2022年江西省上饶市高考文科数学一模试卷及答案解析

2022年江西省上饶市高考文科数学一模试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合加=04-*<0},N={x|l〈x<6,xGZ）,则MCN=（）

A.{2,3,4,5}B.{4,5,6）C.{4,5}D.⑸

2.（5分）已知复数z=2-2i,5是z的共粗复数，则z・5=（）

A.2V2B.8C.4+4ZD.4-4z

1

3.（5分）已知4=60,,Z?=O.72022,c=logQ2i则（）

22022,

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

4.（5分）某学校对高三年级500名学生进行系统抽样，编号分别为001,002,500,

若样本相邻的两个编号为031,056,则样本中编号最大的为（）

A.479B.480C.481D.482

5.（5分）/>2021是/>2022的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

%-y+1>0

6.（5分）已知实数x,y满足2x-y-2W0,则z=2x-3y的最小值为（）

.%4-y-1>0

A.3B.-3C.-6D.-7

7.（5分）△ABC为直角三角形，ZB=60°,ZA=90°,则以A,3为焦点且过点。的椭

圆的离心率为（）

A.立1

B.-C.V3-1D.2-V3

22

8.（5分）设等比数列{。"}满足。1+。3=20,42+44=10,则使“1加2・。3一一・。八最大的〃为（）

A.4B.5C.4或5D.6

9.（5分）已知函数f（%）=acos2x+V5a-2a+b在％E[0,身上的图象如图所示,

则”，b的值分别为（）

第1页共24页

3

A.。=2，b=\B.。=2,b=3C.a=-2,b=-5D.a=-^b=-2

10.（5分）已知菱形ABC。中，满足AB=8,AB-AC=32,若点G在线段BO上，则0・晶

的最小值是（）

A.-12B.2C.0D.-4

11.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）

他视图

125

A.200TTB.lOOiiC.---nD.50n

2

12.（5分）已知不等式（依+2%）FVx+1恰有2个整数解，求实数攵的取值范围（）

3232

A.—<fc<—B.—<k<—

4e23e4e23e

4343

C.--<k<--D.—T<k<-T

5e34ez5e34e2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知”，〃均为正数且满足a+33=2,则三+；的最小值为

ab

14.（5分）已知数列｛〃”｝是等差数列，«5=3,则S9=.

15.（5分）已知平面向量2,b,1不共线且两两所成的角相等，而=网=而=2,则J+b+Kl

第2页共24页

16.（5分）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从

双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，

一个光学装置由有公共焦点为、尸2的椭圆「与双曲线。构成，现一光线从左焦点Fi发

出，依次经Q与「反射，又回到了点为，历时3秒；若将装置中的。去掉，如图②，此

光线从点F1发出，经「两次反射后又回到了点历时f秒：已知「与Q的离心率之比

为2：5,则，=.

三、解答题：（共70分）

17.电影《长津湖》让年轻人重新了解那一段历史，见证中国人民爱国团结、不畏强权的钢

铁意志，自上映以来，已经打破了29项记录，现总票房已经有56.98亿，已经超越《战

狼2》，成为中国电影历史排名的第1名.某校高三年级10个班共360人，其中男生240

名，女生120名，现对学生观看《长津湖》情况进行问卷调查，各班观影男生人数记为A

组，各班观影女生人数记为8组，得到如图茎叶图.

（1）根据茎叶图完成2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为观看《长津湖》电影

与性别有关；

观影人数没观影人数合计

男生

女生

合计

（2）若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取6人参加座谈，并从参加座谈的

学生中随机抽取2位同学赠送电影票，求抽取的2位同学均为男生的概率.

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_____n(ad-bc)2_____

K2n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

A组B组

01234

6543111378

773220

213

18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且bsinB-asiib4=(V2Z?-c)sin

第4页共24页

(A+B).

(1)求A的大小；

(2)过点C作CD〃BA,在梯形ABC。中，BC=4,CD=3®NABC=120°,求AO

的长.

19.如图所示，在等腰梯形ABCQ中，AB//CD,BC=CD=2,CF=1,ZBCD=120°,

第5页共24页

四边形ACFE为矩形且满足AE，平面ABCD.

