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文档简介
2022年山西省晋中市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.(5分)记全集U=R,A={x|?-2x-3>0},8={),仅=2'},则图中阴影部分所表示的集
2.(5分)设复数z=l-(17)2,则复数z的共辗复数2等于()
A.1-2/B.l+2iC.3+2zD.3-2i
3.(5分)志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者
全面上岗服务,现有5名志愿者要安排到4个服务站点参加服务,每名志愿者只能安排
到一个站点,每个站点至少安排一名志愿者,则不同的安排方案共有()
A.90种B.120种C.180种D.240种
4.(5分)已知条件p:-1<X<1,q:x>m,若p是q的充分不必要条件,则实数,"的取
值范围是()
A.[-1,+8)B.(-8,-1)C.(-1,0)D.(-8,-1]
5.(5分)设随机变量S服从正态分布N(2,。2),若尸(:<〃-1)=P(?>a+3),则a
等于()
A.1B.2C.3D.4
2yX+1
6.(5分)函数/(乃=误/的图象大致是()
小
B.
C.D.
7.(5分)已知tan(a+导)=3,tan(a+/?)=/,则tan(2ir-p)等于()
A.1B.C.-D.2或6
77
8.(5分)某班同学在一次化学实验中发现,某化学固体溶于水时,水中未溶解固体的质量
22,+a
M(单位:克)与放入水中的时间,(单位:分钟)满足以下关系:M=e-0-(a为常
数),若把9克的该化学固体放入水中t分钟后变成3克,则/约为()(取M0.7,
/“3F.1)
A.6分钟B.5分钟C.4分钟D.3分钟
9.(5分)已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,侧棱长与底面边长之比
为3:2,顶点都在一个球面上,若三棱柱的侧面积为162,则该球的表面积为()
A.120TtB.^<1297rC.129TtD.1807r
x2y2
10.(5分)已知双曲线C:—--=1(«>0,b>0)的左、右焦点分别为尸i(-c,0),
4
尸2(C,0),平面内一点尸满足尸为,尸尸2,的面积为点。为线段尸Q的中
点,直线。。为双曲线的一条渐近线,则双曲线C的离心率为()
A.V5B.遍或—C.—D.2
22
11.(5分)已知函数/'(%)=2倔;讥©+演讥©-*)+sin》,将函数f(%)的图象上所有
1
点的横坐标缩短为原来的二,纵坐标不变,然后再向左平移<p((p>0)个单位长度,所得
4
的图象关于y轴对称,则中的值可能为()
7TJr37rTC
A.——B.-TTTC.—D.一
242484
12.(5分)若两曲线y=/a-1与y=o?存在公切线,则正实数a的取值范围是()
-3
A.(0,2e]B.京-3,+00)C.(0,je]D.[2e,+°°)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)若(2x-3”的展开式中二项式系数之和为32,则展开式中x的系数为.
14.(5分)若对任意x>0,j?+Sf+dx》/恒成立,则实数”的取值范围是.
15.(5分)在平行四边形ABCD中,已知AB=6,AD=4,/BAD=^,DE=^EC,BF=FC,
则族•AF=.
16.(5分)如图,为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”,现准备在河岸一侧建造一个
观景台P,已知射线AB,AC为夹角为120°的公路(长度均超过4千米),在两条公路
AB,4c上分别设立游客上、下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路
PN,测得AM=5千米,AN=3千米.若NMPN=60°,则两条观光线路PM与PN之和
的最大值为千米.
三、解答题:共70分。解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。第17-21题是必考
题,每个考生都必须作答。第22、23题是选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共
60分。
17.(12分)已知等比数列{斯}是各项均为正数的递增数列,3a4,2〃5,四成等差数列,且
满足⑥之二九今
(1)求数列{”“}的通项公式;
(2)若6"=log3"2”-1(nGNi),求数列{W"的前〃项和加
18.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABC。中,底面ABC。为直角梯形,平面力平面
ABCD,AD=2BC,AD-DC=0,PA=PD=PB=2BC=2CD=2,。为AO的中点.
(1)求证:PQ±AB,并且求三棱锥P-ABD的体积;
(2)求直线PC与平面所成角的正弦值.
19.(12分)某工厂生产一种产品,由第一、第二两道工序加工而成,两道工序的加工结果
相互独立,每道工序的加工结果只有A,8两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产
品的等级:两道工序的加工结果均为A级时,产品为一等品;两道工序恰有一道.工序
加工结果为8级时,产品为二等品;其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概
率如表一所示,一件产品的利润(单位:万元)如表二所示:
表一
工序第一工序第二工序
概率0.80.6
表二
等级一等品二等品三等品
利润502010
(1)用T1(万元)表示一件产品的利润,求T]的分布列和均值;
(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级,计划通过增加检测成本对第二工序进行改良,
假如在改良过程中,每件产品检测成本增加x(0WxW4)万元(即每件产品利润相应减
少x万元)时,第二工序加工结果为4级的概率增加O.lx.问该改良方案对一件产品的
利润的均值是否会产生影响?并说明理由.
