指数函数与对数函数本章达标检测含解析

本章达标检测(总分值:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.函数f(x)=ln(xA.(-1,+∞)B.(-1,2)∪(2,+∞)C.(-1,2)D.[-1,2)∪(2,+∞)2.a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,那么()A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b3.由表格中的数据,可以判断方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.603x+22581114A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2000mg该药物,那么x小时后病人血液中这种药物的含量为()000(1-0.2x)mg000·0.8xmg000(1-0.2x)mg000·0.2xmg5.关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实数根x1,x2满足x1<32<x2,那么实数m的取值范围为A.m<412<m<4C.72<m<412<6.函数y=2x+17.函数f(x)=lnx,x>0,-ln(-x),x<A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-e)∪(0,e)D.(-∞,-1)∪(0,1)8.假设函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1,且满足对任意的实数x1,x2(A.(1,+∞)B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)二、多项选择题(本大题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,局部选对的得3分,有选错的得0分)9.假设0<m<n<1,那么()4m<log4nn<3mm3<logn3D.14m10.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),以下式子成立的是()A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.f(D.fx1+11.设函数y=ln(x2-x+1),那么以下命题中正确的选项是()A.函数的定义域为RB.函数是增函数C.函数的值域为RD.函数的图象关于直线x=1212.函数f(x)的定义域为D,假设对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,那么称函数f(x)为“M函数〞.以下所给出的函数中是“M函数〞的有()A.y=x2B.y=1xC.y=2x-1D.y=ln(x三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.log233×log32=14.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,tmin后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100℃的物体,放在10℃的空气中冷却tmin后,物体的温度是40℃,那么t的值约等于.(保存两位小数,参考数据:ln3≈1.099)

15.x,y∈R,在实数集R中定义一种运算xy=xy+x+y-1,那么24=,函数f(x)=2x42x的最小值为.(本小题第一空2分,第二空3分)

