广东省深圳市名校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

高一数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章3.2．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列元素的全体可以组成集合的是（）A.人口密度大的国家 B.所有美丽的城市C.地球上的四大洋 D.优秀的高中生【答案】C【解析】【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.【详解】由题意，选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合.故选：C.2.命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（）A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B.锐角三角形的三个内角都相等C.锐角三角形的三个内角都不相等 D.锐角三角形的三个内角不都相等【答案】D【解析】【分析】根据含有量词的否定即可得出结论.【详解】命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”．故选：D3.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意联立，即可解.【详解】由得所以.故选：B4.设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别讨论命题的充分性和必要性即可得出结论.【详解】由题意，充分性：若，则为等腰三角形.必要性：若为等腰三角形，则a，b不一定相等.故选：A.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】根据题意可得，解得且．故选：C6.的最小值为（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．故选：A.7.若为奇函数，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根据已知，列出关系式，求解即可得出答案.【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数，所以，解得．故选：C.8.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A.220元 B.240元 C.250元 D.280元【答案】C【解析】【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可.【详解】依题意，每天有套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，所以，即，解得.因为且，所以，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中，不正确的有（）A.对角线垂直的四边形是菱形B.若，则C.若两个三角形相似，则它们面积之比等于周长之比D.若，则方程有实根【答案】ABC【解析】【分析】由几何，代数知识判断相应选项正误即可.【详解】A选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误;B选项，当，时，，则B错误.C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误.D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确.故选：ABC10.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案。【详解】对于A选项，即为图中所示；对于B选项，应为如下图：对于C选项，应为如下图：对于D选项，即为图中所示.故选：AD11.若，，则下列判断正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】由不等式性质判断A，作差法判断B、C，由已知得，再把目标式左侧展开化简判断D.【详解】A：若，则，，错误.B：若，则，正确.C：若，则，，正确.D：若，则，即，得，正确.故选：BCD12.已知函数满足对任意恒成立，则（）A. B.C. D.函数的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】【分析】通过赋值法得到等的值，进而得到函数的性质，逐一判断即可【详解】对于A：令，得，则，所以A正确；对于B：令，则，令，得，即，所以B错误；对于C：令，得，即，所以为偶函数，令，得，令，得，又为偶函数，所以，C正确；对于D：由C可知为偶函数，所以为向右平移3个单位得到，此时关于直线对称，D正确，故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上，13.用符号“”或“”填空：0___________；___________；2.4___________；___________；4___________．【答案】①.②.③.④.⑤.【解析】【分析】根据，和代表的数集，得到答案.【详解】因为是自然数集，是有理数集，是整数集，所以.故答案为：.14.比较大小：____________.（请从“”“”“”中选择合适的符号填入横线中）【答案】【解析】【分析】根据题意，求得，，结合作差比较法和不等式的性质，即可求解.【详解】由，，因为，可得，所以.故答案为：.15.某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；②只报名舞蹈的有36人；③只报名声乐的有20人；④报名两门课程的有14人.其中，所有正确结论的序号是____________.【答案】②③④【解析】【分析】画出图，结合图形求出同时报名舞蹈和报名太极的人数，再逐一分析即可得解.【详解】如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人，则，解得，所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人，只报名舞蹈的有人，只报名声乐的有人，报名两门课程的有人.故答案：②③④.16.设集合，，函数，已知，且，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的解析式直接计算即可.【详解】因为，所以，则，由，可得，解得，故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，命题．（1）判断是全称量词命题，还是存在量词命题；（2）若均为真命题，求的取值范围．【答案】（1）是存在量词命题，是全称量词命题（2）【解析】【分析】（1）根据定义判断是全称量词命题，或是存在量词命题即可；（2）根据命题均为真命题分别求出的范围，之后取交集即可.【小问1详解】因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词，所以是存在量词命题．因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词，所以是全称量词命题．【小问2详解】若为真命题，则，解得．若为真命题，则，解得．因为均为真命题，所以的取值范围为．18.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A，结合并集的与运算即可求解；（2）由知，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可求解.【小问1详解】由题意可得.当时，.故.【小问2详解】因为，所以，则解得，即a的取值范围为.19.已知．（1）若与均为正数，求的最大值；（2）若与均为负数，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据基本不等式和为定值求解乘积的最值即可；（2）利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【小问1详解】因为与均为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为．【小问2详解】因为与均为负数，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．20已知函数满足．（1）求的解析式；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解；（2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由，得，通过消元可得．【小问2详解】由题意可得，因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以在上的值域为．21.某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且.现有两种购买方案（）方案一：流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个.方案二：流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个.（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.（2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注；差值较大值较小值）.【答案】（1）方案二，理由见解析（2）32【解析】分析】（1）列出函数式子，作差比较即可；（2）利用换元法，结合基本不等式即可.【小问1详解】方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元），则，因为，，所以，即，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】由（1）可知，令，，，因为，所以，所以差值S的最小值为，当且仅当，，，，即，时，等号成立.所以两种方案花费的差值S的最小值为32元.22.已知函数．（1）判断的奇偶性，并证明．（2）利用单调性的定义证明：在上单调递增．（3）若函数在上是增函数，求的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的定义，即可证明；（2）利用单调增函数的定义，即可证明；（3）首