%2y2A/2F5
20.(12分)己知C:后+记=l(a>b>0)的离心率为々■,点P(l,号)在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线/与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,且|2易+法|=|2易-后|,
是否存在定圆E,使得直线/与圆E相切?若不存在,说明理由,若存在,求出圆E的
方程.
21.(12分)己知函数/(X)=xlnx+2.
(1)求曲线/(x)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)设g(x)=/(x)-卷/-%+(a-2)(aeR).
①当aWO时,讨论函数g(x)在(1,+8)上的单调性;
②g(X)在其定义域内有两个不同的极值点XI,X2,且X1<%2,已知人>0,若不等式1+入
〈配CI+入//U2恒成立,求人的取值范围.
选考题:共10分。考生从22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。[选修4-4:坐标系与参数方程]
(10分)
(V3
X=1
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线/的参数方程为<2,C为参数),以
0=1+/
坐标原点。为极点,X轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p2=
3
1+2COS20,
(I)求直线/的普通方程和曲线c的直角坐标方程:
(2)直线/与曲线C交于A,B两点,设点尸(0,1),求|附+|PB|的值.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.已知函数/(x)=|1-2r|-k|.
(1)求》》的解集;
⑵若/(x)+\2x-4|+lx|-2心0恒成立,求a的取值范围.
2022年山西省晋中市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.(5分)记全集U=K,A={x\x2-lx-3>0},8={),仅=2*},则图中阴影部分所表示的集
【解答]解:A={x|P-2x-3>0}={小>3或-1},
-={力=2"}={丫}>0},
.".AUB=(0,+8)u(-8,-i),
ACu(AUfi)=[-1,0].
故选:D.
2.(5分)设复数z=l-(1-i)2,则复数%的共轲复数n等于()
A.1-2zB.l+2iC.3+2zD.3-2i
【解答]解::z=l-(1-i)2=1-(1-2/+i2)=\+2i,
:.z=1-2i.
故选:A.
3.(5分)志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者
全面上岗服务,现有5名志愿者要安排到4个服务站点参加服务,每名志愿者只能安排
到一个站点,每个站点至少安排一名志愿者,则不同的安排方案共有()
A.90种B.120种C.180种D.240种
【解答】解:5个人分成满足题意的4组只有1,1,1,2,即只有一个服务站点有2人,
其余都是1人,
故有C52A44=240种,
故选:D.
4.(5分)已知条件p:-l<x<Lq:x>m,若p是q的充分不必要条件,则实数,〃的取
值范围是()
A.[-1,+8)B・(-8,-1)C.(-1,0)D.(-8,-i]
【解答】解:由p:-1<X<1,q:x>m,
若〃是q的充分不必要条件,
则{x|-1VXV1}0{X|X>AW},
则加<-1,
故选:D.
5.(5分)设随机变量1服从正态分布N(2,。2),若=尸(?>.+3),则。
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:•・•随机变量彳服从正态分布N(2,。2)且P(fVa-l)=P(4>a+3),
a—l+a+3
故选:A.
6.(5分)函数/(%)=嘴;的图象大致是()
2./+1?丫2
【解答】解:/(X)=黄-=卷r,
f(-x)=非桨=急气=/(X),即f(x)是偶函数,排除C,D,
当尤>0时,f(x)>0恒成立,排除4,
故选:B.
7.(5分)已知ta九(a+笔)=3,tan(a+/?)=*PPJtan(2n-p)等于()
A.1B.C.-D.2或6
77
【解答】解::tan(a+苧)=3,
TT
tan(a+/)=3,
1+tana
:.-----------=3,
1-tana
.1
..tana=2
1
Vtan(a+£)=可,
.tana+tan^1
1-tanatanB3'
1
-
3
1
.・.tfanpQ=-y,
tan(2n-p)=-tanp=
故选:C.
8.(5分)某班同学在一次化学实验中发现,某化学固体溶于水时,水中未溶解固体的质量
M(单位:克)与放入水中的时间,(单位:分钟)满足以下关系:Q为常
数),若把9克的该化学固体放入水中,分钟后变成3克,则,约为()(取/〃2心0.7,
/«3=«1.1)
A.6分钟B.5分钟C.4分钟D.3分钟
【解答】解:由己知可得当f=0时,M=ea=9,
则/0.22,+。=9・/°22'=3,即e-0-22t=I,
所以-0.22t=ln-——ln3,则t=3异-康2=5,
故选:B.
9.(5分)已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,侧棱长与底面边长之比
为3:2,顶点都在一个球面上,若三棱柱的侧面积为162,则该球的表面积为()
A.120nB.VT29TTC.129nD.180n
【解答】解:由题意,设球的半径为底面三角形边长为级,因为侧棱长与底面边长
之比为3:2,
所以侧棱长为3x,因为三棱柱的侧面积为162,
即满足3・(3x)-(2x)=18/=162,解得x=3,
可知侧棱长为9,底面边长为6,如图所示,
设N,M分别是上、下底面的中心,MN的中点0是三棱柱ABC-A\B\C\外接球的球心,
贝iL4M=卓x6=2再,OM=*MN=^AAr=去
r=OA=>JOM2+AM2=J(1)2+(2V3)2=
所以S=4nr2=4nx(“产产—129兀.
