高中四大名校自主招生考试试卷附答案(中考、理科数学竞赛必备)

FILENAME长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案(中考、理科数学竞赛必备).doc 第14页长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷注意：（1)试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟。（2)请把解答写在答题卷的对应题次上,做在试题卷上无效.一、选择题（本题有6小题,每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内。1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（)(A）直线y=–x上（B）抛物线y=上(C)直线y=x上(D)双曲线xy=1上2．以等速度行驶的城际列车,若将速度提高25％，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是(）(A）35（B）30(C）25(D）203．若－1＜＜0，则一定是（）第4题(A）最小，最大（B)最小，最大（C)最小，a最大(D)最小，最大4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）（A)AE⊥AF（B)EF：AF=：1（C)AF2=FH·FE（D）FB：FC=HB：EC5．在△ABC中,点D，E分别在AB,AC上，且CD与BE相交于点F,已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）(A)22(B)24(D)36（D）446．某医院内科病房有护士15人,每2人一班,轮流值班，每8小时换班一次,某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（)（A）30（B)35（C）56（D）448二、填空题（本题有6个小题，每小题5分,共30分）7．若4sin2A–4sinAcosA+cos2A=0,则tanA=(第9题)8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为4、2,则通过A,B，C三点的拋物线对应的函数关系式是。(第11题）10．桌面上有大小两颗球,相互靠在一起。已知大球的半径为20cm,小球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm。11．物质A与物质B分别由点A（2，0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是.第12题12．设……为一群圆,其作法如下:是半径为a的圆，在的圆内作四个相等的圆（如图),每个圆和圆都内切，且相邻的两个圆均外切,再在每一个圆中，用同样的方法作四个相等的圆，依此类推作出……，则(1）圆的半径长等于(用a表示）;(2)圆的半径为(k为正整数，用a表示,不必证明)三、解答题(本题有4个小题,共60分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.第13题13。（本小题满分12分)如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点,OC∥AB。（1）求证AD=AE；(2)若OC=AB=4，求△BCE的面积。14.（本题满分14分)已知抛物线y=x2+2px+2p–2的顶点为M，(1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点；(2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B,求实数p的值使△ABM面积达到最小。15（本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励(元/每人)15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时,A队共积19分。(1)试判断A队胜、平、负各几场？(2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元,设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W的最大值.（第16题）16(本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x－1经过这两个顶点中的一个.（1)求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标;（2)以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2＋bx＋c的顶点是P点。①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由。2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分)1．D2．D3．A4．C5．D6．B二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．.8．2.9．y=–x2–x+。10．20。11．(–，–2）.12．（1)圆的半径；（2)圆的半径(–1)n–1a三、解答题13。（本小题满分12分）（1)证1。∵AD是圆O的直径，点C在圆O上，∴∠ACD=90，即AC⊥DE。又∵OC∥AE，O为AD中点,∴AD=AE.4分证2∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC=AD，∴AD=AE.4分（2)由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点,∴AB=BE=4，∵AD=AE,∴BC=BE=4，4分连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE=90，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4,∴所求面积为4.4分14。（本题满分14分）解:(1）∵⊿=4p2–8p+8=4（p–1）2+4>0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点。4分（2)设A(x1，0）,B(x2,0)，则｜AB｜2=｜x2–x1｜2=[(x1+x2)2–4x1x2］2=[4p2–8p+8]2=［4（p–1)2+4]2,∴|AB|=2.5分又设顶点M（a，b）,由y=(x–p)2–（p–1)2–1.得b=–(p–1）2–1。当p=1时,|b｜及|AB｜均取最小，此时S△ABM=|AB|｜b｜取最小值1。5分15（本小题满分16分）解:（1)设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：4分依题意，知x≥0,y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数,∴解得：≤x≤,∴x可取4、5、64分∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7，z=1;当x=5时，y=4，z=3；当x=6时,y=1，z=5.4分（2)∵W=(1500+500）x+（700+500）y+500z=–600x+19300当x=4时，W最大,W最大值=–60×4+19300=16900（元)答略.4分16（本小题满分18分)解：（1)如图，建立平面直有坐标系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2,设A（m0)（m〉0)，则有B(m＋30)；C（m＋32)，D（m2）;若C点过y=x－1；则2=（m＋3）－1，m=－1与m＞0不合；∴C点不过y=x－1;若点D过y=x－1，则2=m－1,m=2,∴A（2,0),B(5，0），C（5，2），D(2,2）；5分（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（3.50），由于y=ax2＋bx＋c过A（2，0）和B(5，0）两点,∴∴2分∴y=ax2－7ax＋10a（也可得:y=a(x－2）(x－5）=a（x2－7x＋10）=ax2－7ax＋10a）∴y=a(x－）2－a；∴抛物线顶点P（,－a)2分∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部，∴＜－a＜2，∴－＜a＜–.3分②设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F，设AF=n,n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线,∴CF=n＋2,DF=2－n;在RtDDCF中，∵DF2＋DC2=CF2；∴32＋(2－n)2=(n＋2)2,∴n=,∴F(2,)∴当PF∥AB时,P点纵坐标为；∴－a=，∴a=－；∴抛物线的解析式为：y=－x2＋x－53分抛物线与y轴的交点为Q（0,－5），又直线y=x－1与y轴交点（0,－1）；∴Q在直线y=x－1下方。