(1)证明：EFJ_平面BCF：

(2)若M是EF的中点，求点C到平面BFM的距离.

第6页共24页

20.已知抛物线E：/=2py(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求抛物线E的方程；

(2)直线/：>=代+1与抛物线E交于A、B两点,若以AB为直径的圆与x=6相切，求

实数人的值.

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21.已知函数/(x)—Inx+ax^+X.

(1)若a=l,求/(x)在P(1,7(D)处的切线方程；

(2)当OCxWe2时，g(x)=f(x)—a/-3+/有最小值2,求a的值.

第8页共24页

22.在直角坐标系xOy中，己知曲线Ci的参数方程为「一而丽（牛为参数），a>0.以坐

ly=tan（p

标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=acose.

（1）求曲线Ci的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）已知点M为曲线Ci的右焦点，点P在曲线C2上，且直线与曲线C2相切，若

1

sin/.PMO=求实数a的值.

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23.已知函数/(x)=|2x-a|-|2x+3|,g(x)=|x-2|.

(1)当a=l时，解不等式/(x)22：

(2)若f(x)Wg(x)在xC[O,1]时有解，求实数。的取值范围.

第10页共24页

2022年江西省上饶市高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.(5分)己知集合加={川4-》<0},/V={x|l<x<6,AGZ},则MAN=()

A.{2,3,4,5}B.{4,5,6}C.{4,5}D.⑸

解：集合M={x|4rV0}={小>4},

N={x\\<x<6,xGZ}={2,3,4,5},

AA/AN={5}.

故选：D.

2.（5分）已知复数z=2-2i,，是z的共辄复数，贝”吃=（

A.2V2B.8C.4+4/D.4-4/

解：复数z=2-2i,

则z吃=22+(-2)2=8,

故选：B.

1

3.(5分)已知4=60',b=OJ2022,c=log2i则（)

202022)

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

解：Va=60-7>6°=1,0<6=0.7")22<0.7°=1,c=1。92021<log202i1=0,

•\a>b>c.

故选：A.

4.（5分）某学校对高三年级500名学生进行系统抽样，编号分别为001,002,…，500,

若样本相邻的两个编号为031,056,则样本中编号最大的为（)

A.479B.480C.481D.482

解：•・•样本中相邻的两个编号分别为031,056,

•••样本数据组距为56-3匚25,则样本容量为簧=2。,

则对应的号码数x=6+25（n-1）,当〃=20时，工取得最大值为x=6+25X19=481,

故选：C.

5.(5分)/>2021是/>2022的()

第11页共24页

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：由“fAZOZl"='<一例五或无>同五”，

“/>2022"=>。<-&^下或%〉同万”，

而“xV-何无或x>V^位”="xV-例五或x>两五"，反之不成立.

.•.7>2021是7>2022的必要不充分条件条件.

故选:B.

%—y+1>0

6.（5分）已知实数天,y满足2x-y-240,则z=2x-3y的最小值为（）

.%+y-1>0

A.3B.-3C.-6D.-7

fx—y4-1>0

解：画出不等式组2x—y—240表示的平面区域，如图所示：

（.%4-y-1>0

目标函数z=2x-3y可化为y=|x-^z,

平移目标函数知，当目标函数过点A时，

直线产|x-*在y轴上的截距最大，此时Z取得最小值，

由忆"Q、。，解得A⑶4）,

所以z的最小值为Z,"加=2X3-3X4=-6.

故选：C.

7.（5分）△ABC为直角三角形，ZB=60°,ZA=90°,则以A,B为焦点且过点C的椭

圆的离心率为（）

V31L

A.—B.-C.V3-1D.2-V3

22

第12页共24页

解：由题意可知△ABC为直角三角形，NB=60°,ZA=90°,设：AB=2c,CB=4c,

AC=2在，

由椭圆的定义可知：4c+2bc=2a,

则椭圆的离心率：e=[=2J点=2-VT

故选：D.

