取值范围.【详解】（1）解法一：∵，∴．又，∴．解法二：令，则．由于，所以．代入原式有，所以．（2）∵，∴．∵存在使成立，∴在时有解．令，由，得，设．则函数的图象的对称轴方程为，∴当时，函数取得最小值．∴，即的取值范围为．22.对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．（1）请证明：函数不存在“黄金区间”．（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证；（2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”；（3）化简得函数单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值．【详解】解：（1）证明：由为上的增函数，则有