云南省牟定县第一高级中学2022届高三上学期期末考试数学（理）试题

2021~2022学年上学期期末教育学业质量监测高中三年级数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知曲线C：，则“”是“曲线C是椭圆”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．若x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A． B．6 C．8 D．95．若样本数据，，…，的方差为32，则数据，，…，的方差为（）A．16 B．8 C．13 D．56．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下（，）个圆环所需的最少移动次数，若，且，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13 B．15 C．16 D．297．已知，，，则（）A． B． C． D．8．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H―H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C―H键长）均相等，任意两个C―H键之间的夹角（键角）均相等且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）A． B． C． D．9．已知函数，现给出下列四个说法：①是周期函数；②有无数个零点；③是奇函数；④．其中所有正确说法的序号为（）A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④10．已知奇函数在上的最大值为，则（）A．或3 B．或2 C．2 D．311．已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且，则的最小值为（）A．16 B．12 C．5 D．412．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在等比数列中，，则的公比______．14．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，若该圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为______．15．如图，杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》.它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.由此可得图中第9行从左到右数第5个数是______，第9行排在奇数位置的所有数字之和为______．（本题第一空2分，第二空3分）16．已知双曲线W：（，）的左焦点为，直线l：与W的左、右两支分别交于A，B两点，与y轴交于C点，O是坐标原点．若，则W的离心率为______．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求外接圆面积的最小值．18．（12分）某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组代表参加表彰会．（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，是等边三角形．（1）证明：平面平面PCD．（2）求二面角的正弦值．20．（12分）已知函数，．（1）求的极值．（2）若，证明：当时，．21．（12分）已知抛物线：，：，点在上，且不与坐标原点O重合，过点M作的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为，，．（1）当时，求的值；（2）当点M在上运动时，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）在直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出椭圆C的一个参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知P是椭圆C上一点，Q是直线l上一点，求的最小值．23．［选修4-5：不等式选讲］（10分）已知函数．（1）画出的图象；（2）求不等式的解集．2021~2022学年上学期期末教育学业质量监测高中三年级数学试卷参考答案（理科）1．D因为，，所以．2．B由，得，故z在复平面内所对应的点位于第二象限．3．C若曲线C是椭圆，则解得，且，所以“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．4．D画出可行域（图略）知，当经过点时，z取得最大值，且最大值为9．5．B因为样本数据，，…，的方差为32，所以数据，，…，的方差为．6．B由题可知，，，，，．7．C因为，，所以．又，所以，则，则．故．8．A设，则由余弦定理知，，解得，故该四面体的棱长均为．该四面体底面外接圆的半径，高．故该四面体的体积为．9．A易知不是周期函数，故①不正确．由于，故②正确；，故③正确；，故④不正确．10．B因为是奇函数，所以，解得，即．当时，函数在上单调递增，则，解得．当时，函数在上单调递减，则，解得．11．C如图，延长AC到D，使得．因为，所以点P在直线BD上．取线段AC的中点为O，连接OP，则．显然当时，取得最小值，且最小值为3，所以．12．A等价于．令函数，则，故是增函数．等价于，即．令函数，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故实数a的取值范围为．13．-3或6由题可知，，解得或6．14．6√3π设该圆锥的底面半径为r，则它的高为，母线长为，则它的体积，解得，故它的侧面积．15．126；256由题可知，图中第9行从左到右数第5个数是，排在奇数位置的所有数字之和为．16．由题可知，，则．设，则，解得，故A是CF的中点，则．设W的右焦点为，在中，由余弦定理知，，解得．由双曲线定义知，，则W的离心率．17．解：（1）因为，所以，解得或（舍去）．又为锐角三角形，所以．（2）因为，当且仅当时，等号成立，所以．外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为9π．18．解：（1）从这6人中随机选出2人，共有种选法；其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有种。故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为．（2）由题可知，X可能的取值为5，6，7，8，，，，故X的分布列为X5678P．19．（1）证明：设，因为是等边三角形，且，所以O是BD的中点，则．又，所以，所以，即．又平面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAD．因为平面PCD，所以平面平面PCD．（2）解：以O为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，，，，，，．…8分设平面PBC的法向量，则令，得．设平面PCD的法向量为，则令，得．，故二面角的正弦值为．20．（1）解：因为，所以．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故当时，取得极大值，且极大值为-1，无极小值．（2）证明：因为，所以．令，则．令，则恒成立，所以在上单调递减．又，，所以，．当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减，故当时，．21．解：（1）因为，所以．设过点M并与相切的直线的方程为．联立方程组整理得，则．由题可知，，即方程的两根，故．（2）因为，所以可设过点M并与相切的直线的方程为．联立方程组整理得，则．由题可知，，．…8分又，所以．当时，，