8.（5分）设等比数列｛“"｝满足41+43=20,42+44=10,则使・,••””最大的〃为（）

A.4B.5C.4或5D.6

解：根据题意，设等比数列｛“”｝的公比为q,

若41+43=20,42+“4=10,则q=。2兽4=则有41+43=41（1+/）—20,解可得m

Q]十Q3/

=16,

n1=5,?

故an=a\q~2',

则有…•a〃=24+3++（5〃）=2（”,

1,n（9-n）19181—

又由------=一一（〃一5）一+丁，而及WN,

2228

当且仅当〃=4或5时,axaiavan的最大值为210.

故选：C.

9.（5分）已知函数/（%）=acos2%+V^as讥2%-2。+b在无€[0,刍上的图象如图所示，

则a,b的值分别为（）

3

A.a=2,b=\B.a=2,b=3C.a=-2,b=-5D.a=-^b=-2

解：由f(x)=acos2x+y/3asin2x—2a+b=2asin(2尤+5)-2a+b,

_TC-f—

可得f(~)—«COSTI+v3tzsinn-2a+b=-3a+b=l,f(0)=«cos04-v3asin0-2a+b=-

a+b<0,

第13页共24页

又因为的最小值为-5,

当a<0时有2a-2a+匕=-5,得a=-2,b=-5：

当a>0时有-2a-2a+6=-5,得a=6,6=19,与-〃+8<0不符.

故选：C.

10.(5分)已知菱形ABCD中，满足AB=8,AB-AC=32,若点G在线段30上，则易・6

的最小值是()

A.-12B.2C.0D.-4

解：因为AB=8,AB-AC=\AB\■\AC\cos^LBAC=32,

所以8X|AC|cos/84C=32,

：.|AC|cosNBAC=4,

连接AC交8力于。，则。为AC,8。的中点，

|AC|=2|A0|,

所以21Aoicos/BAC=4=|AE|cos/BAO=2,①

又在RtZXABO中，\A0\=\AB\cosZBA0,②

1

由①②可得，COSNBAO=2，

所以/54。=60°,

即aABC为等边三角形，

以。为坐标原点，BD,AC所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，

故A(0,4),B(-4A/3,0),

设G(x,0),

故&=(-x,4),GB=(4V3-x,0),

所以&•法=(t,4)•(4V3-x,0)=-(4V3-x)x=-4gx+x2=(x-2>/3)2-

12,

所以当x=2百时，GA■晶有最小值为-12,

故选：A.

第14页共24页

11.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）

4

125

A.200irB.lOOnC.-----71D.50K

2

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：长、宽、高为5,3,4的长方体切去三个角;

设长方体的外接球的半径为R，

所以(2R)2=32+42+52=50,

整理得R2=苧;

故S麦=4•7T•苧=507r.

故选：D.

12.（5分）已知不等式（丘+2A）/<x+l恰有2个整数解，求实数攵的取值范围（）

3232

A.—<k<—B.―-<k<—

4e23e4e23e

4343

C.--<k<-TD.-7<fc<—7

5e34e25e34e2

解：W>0,

原不等式变形为kx+2k〈竽

第15页共24页

不等式h+2ZV笔恰有2个整数解，等价于函数/（X）=履+2k在g（x）=丧图象下

方的整数解恰有2个，

函数/（X）=kx+2k=k（x+2）的图象是恒过定点（-2,0）的直线,

函数g（X）=裳,则g'（幻=言

当(-8,0)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；当xe（0,+8）时，g'（%）

<0,函数g（x）单调递减，且g（0）=1,

作出函数/（X）与g（X）的图象如图所示

y

由图可知，当AW0时，符合题意的整数解有无数个,

">0,

从图中可看出必有一个整数解是x=0,则只需另一整数解为x=l,且当x=2时，f（2）

>g⑵，

32

/⑴⑴即俨4解得分叁

/(2)Ng(2)'

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

3（5分）已知”，〃均为正数且满足.=2,则打a最小值为」

解：因为〃，人均为正数且满足〃+3。=2,

此+/♦!+*.(10+4+半)斗10+2曰)=8,

第16页共24页

3b3a1I

当且仅当一=二且a+3b=2,即公之，〃=2时取等号.

abzN

故答案为：8.

