专题强化：正、余弦定理综合性问题讲与练（解析版）

专题强化：正、余弦定理综合性问题讲与练题型一：边角互化1．在中，角的对边分别为，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【详解】解：因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果.【详解】因为，所以，所以，即，又，所以，所以，所以.因为，由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.设的外接圆的半径为，所以，解得，所以的外接圆的面积为.故选：B.3．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（

）A．2 B． C．4 D．16【答案】B【分析】由三角形面积公式得到，进而求出，由余弦定理求出答案.【详解】由题意，，所以，，所以，解得或（舍去）．故选：B题型二：化角为边判定三角形形状4．在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（

）A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状．【详解】∵，所以，又，∴，∵，∴，，，∴，从而，为等边三角形，故选：C．5．若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】化简，结合余弦定理可得，再利用正余弦定理对化简可得，从而可判断出的形状【详解】由，得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正余弦定理角化边得，化简得，所以，所以为等边三角形，故选：B6．已知在中，，且，则该的形状为（

）[附：]A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】由已知条件结合正弦定理得，化简后可得，然后由余弦定理求得，由结合正弦定理和三角函数恒等变换公式可得，从而可判断出三角形的形状【详解】由，又∵，∴．∴，∵∴．由，而，∴∴，即，∴．∴为等边三角形，故选：D．题型三：化边为角判定三角形形状7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（

）A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简，结合三角形内角的范围即可得到答案【详解】由结合正弦定理可得，即，所以，所以，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形，故选：C8．已知的三个内角所对应的边分别为，且满足，且，且的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形【答案】D【分析】先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得，求出角,再利用，化简得在结合条件求出角，进而得C,则三角形的形状就可以判断了.【详解】由题得：，即，由正弦定理及余弦定理得，又,整理得，

故为顶角为的等腰三角形故选：D9．已知内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若，，则的形状是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理边角关系及三角形内角性质求出角B，再由向量数量积定义和三角形面积公式求出角A，即可判断形状.【详解】由题设及正弦定理边角关系有，而且，所以，又，可得，所以，故，而，又，所以，故，，可得，综上，为正三角形.故选：C题型四：利用基本不等式求范围问题10．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（

）A．16 B．C． D．【答案】B【分析】首先根据题意利用余弦定理得到，根据是边BC的中点得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】因为，由正弦定理得，所以，，因为，所以.因为是边BC的中点，所以，.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以，即面积最大为．故选：B11．在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值.【详解】因为，根据正弦定理及诱导公式得，，，，即，，则，则解得,所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，根据余弦定理得，即，设的周长为，所以，设，则，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：在上为单调增函数，故，故，当且仅当时取等.故选：C.12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用正弦定理角化边整理可得，由余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式分析可得当为等边三角形时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可.【详解】∵，则，整理得，则，∵为锐角三角形，则，故，由面积为，可得当面积取到最大值，即为取到最大值，∵，即，即，当且仅当，即为等边三角形时等号成立，故当为等边三角形时，面积取到最大值，设的内切圆半径为，则，解得，故内切圆面积为.故选：D.【点睛】方法点睛：解三角形求面积的取值范围（或最值）的两种方法：（1）利用余弦定理建立三边之间的关系，结合不等式求取值范围（或最值）；（2）利用正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换和三角函数求取值范围（或最值）.题型五：利用三角函数求范围问题13．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理边化角可得，由△ABC为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域.【详解】∵，即：，，∴，∴由正弦定理得：，即：，∴，∴或，解得：或（舍），又∵△ABC为锐角三角形，则，∴，解得：，∴，又∵，∴，∴，∴，即的取值范围.故选：B.14．记的内角，，的对边分别为，，，已知.则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算即可得到，然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简，进而可求得的最大值．【详解】由已知，根据正弦定理得，，则，∴，又，∴，∴∵，∴，∴当，即时，的最大值为1，即的最大值为1．故选：C．15．已知在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理、正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理及，得，根据余弦定理，得，令，所以，因此，即，由题意可知A是锐角，所以，因此，所以．故选:A.题型六：解三角形的综合问题16．设内角，，的对边分别为，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理求出，即可得到，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，即，则，又，所以．（2）解：因为，，，由，得，即，又，所以，则，所以，所以．17．在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，且．(1)求角的大小；(2)若是边上一点，且，若，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，结合以及三角恒等变换可得，求得答案；（2）根据平面向量共线定理可得，因为，，平方后得，结合基本不等式求出，再利用三角形面积公式求得答案．【详解】（1）解：因为，所以，又因为，所以，而，所以，即，又因为，所以，故，解得．（2）解：如图，因为，，由，所以，，解得，当且仅当时取“=”，所以的面积为，当且仅当时，的面积有最大值为．18．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，且．(1)求的值(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）代入，然后逐步化简，即可求解；（2）由，得，，然后借助二倍角公式，即可求得周长的取值范围.【详解】（1）在中，由三角形面积公式得:，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故．（2）因为，，由正弦定理得，，即的周长，因为，则，故，所以，即的周长的取值范围是.专题强化一、单选题19．记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得与的关系，进一步计算得出结果.【详解】已知角，，由正弦定理可得，整理得，即，因为，所以，所以.又，所以.故选：C.20．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理把化为，再结合余弦定理求角即可【详解】∵，∴，结合即可求得．由余弦定理可得.又∵，∴．故选：D21．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论.【详解】，由正弦定理，得，即∴，可得，又，∴，则的形状为等腰三角形.故选：A.22．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（

）A．64 B．74 C．52 D．91【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出m，从而得到的长度.【详解】因为中，⊥，m，，所以m，因为中，⊥，，所以，由题意得：，故，在中，由正弦定理得：，即，故m，故m故选：B23．在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（