3分2009年长郡中学高一招生数学试题（B）时间60分钟满分100分一。选择题：（本题有8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个符合题意的答案)1.下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色.若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是()黄黄红黄红绿绿黄红绿红绿黄绿红红绿黄黄绿红黄红黄绿A．B．C．D．2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x%B．1+2x％C．（1+x％）x％D．(2+x％)x％3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱，原因是（）A．a>bB．a〈bC．a=bD．与a和b的大小无关4．若D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6,DB=5,△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（)A．B．C．D．5．如图,AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50B．62C．65D．686．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a,右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于(）A．B．C．D．7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点，A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（)A．AB上B．BC上C．CD上D．DA上8．已知实数a满足，那么的值是（）A．2005B．2006C．2007D．2008二．填空题：（本题有8小题,每小题5分,共40分。）9．小明同学买了一包弹球，其中是绿色的，是黄色的，余下的是蓝色的。如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了（)个弹球10。已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形。则符合条件的点P共有(）个。11．不论m取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是(）．12．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中,每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2)红盒中的小球与白球不一样多；(3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是（)．13．在梯形ABCD中,AB∥CD，AC．BD相交于点O,若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1,△COD的面积为S2，则=（）14．已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B,使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k,则k的最小值为（）15．已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=（)16．如图5，已知在圆O中，直径MN=10,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及圆O上，并且∠POM=45°,则AB的长为（）三．解答题：（本题有2小题,每小题10分,满分20分.)17．甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训,甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达?18．如图,已知矩形ABCD,AD=2,DC=4，BN=2AM=2MN,P在CD上移动,AP与DM交于点E,PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值。2009年长郡中学高一招生数学试题（B）参考答案：一、1、C2、D3、A4、C5、A6、C7、A8、C二、9、9610、811、x+y=—112、黄、红、白．13、14、15、1249916、三、17．解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处,乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm。则解得a=60b=20∴至少需要（h)18、解：连结PM，设DP=x，则PC=4－x，∵AM//OP同理可求……（8分)因此………………（13分）当x=2时，上式等号成立。………（15分）师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题本卷满分150分考试时间120分钟题号一二三总分复核12345得分阅卷教师一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分面积与算式的结果相同的是………………【】2、下列命题中正确的个数有……………【】①实数不是有理数就是无理数；②a＜a＋a；③121的平方根是±11;④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A.1个B.2个C。3个 D.43、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠;乙旅行社告知:家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同,那么……………………【】A、甲比乙更优惠B、乙比甲更优惠C、甲与乙相同D、与原标价有关4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【】A、2πB、πC、D、45、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少有个,则等于……………【】A、36B、37C、38D、39二、填空题(每小题6分,共48分)1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过小时，两人相遇。2、若化简的结果为，则的取值范围是.3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位:分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是。笔试实践能力成长记录甲908395乙889095丙9088904、已知点是一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内的交点，点在轴的负半轴上，且（为坐标原点），则的面积为。