14.（5分）已知数列｛即｝是等差数列，公=3,则S9=27.

解：因为数列｛”“｝是等差数列，45=3,

则59=9凹芦）=94/5=27.

故答案为：27.

15.（5分）已知平面向量b,1不共线且两两所成的角相等，向=闻=必=2,则J+b+R

=0・

解：•••平面向量a,b,K不共线且两两所成的角相等，

.,.a,b,"两两夹角为120。，而而=|m=白=2,

.".|a+b+c|=Ja2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-c=412+24cos120°=0,

故答案为：0.

16.（5分）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点：光线从

双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，

一个光学装置由有公共焦点尸1、F2的椭圆r与双曲线Q构成，现一光线从左焦点Fl发

出，依次经Q与r反射，又回到了点Fl,历时3秒；若将装置中的Q去掉，如图②，此

光线从点为发出，经「两次反射后又回到了点力，历时f秒；已知「与。的离心率之比

解：设|FIF2|=2C,设椭圆的长轴长为2ai,双曲线的实轴长为2s,光速为v,

而「与。的离心率之比为2：5,

C

-27

即帚=二，即口2=^。1，

—5。

第17页共24页

在图(1)中，|BFi|+|B/勿=2m,|AF2|TAFi|=2a2,

两式相减得：\BF}\+\BF2\-\AF2\+\AF\\=2a\-2a2,

即例|+|AB|+|AQ|=2m-2a2,

即△A8F1的周长为2ai-2a2,

在图(2)中，△CF1D的周长为|C尸i|+|C尸2|+|£>Fi|+|Z>F2|=4m,

由题意可知:3V=2ai-2a2,tv—4ai,

则2=2aL2a2__3_

—,

t4al10

故t=10(秒),

故答案为：10.

三、解答题：（共70分）

17.电影《长津湖》让年轻人重新了解那一段历史，见证中国人民爱国团结、不畏强权的钢

铁意志，自上映以来，已经打破了29项记录，现总票房已经有56.98亿，已经超越《战

狼2》，成为中国电影历史排名的第1名.某校高三年级10个班共360人，其中男生240

名，女生120名，现对学生观看《长津湖》情况进行问卷调查，各班观影男生人数记为A

组，各班观影女生人数记为B组，得到如图茎叶图.

（1）根据茎叶图完成2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为观看《长津湖》电影

与性别有关;

观影人数没观影人数合计

男生

女生

合计

（2）若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取6人参加座谈，并从参加座谈的

学生中随机抽取2位同学赠送电影票，求抽取的2位同学均为男生的概率.

参考数据

P（产》加）0.050.0250.010.005

ko3.8415.0246.6357.879

2

iz2—_____“(ad-be)________„.L,,y

K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n-a+b+c+d-

第18页共24页

A组B组

01234

6543111378

773220

213

解：(1)2X2列联表如下：

观影没观影合计

男生22020240

女生10020120

合计32040360

..„2_360x(220x20—100x20)2_

,K-240x120x320x40-)。，八6。八，

没有99%的把握认为观看《长津湖》电影与性别有关.

(2)选出的女生人数为6xj|§=2,选出的男生人数为6x^=4,

设选出的2个女生为A,B,选出的4个男生为a,b,c,d,共有(A,B),(A,a),(A,

b),(A,c),

(4,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(〃，b),(a,c),(a,d),Qb,c),(A,

d),(c,d)15种情况，其中2位同学均为男生的有6种，

故抽取的2位同学均为男生的概率？=假=|.

18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为b,c.且bsinB-4sirkA=(V2Z?-c)sin

(A+8).

(1)求A的大小；

(2)过点。作CD〃区4,在梯形45CQ中，BC=4,CD=3®ZABC=120°,求AO

的长.

解：(1)因为加in8-asinA=(V2Z?-c)sin(A+B)=(V2Z?-c)sinC,

所以/?2+c2-〃2=立be,

222

-rzsAb+c-ay/2bc41

可得8sA=2bc=番=又，

因为AC(0°,180°),

第19页共24页

所以A=45°.

