专题11 相似三角形的六大基本模型专项训练(解析版)（重点突围）

专题11相似三角形的六大基本模型专项训练考点一（双）A字型相似考点二（双）8字型相似考点三母子型相似考点四旋转相似考点五K字型相似考点六三角形内接矩形/正方形考点一（双）A字型相似例题：（2022·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，，．则下列说法不正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用，根据平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质进行判断即可．【详解】解：∵，∴，故选项A正确，不符合题意；∵，∴，∴，∴，∴，故选项B，D正确，不符合题意；∵，∴，故选项C错误，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2021·安徽·安庆市石化第一中学九年级期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．【详解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．【详解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．4．（2022·山东济南·九年级期中）如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．(1)求路灯B的高度；(2)若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）【答案】(1)米(2)见解析【分析】（1）通过证明即可求出路灯的高度；（2）连接PM并延长，交BO于点F．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵米，米，米，∴米，米，∴，解得：．∴路灯高米．（2）如图所示：【点睛】本题主要考查了用相似三角形测高，解题的关键是根据题意和图形找出相似三角形，根据对应边成比例列出方程求解．5．（2022·湖南·宁远县水市镇中学九年级阶段练习）如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．考点二（双）8字型相似例题：（2021·海南海口·九年级期末）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】A【分析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，，AB=CD∵E为CD的中点，∴DE：CD=1：2∵AB//DE∽，：：：4，EF:AF=1:2设，则，：：2，：：：2，，，是平行四边形ABCD的对角线，，，：：：5．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用．【变式训练】1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图，四边形和都是平行四边形，点F在边上，且，连接分别交于点G，H，设与面积的比为k，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，连接，证明，可得，，设，则，可得，设，则，，，，从而可得答案．【详解】解：如图，连接，∵四边形和都是平行四边形，∴，∴，∴，，∵，设，则，∴，∴，设，则，∴，∴，由，∴，∴，∴故选A．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解本题的关键．2．（2022·湖南岳阳·九年级期中）如图，在菱形中，，点E在边上，连接交的延长线于点F，若，则的长为_____．【答案】4【分析】根据菱形的性质知，则，根据对应边成比例可得答案．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，说明是解题的关键．3．（2022·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则＝_____．【答案】2【分析】根据平行四边形中，可得，，再根据，得出，从而得出，再利用，求出的值．【详解】解：在平行四边形中，∵．∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2021·重庆市大学城第一中学校八年级期中）如图，在中，是上一点，，点是的中点，若，则的值为___________【答案】##【分析】过点F作交于点G，根据点是的中点，求出，设为，则为，根据，得到，，由相似三角形的性质可得，，进而表示出的长，求出的值，即可求解．【详解】解：如图，过点F作交于点G，∵点是的中点，∴，∵，∴，设为，则为，∵，∴，，∴，，∴，∴∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的值．5．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．【答案】【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．6．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．【答案】2【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．【详解】解：延长CF、BA交于M，∵E是CD的中点，F是AE的中点，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．7．（2021·重庆·九年级期末）如图与交于，且．（1）求证：∽．（2）若，，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可；（2）因为∽，根据相似三角形的性质可知，代入数据解答即可．【详解】证明：（1），，∽；（2）∽，，，，，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．8．（2021·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，∵点E为DC的中点，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，∴，，∴，，∴，∵的面积为2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级开学考试）