5、如果多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值是.6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点,从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R,设BP=()，△BPQ与△CPR的面积之和为，把表示为的函数是。7、已知为方程的两实根，则.8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多道。三、解答题（本大题6小题，共72分）1、（10分）在中，，。的垂直平分线分别交、于、两点，连结，如果，求：的值.2、（12分)某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元.甲乙价格（万元／台）75每台日产量（个）10060⑴按该公司的要求，可以有几种购买方案？⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？3、（12分)如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中，.为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP,使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。4、（12分）如图所示等腰梯形中，∥，,对角线与交于，，点分别是的中点。求证：△是等边三角形。5、（12分)如右图，直线OB是一次函数的图像，点A的坐标是（0,2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。6、（14分）已知关于x的方程有两个正整数根（m

是整数）。△ABC的三边a、b、c满足，，。求：⑴m的值；⑵△ABC的面积。师大附中2011年高一自主招生考试数学试题参考答案一、1、B,2、B，3、B,4、C，5、B二、1、22、3、甲、乙4、5、6、7、78、20三1、有已知可得均为等腰直角三角形,计算得，在直角三角形中,。2、（1)设购买台甲机器,则,所以。即取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器;③购买2台甲机器，购4台乙机器。(2）按方案①，所需资金(万元）,日产量为（个）;按方案②，所需资金（万元），日产量为（个）;按方案③,所需资金为（万元），日产量为（个）.所以,选择方案②。3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN＝x，PN＝y，则面积S＝xy，①因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得,即．代入①,得，即．因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，当y＝3时,S＝12;当y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．此时，钢板的最大利用率是80％。4、连CS。∵ABCD是等腰梯形,且AC与BD相交于O，∴AO=BO,CO=DO。∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形。∵S是OD的中点，∴CS⊥DO。在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC。同理BP⊥AC。在Rt△BPC中，PQ=BC。又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC。∴SP=PQ=SQ.故△SPQ为等边三角形.5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2。设C1(）,则得，解得，得C1（）若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.设C2（）,则得，解得.得C2（）又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（）若此等腰三角形以OA为底边,则C4的纵坐标为1,从而其横坐标为，得C4（）。所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（）,（），（），C4（）6、（1）方程有两个实数根，则，解方程得，．由题意，得即故．（2）把代入两等式，化简得，，当时,．当时，、是方程的两根，而△＞0，由韦达定理得，＞0,＞0，则＞0、＞0．①，时,由于故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°,S△ABC＝．②,时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③，时，因＞，故能构成三角形．S△ABC＝综上，△ABC的面积为1或．2011年雅礼中学自主招生考试科学素养（数学）测试题命题人：李明利◆注意事项：1.本卷满分150分,考试时间120分钟；2。所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分.一、选择题(每小题5分，共30分。每小题均给出了A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）1、有一正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记6的对面的数字为，2的对面的数字为，那么的值为A．3 B．7 C．8 D．1111xyO2、11xyOyA11xyA11xyOA11xyOA11xyO票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格.下面给出四个图像（如图所示）则111xOA=2\＊GB3②=2\＊GB3②=1\＊GB3①=3\*GB3③］]\\=4\＊GB3④A．①反映了建议（2）,③反映了建议（1）B．①反映了建议（1），③反映了建议（2)C．②反映了建议(1），④反映了建议（2)D．④反映了建议（1)，②反映了建议（2）3、已知函数，并且是方程的两个根,则实数的大小关系可能是A．B．C．D．A．200４B．2006C．20085、以半圆的一条弦（非直径)为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若,且，则的长为A．B．C．D．46、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为A．B．C．D．二、填空题(每小题6分，共48分）7、若表示不超过的最大整数（如等），则_________________。8、在中，分别是上的点,，交于点，若,则四边形的面积为________。9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面,在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3,现任意抽取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是___________。10、已知抛物线经过点A(4，0）。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大,则D点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。11、三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点,其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________.12、已知点（1，3)在函数的图像上.正方形的边在轴上,点是对角线的中点,函数的图像又经过、两点，则点的横坐标为__________。13、按下列程序进行运算（如图)输入输入是乘以3减去2大于244停止否X规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。若，则运算进行_______次才停止；若运算进行了次才停止，则的取值范围是________________三、解答题(本大题共5小题，）15、已知：如图在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝厘米,AC＝b厘米，＞b，且、b是方程的两根。⑴求和b的值；⑵与开始时完全重