(2)因为在aABC中，A=45°，NABC=120°，BC=4,

_ACBCAC4「

由正弦定理------=———可得-7?=力，解得AC=2通,

sin乙ABCsin^CAB遑v2

22

又在△ACQ中，8=3次，ZDCA=ZCAB=45°,

所以由余弦定理可得AD=y/AC2+CD2-2AC-CD-cos^ACD=

19.如图所示，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,BC=CD=2,CF=1,ZBCD=120°,

四边形ACFE为矩形且满足平面ABCD.

(1)证明：EF_L平面BCF；

(2)若M是EF的中点，求点C到平面的距离.

解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，BC=CD=2,ZBCD=120°,

则NA£>C=120°,AD=2,

由余弦定理得4C2=AO2+C£>2-2A£>・C0COS12O°=12,且NC4D=/ACE>=30°,

.".ZACB^ZBCD-ZACD=90°,：.AC±BC,

♦.,四边形ACFE是矩形，则AE〃C尸，

平面ABCD,贝ljCF_L平面ABCD,

；ACu平面ABC。，：.ACYCF,

第20页共24页

,：CFCiBC=C,.*.AC±¥ffiBCF,

'CAC//EF,AEFl¥ffiBCF.

(2)V£F±¥ffiBCF,8Fu平面BCF,：.EFVBF,

；CF_L平面ABC。，BCu平面ABC。，J.CF1.BC,

:.BF=\ICF2+BC2=V5,MF=^EF=^AC=V3,

11/TF

，SABFM=5xMFxFF=ixV3xV5=

11

S&BCF=2xBCxCF=2X2xl=l,

点M到面BCF的距离为MF=V3,设点C到平面BFM的距离为h,

11

VVM-BCF=Vc-BFMyxS^BCFXMF=-XS&BFMXh,

•.S^BCFXMF_1x73_2/5

S"FM丁

20.已知抛物线氏/=2py(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求抛物线E的方程：

(2)直线/：y=H+l与抛物线E交于4、B两点，若以48为直径的圆与x=6相切，求

实数&的值.

解：(1)因为抛物线的焦点到准线的距离为2,所以p=2,

所以抛物线E的方程为/=4.y；

V—kx1

{%2_4y，整理得x2-46-4=0,

△=16Z?+I6>0,XI+X2=4匕xix2=-4,

所以|4B|=11+k2y/(xi+久2尸一4/工2=4k2+4,

设线段AB的中点M(2亿2^+1),

又因为以AB为直径的圆与x=6相切，

第21页共24页

所以|6-2同=把卢，即|3-川=好+1,

当3-Z20时，必+%-2=0,解得k=-2或k=l,

当3-上<0时，必-4+4=0,无解，

所以k=-2或-1.

21.已知函数/(%)=lnx+aj?-^\.

(1)若〃=1,求/(x)在尸(1,/(1))处的切线方程；

(2)当OVxWe?时，g(x)=f(x)-ax2-3+，有最小值2,求a的值.

解：(1)/(%)=/"+/+1的导数为/(x)=］+2x,

可得/(x)在P(1,7(I))处的切线的斜率为3,

且切点为(1,2),

所以切线的方程为y-2=3(x-I),即3x-y-1=0；

(2)g(x)=/(x)—ax2-3+=lnx-2+p

(.)_工_巴=0

g一久/一好'

当aWO时，g'(x)>0,g(x)在(0,+°°)递增，则g(x)在(0,e?］无最小值；

当a>0时，g(x)在(a,+8)递增，在(0,a)递减，

若a>),可得g(x)在(0,eF单调递减，可得g(?)取得最小值，即2-2+/=2,

解得a-2e2；

若0<aWe2时，g(x)在(0,a)递减，在(a,e?］递增，可得g(x)在x=a处取得最

小值，即切>2+1=2,

解得a=e3,不成立.

综上可得，a—2e2.

22.在直角坐标系xOy中，已知曲线Ci的参数方程为“一哂(中为参数)，a>0.以坐

ly=tamp

标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=acose.

(1)求曲线。的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知点M为曲线Ci的右焦点，点P在曲线C2上，且直线2例与曲线C2相切，若

1

sinz.PMO=i,求实数a的值.

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