如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．

（1）当时，如图，延长，交于点，①的长为________；②求证：．（2）当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为________；________；（3）当时，求的正弦值．【答案】（1）①12；②见解析；（2），；（3）或．【分析】（1）①根据△ABE∽△FCE，可得，即＝1，进而得到CF的长；②根据四边形ABCD为正方形，可得∠F＝∠BAF，由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，即可得出∠F＝∠MAF，进而得到AM＝FM．（2）根据∠CAE＝∠CFE，可得FC＝AC，再根据等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，即可得到CF的长为12；由折叠可得，BE＝B'E，再根据等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，即可得出；（3）分两种情况讨论：①点E在线段BC上，②点E在BC的延长线上，分别设DM＝x，根据Rt△ADM中，AM2＝AD2＋DM2，得到关于x的方程，求得x的值，最后根据进行计算即可．【详解】解：①如图，由可得：，∴，即，∴的长为．故答案为：．②证明：∵四边形为正方形，∴，∴，由折叠可知：，∴，∴．（2）如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，∴∠CAE＝∠CFE，∴FC＝AC，又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，∴CF＝12，即CF的长为12，由折叠可得，BE＝B'E，∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，∴；故答案为：；；①当点在线段上时，如图3，的延长线交于点，由可得：，∴，即，∴，由②可知．设，则，则，在中，，即，解得：，则，∴．②当点在的延长线上时，如图4由可得：，∴，即，∴，则，设，则，在中，，即，解得：，则，∴．综上所述：当时，的正弦值为或．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题（3）的关键是运用分类讨论思想，依据勾股定理列方程进行计算求解，解题时注意分类思想与方程思想的运用．考点三母子型相似例题：（2021·广西·百色市田阳区第五初级中学九年级期中）已知：如图，中，，平分．(1)求证：；(2)试说明．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据，平分可以求出，然后证明出；（2）证得与相似，再根据相似三角形的对应边成比例列式整理即可得证．【详解】（1）证明：∵，平分，∴，∴；（2）解：在和中，，∴，∴，即，∵∴．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，掌握三角形判定方法是解决问题的关键．【变式训练】1．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．(1)求证：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)4．【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）证明：如图，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如图，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．3．（2021·安徽滁州·九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．4．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）[感知]如图①所示，在等腰中，，AD平分，易得（不需要证明）(1)[探究]如图②所示，李丽同学将图①的等腰改为任意，AD平分，他通过观察、测量，猜想仍然成立，为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法：方法1：过点D分别作于点E，于点F，利用与的面积比证明结论．方法2：过点B作交AD延长线于点E，利用与相似证明结论．请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法完成证明．(2)[应用]如图③所示，在中，，，，AD平分．若点E在边AB上，，CE交AD于点F，则______．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法1：如图2-1所示，过点D分别作于点E，于点F，根据角平分线的性质得到，设的边边上的高为h，则，，据此证明即可；方法2：如图2-2所示，过点B作交AD延长线于点E，证明，得到，再证明，得到，即可证明；（2）由（1）的结论可知，如图所示，过点D作交于H，由平行线分线段成比例定理得到，，则，求出，进而求出，即可得到答案．【详解】（1）解：方法1：如图2-1所示，过点D分别作于点E，于点F，∵平分，∴，设的边边上的高为h，∵，，∴，∴方法2：如图2-2所示，过点B作交AD延长线于点E，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴由（1）的结论可知，如图所示，过点D作交于H，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．考点四旋转相似例题：（2022·吉林长春·九年级期末）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．【探究】求证：．【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．(1)的值为______．(2)若，则MN的长为______．【答案】(1)8(2)【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；（2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案．(1)∵△ABC为等腰直角三角形，，∴，同理，，∵，，∴，∴；(2)（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：8；（2）∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．【变式训练】1．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．（1）①求证：；②若，求的长；（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【分析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论；②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出结论；【详解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋转知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE=2，在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋转知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用．2．（2022·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在矩形中，已知．，点E、F分别是、的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当时，＝；②当时，＝；(2)拓展探究：将绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值；(3)问题解决：当旋转至A、F、E三点共线时，求线段的长（写出必要的解题过程）．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）①根据矩形中，．，，运用勾股定理得到，当时，根据E、F分别是、的中点，得到，，即可求得；②当时，由，得到；（2）连接，根据旋转性质得到，结合，推出，推出；（3）根据，求出，根据，得到，当点F在线段上时，结合，得到，得到；当点F在线段延长线上时，得到，得到．【详解】（1）解：（1）①当时，见题干图1，∵矩形中，．，，∴，∵点E、F分别是、的中点，∴是的中位线，∴，，∴，故答案为：；②当时，如图1，∵，∴，故答案为：；（2）如图2，连接，由旋转知，，∵，∴，∴；（3）A、F、E三点共线时，，∵，，∴，∵，∴，当点F在线段上时，如图3，∵，∴，∴；当点F在线段延长线上时，如图4，，∴；故的长度为或．【点睛】本题主要考查了四边形和三角形旋转的综合．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形．注意分类讨论．考点五K字型相似例题：（2022·陕西西安·九年级期中）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使．(1)求证：；(2)当时，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）由得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，从而可得结论；（2）作于点D，则，由，证明，即可根据“相似三角形的对应边成比例”求出的值．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如图，，作于点D，，则，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴，而，∴．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．【变式训练】1．（2021·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____．【答案】3．【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．2．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论；（2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD，设，则，∴经检验：是原方程的解，所以三角形的边长为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）结论仍然成立，理由如下，，又，，，设，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：当时，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如图3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如图4图5图6，连接EF．在中，，，，如图4，当E在线段AC上时，在中，，，根据勾股定理得，，，或舍如图5，当E在AC延长线上时，在中，，，根据勾股定理得，，，，或舍，③如图6，当E在CA延长线上时，在中，，，根据勾股定理得，，，，或（舍），综上：或．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．考点六三角形内接矩形/正方形例题：（2022·黑龙江大庆·八年级期中）如图，有一块三角形土地，它的底边m，高m，某单位要沿底边BC建一座是矩形的大楼，且使矩形的两个端点D、G分别在AB、AC上，当这座大楼的地基面积为1875时，求这个矩形沿BC边所占的EF的长．【答案】当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米【分析】设DE的长为x，先证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得，得，再根据面积列出，求出x即可．【详解】解：设DE的长为x，∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DG∴，∴，∴，∴矩形DEFG面积为：，解得：x＝30或50，EF＝DG＝62.5或37.5．∴当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是理清题意正确地找到相似三角形．【变式训练】1．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．【答案】##4.8【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．2．（2022·上海嘉定·九年级期中）如图，已知在中，边，高，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，那么这个正方形的边长等于___________．【答案】2【分析】利用正方形的性质可知，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形是正方形，，，，，，，又，，，，，即，设，则，，解得：，，这个正方形的边长为2，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．3．（2021·广西·百色市田阳区第五初级中学九年级期中）如图，是一块三角形的铁皮，长为，边上的高长为，要将它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边在上，其余两个顶点E，H分别在上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的长和宽．【答案】长为，宽为【分析】设矩形的长为，的高为h，再判定，进而利用相似三角形的性质可得，代入数据可得，表示出的面积，再根据矩形的面积是三角形面积的一半可得，解方程即可．【详解】解：设矩形的长为，的高为h，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，即：，，∴矩形宽为，∵，∴，即，解得：，∴，∴这个矩形的长为，宽为．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和解一元二次方程，关键是掌握相似三角形对应边成比例．4．（2021·全国·九年级课时练习）一块直