2024届浙江省杭州市第四中学 高一上数学期末联考试题含解析

2024届浙江省杭州市第四中学高一上数学期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．若，都为正实数，，则的最大值是（）A. B.C. D.2．如图，在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B.C. D.3．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A.①② B.②③C.③④ D.①④4．“”是“关于的方程有实数根”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5．如果，且，那么下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．如果，那么A. B.C. D.7．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是A. B.C. D.8．已知函数，则下列是函数图象的对称中心的坐标的是（）A. B.C. D.9．的值为（）A. B.C. D.10．下列命题中正确的是（）A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若和都是单位向量，则=D.两个相等向量的模相等二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．若，则______12．已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______13．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.14．若，，则等于_________.15．函数的单调递增区间是___________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角Ⅰ求值；Ⅱ求的值17．6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”，旨在进一步提高世界各国人民对防治荒漠化重要性的认识，唤起人们防治荒漠化的责任心和紧迫感.为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚集联合国2030可持续发展目标——实现全球土地退化零增长.自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了400株树苗的高度（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中实数的值和抽到的树苗的高度在的株数；（2）估计苗圃中树苗的高度的平均数和中位数.（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）18．已知1与2是三次函数的两个零点.（1）求的值；（2）求不等式的解集.19．已经函数(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合20．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示（1）请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；（2）求函数，的解析式；（3）已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围21．已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；(1)若，求的直线方程；(2)若，求的直线方程

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、D【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D2、B【解析】由题意，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积【详解】解：由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，所以球的表面积为：故选B【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力3、B【解析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；综上所述，可选的序号为②③，故选B.【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.4、A【解析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A5、D【解析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；对于B，若，则，错误；对于C，若，，满足，但不成立，错误；对于D，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.6、D【解析】：，，即故选D7、D【解析】本题首先可以求出函数关于轴对称的函数的解析式，然后根据题意得出函数与函数的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果【详解】若，则，因为时，，所以，所以若关于轴对称，则有，即，设，画出函数的图像，结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点处相交为临界情况，即要使与的图像至少有3个交点，需要且满足，即，解得，故选D【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题8、A【解析】根据三角函数性质计算对称中心【详解】令，则，故图象的对称中心为故选：A9、A【解析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.【详解】原式.故选：A10、D【解析】考查所给的四个选项：向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；向量相等向量模相等，且方向相同，B说法错误；若和都是单位向量,但是两向量方向不一致，则不满足，C说法错误；两个相等向量的模一定相等，D说法正确.本题选择D选项.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】由二倍角公式，商数关系得，再由诱导公式、商数关系变形求值式，代入已知可得【详解】，所以，故答案为：12、80【解析】根据二次函数的性质直接计算可得.【详解】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.故答案为：8013、①.②.【解析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径.【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面设，则，解得.在正方形中，，则在直角中，知，即正八面体外接球的半径为故该正八面体外接球的体积为.若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离.取的中点E，连接，，则，又，，平面过O作于H，又，，所以平面，又，，则，则该球半径的最大值为.故答案为：，14、【解析】由同角三角函数基本关系求出的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为，，所以，所以，故答案为：.15、##【解析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.【详解】由得，解得，所以函数的定义域为.设内层函数，对称轴方程为，抛物线开口向下，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，外层函数为减函数，所以函数的单调递增区间为.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值【详解】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，，【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题17、（1），342（2）189.8，190【解析】（1）由每个小长方形的面积的总和等于，即可通过列方程求出值，根据频数样本容量频率即可求出抽到的树苗的高度在的株数；（2）由频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小正方形底边中点的横坐标的乘积之和即为平均数，即可算出，利用平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标即为中位数，即可算出.【小问1详解】∵，∴，抽到的树苗的高度在的株数为（株）【小问2详解】苗圃中树苗的高度的平均数：设中位数为，因为，，则，，所以.18、（1）；（2）【解析】（1）根据函数零点的定义得，解方程即可得答案；（2）由（1）得，进而根据二次函数性质解不等式即可.【详解】解：（1）因为1与2是三次函数的两个零点所以根据函数的零点的定义得：，解得：.（2）由（1）得，根据二次函数的性质得不等式的解集为：所以不等式的解集为19、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值，对应的x的集合为.【解析】（Ⅰ）由二倍角公式降幂后，用诱导公式化正弦函数，再由图象平移得结论；（Ⅱ）利用两角和的余弦公式化函数为一个角的余弦型函数，利用余弦函数的性质得最值【详解】解：（Ⅰ），所以要得到的图象只需要把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可.（Ⅱ）.当2x+=2k＋时，h（x）取得最小值.取得最小值时，对应的x的集合为.20、（1）图象见解析，函数的单调增区间为；（2）；（3）.【解析】(1)根据奇函数的图象特征即可画出右半部分的图象，结合图象，即可得出单调增区间；(2)根据函数的奇偶性即可直接求出函数的解析式；(3)由(2)得出函数的解析式，画出函数图象，利用数形结合的数学思想即可得出m的取值范围.【小问1详解】剩余的图象如图所示，有图可知，函数的单调增区间为；【小问2详解】因为当时，，所以当时，则，有，由为奇函数，得，即当时，，又，所以函数的解析