安徽省滁州市来安县第二中学2023-2024学年数学高一上期末学业质量监测试题含解析

安徽省滁州市来安县第二中学2023-2024学年数学高一上期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A.7 B.6C.5 D.32．若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为A. B.C. D.3．设，，，则（）A. B.C. D.4．不等式的解集为（）A.{x|1＜x＜4} B.{x|﹣1＜x＜4}C.{x|﹣4＜x＜1} D.{x|﹣1＜x＜3}5．设集合，，则（）A.{2，3} B.{1，2，3}C.{2，3，4} D.{1，2，3，4}6．若，，，则（）A. B.C. D.7．已知，则直线ax+by+c=0与圆的位置关系是A.相交但不过圆心 B.相交且过圆心C.相切 D.相离8．某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为），则该几何体的体积是A. B.C. D.9．某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）.A. B.C. D.10．某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为A.， B.，C， D.，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．给出下列命题：①存在实数,使；②函数是偶函数；③若是第一象限的角，且，则；④直线是函数的一条对称轴；⑤函数的图像关于点成对称中心图形.其中正确命题序号是__________.12．已知函数的最大值为，且图像的两条相邻对称轴之间的距离为，求：（1）函数的解析式；（2）当，求函数的单调递减区间13．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.14．函数的单调递增区间为___________.15．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.16．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，对任意的，，都有，且当时，（1）求证：是上的增函数；（2）若，解不等式18．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本x35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)（1）选择一个恰当函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型19．已知函数定义在上且满足下列两个条件:①对任意都有;②当时,有，（1）求，并证明函数在上是奇函数；（2）验证函数是否满足这些条件；（3）若，试求函数的零点.20．已知.（1）化简；（2）若，求的值；（3）解关于的不等式：.21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.2、A【解析】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可.详解：由题意得扇形的半径为：又由扇形面积公式得该扇形的面积为：.故选：A.点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.3、C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围即可比较的大小.【详解】因为，即，，即，，即，所以，故选：C.4、B【解析】把不等式化为，求出解集即可【详解】解：不等式可化为，即，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}故选：B【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题5、A【解析】根据集合的交集运算直接可得答案.【详解】集合，，则,故选：A.6、C【解析】先由，可得，结合，，可得，继而得到，，转化，利用两角差的正弦公式即得解【详解】由题意，故故又，故，则故选：C【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题7、A【解析】∵2a2＋2b2＝c2，∴a2＋b2＝.∴圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝<2，∴直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交，又∵点(0,0)不在直线ax＋by＋c＝0上，故选A点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题8、A【解析】利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【详解】由题意可知几何体的直观图如图：是直四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，几何体的体积为：V6故选A【点睛】本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力9、D【解析】根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用时的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果【详解】解：由题意可知：时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、C，随着时间的增加，先跑步，开始时随的变化快，后步行，则随的变化慢，所以适合的图象为D；故选：D10、D【解析】均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、④⑤【解析】根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosαsin（α）结合正弦函数的值域可判断①；根据诱导公式得到＝sinx，再由正弦函数的奇偶性可判断②；举例说明该命题正误可判断③；x代入到y＝sin（2xπ），根据正弦函数的对称性可判断④；x代入到，根据正切函数的对称性可判断⑤.【详解】对于①，sinα+cosαsin（α），故①错误；对于②，＝sinx，其为奇函数，故②错误；对于③，当α、β时，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＝sinβ，故③错误；对于④，x代入到y＝sin（2xπ）得到sin（2π）＝sin1，故命题④正确；对于⑤，x代入到得到tan（）＝0，故命题⑤正确.故答案为④⑤【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与求值问题，是综合性题目12、（1）；（2）和【解析】（1）根据降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，然后由题意求解，从而求解出解析式；（2）根据（1）中的解析式，利用整体法代入化简计算函数的单调减区间，再由，给赋值，求出单调减区间.【小问1详解】化简函数解析式得，因为图像的两条相邻对称轴之间的距离为，即，且函数最大值为，所以且，得，所以函数解析式为.【小问2详解】由（1）得，，得，因为，所以函数的单调减区间为和13、【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得14、【解析】根据复合函数“同增异减”的原则即可求得答案.【详解】由，设，对称轴为：，根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间为：.故答案为：.15、【解析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的的大小关系，即可列式求解.【详解】因为分段函数在上单调递减，所以每段都单调递减，即，并且在分界点处需满足，即，解得：.故答案为：16、3【解析】根据幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2）求出a的值，再求f（27）的值.【详解】幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案为3【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）赋值法证明抽象函数单调性；（2）先根据，用辅助法求出，再利用第一问求出的函数单调性解不等式.【小问1详解】由可得：，令，，且，则，因为当时，，所以，，即，由于的任意性，故可证明是上的增函数；【小问2详解】令得：，因为，所以，故，由第一问得到是上的增函数，所以，解得：，故不等式解集为.18、（1）可用③来描述x，y之间的关系，y＝log2(x－1)；（2）该企业要考虑转型.【解析】（1）把(3，1)，(5，2)分别代入三个函数中，求出函数解析式，然后再把x＝9代入所求的解析式中，若y＝3，则选择此模型；（2）由（1）可知函数模型为y＝log2(x－1)，令log2(x－1)>6，则x>65，再由与比较，可作出判断.【详解】（1）由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本x的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，得解得∴.当时，，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，得解得∴y＝log2(x－1)当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．（也可通过画散点图或不同增长方式选择）（2）令log2(x－1)≥6，则x≥65.∵年利润＜10%，∴该企业要考虑转型19、(1)见解析;(2)见解析;(3).【解析】令代入即可求得，令，则可得，即可证明结论根据函数的解析式求出定义域满足条件，再根据对数的运算性质，计算与并进行比较，根据对数函数的性质判断当时，的符号，即可得证用定义法先证明函数的单调性，然后转化函数的零点为，利用条件进行求解【详解】（1）对条件中的，令得.再令可得所以在（－1，1）是奇函数.(2)由可得，其定义域为（-1，1），当时，∴∴故函数是满足这些条件.（3）设，则，，由条件②知，从而有，即故上单调递减，由奇函数性质可知,在（0，1）上仍是单调减函数.原方程即为，在(-1,1)上单调又故原方程的解为.【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，考查了对数函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化，有一定的难度和计算量20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）运用诱导公式和同角三角函数关系进行化简，即可得到化简结果；（2）结合（1）得到的结果，将问题转化为齐次式进行求解，即可计算出结果；（3）结合（1）得到的结果，将其转化为不等式即可求出结果.【详解】（1）因为，，，，，，，.（2）由（1）可知，=11（3）因为，可转化为整理可得，则，解得，故不等式的解集为.【点睛】关键点点睛：解答第一问时关键是需要熟练掌握诱导公式，对其进行化简，并能结合同角三角函数关系计算结果，解答第二问时可以将其转化为齐次式，即可计算出结果.21、(1)为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）【解析】（1）判断是否为“局部中心函数”，即判断方程是否有解，若有解，