2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】C【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当时，根据指数函数是定义域内的增函数可得，因为幂函数是定义域内的增函数，所以，所以充分性成立，当时，因为幂函数是定义域内的增函数，所以，又指数函数是定义域内的增函数，所以，所以必要性成立，综上：“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.2．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图像是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的图象为减函数可知，，且，可得函数的图象递减，且，从而可得结果.【详解】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移知，的图象由向左平移可知，故函数的图象递减，且，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是（

）A．没有最大元素,有一个最小元素 B．没有最大元素,也没有最小元素C．有一个最大元素,有一个最小元素 D．有一个最大元素,没有最小元素【答案】C【分析】由题意依次举出具体的集合，从而得到均可成立．【详解】对，若，；则没有最大元素，有一个最小元素0，故正确；对，若，；则没有最大元素，也没有最小元素，故正确；对，有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故错误；对，若，；有一个最大元素，没有最小元素，故正确；故选：．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．4．设函数的定义域，若对任意的，总存在，使得，则称函数具有性质.下列结论：①函数具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则.其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据函数性质的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：的定义域是，所以，则.对于任意的，总存在，使得，所以函数具有性质，①正确；对于②：函数的定义域为，所以若取，则，此时不存在，使得，所以函数不具有性质，②错误；对于③：函数在上是单调增函数，其值域为，要使得其具有性质，则，即，解得，，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.二、填空题5．已知全集，集合，则______.【答案】【分析】通过全集，计算出，根据交集的定义即可．【详解】因为，，所以所以．故答案为：．6．函数的图像恒过定点______.【答案】【分析】根据，结合条件，即可求得答案.【详解】，令，得，，函数的图象恒过定点，故答案为：.7．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.【答案】【分析】根据函数是幂函数得，求得或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为是幂函数，，解得或1，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意，.故答案为：.8．函数的图象中心是______.【答案】【分析】将函数化成，根据的对称中心为，即可得出答案.【详解】，因为函数的图象的对称中心是，所以函数的图象的对称中心是.故答案为：.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称；（2）若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称；（3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称.9．函数的定义域是______.【答案】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得，解对数不等式即可求得定义域.【详解】，且，解得或，，函数的定义域是.故答案为：10．已知实数满足，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于的不等式，解之可得实数的取值范围.【详解】由题意知，，即，由于幂函数的定义域为，且在上单调递增，则，即：，所以，所以实数的取值范围是：．故填：．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．11．已知，求的最大值______.【答案】0【分析】原式化为，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】，所以，因为，当且仅当时，取等号；．即的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.12．设､是方程的两个实根，则______.【答案】【分析】根据题意由韦达定理得，，进而得，再结合换底公式得【详解】解：因为､是方程的两个实根，所以由韦达定理得，，所以，所以所以.故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中，两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.13．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.14．若关于的方程有实根，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】利用换元法，设，转化为方程，有正根，分离参数，求最值.【详解】设，转化为方程，有正根，即，，则，当且仅当，即时取等，故答案为：15．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．【答案】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围．【详解】解：函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立，设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．16．若实数、满足，则的取值范围是_______．【答案】【解析】，又．，解得三、解答题17．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据）（1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【分析】（1）将，代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将，代入函数，得：，即，所以，所以．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：，两式相减可得：，所以，即，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19．柯西不等式具体表述如下：对任意实数，，和，，都有，当且仅当时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数，，，，不等式成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数，，，，且，求证：(并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据任意正实数，，，，由柯西不等式得，从而证明成立；（2）由，得，然后利用柯西不等式，即可证明成立．【详解】（1）对任意正实数，，，，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，．（2），，，当且仅当时取等号，．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20．已知函数､的表达式为，且，（1）求函数的解析式；（2）若在区间上有解，求实数的取值范围；（3）已知，若方程的解分别为､，方程的解分别为､，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由可得答案.

（2）由条件可得在区间上有解，设，由，则，即在区间上有解，可得答案.

（3）由条件，，即，以及或，所以，从而可得，求出最大值可得答案.【详解】（1）由，所以所以（2）在区间上有解即在区间上有解即在区间上有解即设，由，则所以在区间上有解当时，所以（3）由，即或由方程的解分别为､，则，所以由，即或方程的解分别为､，则或所以所以函数在上单调递减，当时，有最大值.所以，则所以的最大值为【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得在区间上有解，设，分类参数即在区间上有解，以及根据方程的根的情况可得，属于中档题.21．对于集合，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.（1）判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；（3）若集合是“可分集合”.①证明：为奇数；②求集合中元素个数的最小值.【答案】（1）集合不是，集合是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设，分去掉的元素是时得①，或②，去掉的元素是得③，或④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，所以的奇偶性相同，进而分类讨论为奇数和为偶数两类情况，分析可得集合中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证时集合是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合，去掉元素，剩余的元素组成的集合为，显然不能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，故不是“可分集合”对于集合，去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；故是可分集合.（2）不妨设，若去掉的是，则集合可以分成或，即：①或②若去掉的是，则集合可以分成或，即：③或④，由①③得，矛盾；由①④，矛盾；由②③得，矛盾；由②④，矛盾；所以五个元素的集合一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，所以的奇偶性相同，若为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数；若为偶数，则也均为偶数，此时设，则