16.函数f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32四、解答题(本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题总分值10分)函数f(x)=log2(x2+a+x)(a∈R)满足f(x)+f(-(1)求a的值;(2)假设函数g(x)=2f(-x)+1-x2+1,证明:g(x2-x)≤18.(本小题总分值12分)计算以下各式的值.(1)(32×3)6+(-2021)(2)log23×log34×log45×log254.19.(本小题总分值12分)函数f(x)=a12|x|+b的图象过原点,且无限接近直线(1)求该函数的解析式,并判断该函数的奇偶性;(2)假设不等式m·[1-f(x)]>14x+1对任意的x∈[-2,2]恒成立,求m20.(本小题总分值12分)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的本钱为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q(单位:千克)与ex成反比,每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)关于每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;(2)假设t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?21.(本小题总分值12分)函数f(x)=x2-2ax+9.(1)当a≤0时,设g(x)=f(2x),证明:函数g(x)在R上单调递增;(2)假设∀x∈[1,2],f(2x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(3)假设函数f(x)在(-3,9)上有两个零点,求实数a的取值范围.22.(本小题总分值12分)函数f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=f(x)x,且函数y=f((1)求g(x)的解析式;(2)假设不等式g(lnx)-nlnx≥0在1e2,1上恒成立,(3)假设函数y=g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4答案全解全析一、单项选择题1.B由题意得x+1>0,x-2≠0,所以x>-1且x≠2,即f(x)2.Ac=0.20.3<1<a=20.2<b=20.3,∴b>a>c.应选A.3.C设f(x)=ex-3x-2,由题表知,f(0)、f(1)、f(2)均为负值,f(3)、f(4)均为正值,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3),应选C.4.B由题意知,该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减,给某病人注射了2000mg该药物,x个小时后病人血液中这种药物的含量为y=2000·(1-20%)x=2000·0.8x(mg),应选B.5.D设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得,f32<0,即322-(2m-8)×32+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-12<m<6.B易得函数y=2x+1x34x+1为奇函数,选项C错误;当x>0时,y>0,选项D错误;当x=4时,y=211287.D当m>0时,-m<0,所以f(m)+2f(-m)=lnm-2lnm>0,即-lnm>0,解得0<m<1.当m<0时,-m>0,所以f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)>0,即ln(-m)>0,解得m<-1.综上,实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1),应选D.8.D∵对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有f(x1∴函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,二、多项选择题9.AD因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,且0<m<n<1,所以log4m<log4n,故A正确;因为y=3x在R上单调递增,且0<m<n<1,所以3n>3m,故B错;取m=14,n=12,知logm3>logn3,故C错;由指数函数的性质可知D正确.应选10.ACDf(x1+x2)=2x1+x2,f(x1)·f(x2)=2x1·2x2=2x1+x2=f(x1+x2),所以A成立;f(x1·x2)=2x1·x2,f(x1)+f(x2)=2x1+2x2≠2x1·x2=f(x1·x2),所以B不成立;易知函数f(x)=2x在R上是单调递增函数,那么11.ADA正确,∵x2-x+1=x-122+34B错误,函数y=ln(x2-x+1)在x>12时是增函数,在x<12C错误,由x2-x+1=x-122+34≥34可得y=ln(x2-∴函数的值域为ln3D正确,函数的图象关于直线x=12对称.应选12.BD依题意得,假设b是f(x)的值域中的数,那么-b也是值域中的数,即f(x)的值域关于原点对称,选项A中函数的值域为[0,+∞),不是“M函数〞;选项B中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),是“M函数〞;选项C中函数的值域为(0,+∞),不是“M函数〞;选项D中函数的值域为R,是“M函数〞.应选BD.解题模板准确理解题意是解题的关键.“对任意x∈D,都存在y∈D,使得g(y)=f(x)成立〞的含义是“f(x)的值域是g(y)的值域的子集〞.此题中“对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立〞,意思是假设s在函数f(x)的值域内,那么-s也在函数f(x)的值域内,从而解决问题.三、填空题13.答案1解析log233×log32=13log23×log32=14.答案4.58解析由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=13,∴-0.24t=ln1∴0.24t=ln3≈1.099,∴t≈4.58.15.答案13;7解析由得24=2×4+2+4-1=13.函数f(x)=2x42x=4+2x+42x-1=3+2x+42x≥3+22x所以函数f(x)=2x42x的最小值为716.答案1解析f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32内恒小于零,即(x-1)2<loga(x-1)对于x∈1,32恒成立,画出函数y=(x-1)2与y=loga(x-1)的图象(图略四、解答题17.解析(1)因为f(x)+f(-x)=0,所以log2(x2+a+x)+log2((-x)那么log2a=0,那么a=1.(5分)(2)证明:由(1)知f(x)=log2(x2+1+所以g(x)=2log2(x2+1那么g(x2-x)=1-x2+x=-x-122+54≤18.解析(1)(32×3)6=108+1-7+π-3(4分)=99+π.(6分)(2)原式=log23×(2log32)×12log25=lg3lg2×lg2lg3×lg5lg2×lg2lg5=119.解析(1)依题意得b=1,(2分)由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1.(4分)因此f(x)=-12|x且f(-x)=-12|-x|+1=-12|x|+1=f(x),故函数f(2)不等式m·[1-f(x)]>14x+1可化为m>依题意知m>14x+112|x|对任意的令y=14x+112|x|,x∈[-2,2],令t=12x,当x∈[0,2]时,t∈14,1,y=t2+1t=t+1t,当t=14当x∈[-2,0)时,t∈(1,4],y=t2+1t-1=当t=4时,y取得最大值,最大值为68.(11分)综上,m的取值范围为m>68.(12分)20.解析(1)设日销售量q=kex(25≤x≤40,k为常数),那么ke30=100,∴k=100e∴日销售量q=100e30ex(25≤x∴y=100e30(x-20-t)(2)当t=5时,y=100e30(令y=100e4,那么x-25=ex-26,(8分)画出函数y=x-25与y=ex-26的图象如下图,由图可得方程x-25=ex-26的解为x=26,(11分)∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元.(12分)21.解析(1)证明:g(x)=f(2x)=4x-2a·2x+9,(1分)任取x1,x2∈R,且x1<x2,那么g(x2)-g(x1)=4x2-2a·2x2+9-(4x=4x2-4x1-2a(2x2-2x1)=(2x2-2x=(2x2-2x1)(2x2+∵函数y=2x在R上单调递增,∴2x2>2x1,即又2x2+2x1>0,a≤0,∴2x∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2a)>0,∴g(∴函数g(x)在R上单调递增.(4分)(2)设t=2x(1≤x≤2),那么2≤t≤4,∀x∈[1,2],f(2x)≤0恒成立,即∀t∈[2,4],t2-2at+9≤0恒成立,即2a≥t+9t(t∈[2,4]),令h(t)=t+9t(t∈[2,4]),(6易得h(t)在[2,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增,又h(2)=132,h(4)=254,∴h(t)的最大值为132,∴2a≥132,即∴实数a的取值范围为134,+∞(3)∵函数f(x)在(-3,9)上有两个零点且f(x)=x2-2ax+9的图象的对称轴为直线x=a,∴-3<a解得3<a<5.∴实数a的取值范围为(3,5).(12分)22.解析(1)∵f(x)=x2+(m-2)x-m,∴f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m.(2分)∵y=f(x-2)是偶函数,∴m-6=0,∴m=6,∴f(x)=x2+4x-6,∴g(x)=x-6x+4(x≠0).(4分(2)令lnx=t,∵x∈1e2,1∵不等式g(lnx)-nlnx≥0在1e2∴g(t)-nt≥0在t∈[-2,0)上恒成立.(6分)∴n≥t-6