）A．7 B． C． D．4【答案】C【分析】先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的倍角公式求得，再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到的关系式，从而利用基本不等式求得，由此得解.【详解】由题可得，，即，又，所以，则，因为，所以，则，所以，即，又因为，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时，等号成立，则，故周长的最小值为.故选：C..24．的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程来求得.【详解】，，即，，，则故选：D25．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【分析】利用可得到，然后分和两种情况进行讨论即可求解【详解】∵，∴，∴，①当时，，为直角三角形．∵，，∴；②当时，则有，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，综上，或．故选：C．26．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得到B的取值范围，先求出，，再根据正弦定理得到，再结合二次函数性质即可求得的取值范围．【详解】，，，，由正弦定理可得，令，则，由二次函数性质知，．故选：C．27．在锐角中，角的对边分别为，.则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换整理得，进而可得，结合锐角三角形求A的取值范围，利用三角恒等变换整理得，换元结合对勾函数求取值范围.【详解】∵，由正弦定理可得，则，即，又∵，则，∴，又∵，则，即，由题意可得，解得，∵，则，∴令，且在上单调递减，则，故的取值范围为.故选：C.28．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式可得，根据三角形面积公式可求，再由余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，整理得，因为，所以．又，所以．因为的面积为，，所以，解得，，所以，则．故选:D.二、多选题29．在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（

）A． B．向量，夹角的最小值为C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为【答案】AC【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到，根据均值不等式得到，计算，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到，得到答案.【详解】，，故A对；，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对；，故D错.故选：AC30．已知的内角所对应的边分别是，它的外接圆半径为，，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．的外接圆半径为1D．面积的最大值为【答案】ACD【分析】根据正余弦定理，三角形内角关系，三角形面积公式结合基本不等式求最值即可得出结论.【详解】解：因为，有正弦定理，得所以，又，所以，则，故A正确，B错误；所以，则，所以的外接圆半径为1，故C正确；由余弦定理，所以，又，当且仅当时，等号成立，所以，则面积的最大值为，故D正确.故选：ACD.31．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（

）A． B．若面积为，则周长的最小值为12C．当，时， D．若，，则面积为【答案】ABD【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.【详解】因为，由题意可得，整理得，由正弦定理边角互化得，又由余弦定理得，所以，A正确；当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，B正确；由当，时，，解得，C错误；由，得，由正弦定理得解得，又因为，所以，D正确；故选：ABD.32．的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（

）A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则【答案】ABD【分析】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确；对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、故选：ABD.33．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（

）A． B．C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ABD【分析】利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，可判断A;结合锐角，可判断B;利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C;将化简为，结合A的范围，利用对勾函数单调性，可判断D.【详解】由题意得在锐角中，，∴由正弦定理可得，又，故，即，，为锐角，，即，故选项A正确；在锐角中，，，故B正确；由，故C错误；,又，，令，则，由对勾函数性质可知，在时单调递增，，，故，故D正确．故选：．三、填空题34．中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．【答案】【分析】已知式变形后由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，然后由余弦定理求得，再由面积公式计算．【详解】∵，，∴，∴，展开得，∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故，∴，∴，，所以的面积.故答案为：．35．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinA=2csinB，cosB=，b=3，则△ABC的面积为________．【答案】##【分析】由已知结合正弦定理可得，然后利用余弦定理可求，.再由同角关系求，并利用三角形的面积公式求三角形面积．【详解】由结合正弦定理得，，又，所以，因为，，由余弦定理可得，，解得，，，因为，所以，则的面积．故答案为：.36．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】通过正弦定理，边化角，找到角度间的联系即可.【详解】由及正弦定理，得所以或，故是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形37．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为______.【答案】【分析】根据正弦定理和余弦定理得到，解得答案.【详解】根据余弦定理和正弦定理得到：，即，故，，故.故答案为：38．已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.【答案】【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得，从而可表示出的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案.【详解】由题意在中，满足，即,即，而，故，又,则，同理，故，又,故，则，故答案为：39．在中，内角、、的对边分别是、、，且.若是边的中点，且，则面积的最大值为______.【答案】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得角，分析可知，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得.，.是边的中点，，，所以，即，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，.故答案为：.四、解答题(共0分)40．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c=4，△ABC的面积为，求a，b．【答案】(1)(2)a=b=4【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式和正弦定理可求出结果；（2）根据三角形面积得，再结合余弦定理可求出结果.【详解】（1）依题意由得，根据正弦定理得，则，则，所以，由于，所以，所以，所以，则，由于，则．（2）由题意：，所以ab=16．又由余弦定理以及c=4，得，所以，所以，所以a=b=4．41．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；(2)若，求b的最小值．【答案】(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简可得，从而可证△ABC为等腰三角形；（2）已知条件由正、余弦定理角化边，可得，从而得到，进而可求得b的最小值．【详解】（1）因为，，所以由余弦定理可得，即，整理得，即，所以△ABC为等腰三角形．（2）因为，所以由正弦定理可得，所以由余弦定理可得，又，所以，所以，当时，取最小值，且最小值为．42．在锐角中，角所对的边分别是，满足.(1)求证：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正余弦定理化简得，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得，得证；（2）弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C的范围，然后换元，利用函数单调性求范围.【详解】（1）由及余弦定理得，由正弦定理得：，又，，，，都是锐角，，即.（2）令，由（1）得，在锐角三角形中，，即，解得，，令，，又函数在上单调递增，，故的取值范围是.43．记的内角A，B，C的对边分别为a