故选:C.
x2y2
10.(5分)已知双曲线C—-—=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为乃(-c,0),
4
F2(C,0),平面内一点P满足PFI,PF2,△PF1F2的面积为gc2,点Q为线段PF1的中
点,直线。。为双曲线的一条渐近线,则双曲线C的离心率为()
LLf遍V5
A.V5B.V5或—C.—D.2
22
【解答】解:不妨取直线OQ为双曲线的渐近线产一张,设。(〃?,一,),
因为点。为线段PQ的中点,所以P(2m+c,-m〃),
又PFJPF2,△叩F2的面积为二c2,所以丁|-多川・|FIF2|=告。2,
所以|一『|=|c(D>
因为O为线段F1F2的中点,且「F|,PF2,
所以|OP|=2=|FIF2|=C,即(2m+c)2+(-^w)2=c2@,
由①②消去机可得,=2或
a2
所以离心率e=J1+(务2=遥或
故选:B.
11.(5分)已知函数f(x)=2gs讥今+加讥©-1)+sinx,将函数/(x)的图象上所有
1
点的横坐标缩短为原来的一,纵坐标不变,然后再向左平移<p(<p>0)个单位长度,所得
4
的图象关于y轴对称,则<p的值可能为()
717737T7T
A.—B.亍彳C.—D.一
242484
【解答】解:f(x)=2V3sin(^+今si几©—1)4-sinx=V3sin2(—+—)+siaY=V3cosx+sinx
7T
=2sin(x+@),
若将函数次X)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的j纵坐标不变,可得y=2sin(4x+号)
的图象,
然后再向左平移<p(年>0)个单位长度,可得y=2sin(4x+4<p+1)的图象,
再根据所得函数的图象关于y轴对称,可得4年+为=内1+乎A6Z,
可得(p=/ir+今,keZ,
Tt
令火=0,可得9的值为工?
24
故选:A.
12.(5分)若两曲线y=/nx-1与》=«?存在公切线,则正实数a的取值范围是()
11
A.(0,2<?]B.住e-3,+8)C.(0,^e-3]D.[2e,+°°)
【解答】解:设公切线与两曲线y=lnx-1与y=ajc2的切点分别为(加,lnx\-1),
(%2,。犯?),
z
由y\X=X1=",y'lx=xz=2a%2,
1ax^-lnx^lic
得一二2ax2------------,整理可得一赤=仇与—2),
小x2-x14a
令"(x)=/(Iwc-2),则(x)=x(2lnx-3),由力'(x)=0,得%=
・•・当(Ve^»+°°)时,h'(x)>0,当那(0,Ve^)时,h'(x)<0,
可得力(x)的最小值为〃(Ve^)=-今,
从而—急工一号,解得
・・・正实数。的取值范围是3-3,+8).
故选:B.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)若(2x-])n的展开式中二项式系数之和为32,则展开式中x的系数为80.
【解答】解:由题知2"=32,得〃=5,
故二项式为(2x—/)5,
展开式得通项为〃+1=(-1)k25-人.布/5-2勺无=0,1,2,……,5,
显然出=2时,可得x的系数为23鬣=80.
故答案为:80.
14.(5分)若对任意x>0,丁+57+4%》0?恒成立,则实数a的取值范围是(-8,刃.
【解答】解:若对任意x>0,x?+5/+4x2ar2恒成立,
则aWx+g+5在在(0,+8)上恒成立,
令F(x)=x+g+5(x>0),
根据对勾函数的性质/(x)在(0,2)递减,在(2,+8)递增,
于(X)min=f(2)=9,
故。的取值范围是(-8,9],
故答案为:(-°°,9].
7TT1TTT
15.(5分)在平行四边形48c。中,已知AB=6,AO=4,NBAD=务DE=^EC,BF=FC,
则族•AF=34.
【解答】解:由题意令AB=a,AD=b,则|a|=6,|b|=4,a-b=6x4xcos1=12,
因为法=之丘BF=FC,则族=兄>+:旗=7+京,AF=AB+^AD=a+^b,
T117
TTT〔t_>1_>IT17T
b=
所以4E・4尸=(b+可。)•(Q+5b)=+b?+/a---
。乙。乙u326
12=34.
故答案为:34.
16.(5分)如图,为方便市民游览市民中心附近的''网红桥",现准备在河岸一侧建造一个
观景台P,已知射线AB,AC为夹角为120。的公路(长度均超过4千米),在两条公路
AB,4C上分别设立游客上、下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,
PN,测得AM=5千米,AN=3千米.若NMPN=60°,则两条观光线路PM与PN之和
的最大值为最千米.
【解答】解:在△AMN中,AM=5,AN=3,/8AC=120°,
由余弦定理知,M1^=AM2+AN2-2AM-ANcosZBAC=25+9-2X5X3Xcosl200=49,
所以MN=7,
在中,由余弦定理知,M*=P*P*-2PM*PNcos/MPN,
所以49=PM2+pM-2PM-PN--=(PM+PN)2-3PM,PN-(PM+PN)2-1(PM+PN)
24
2=5(PM+PN)2,
所以(PM+PN)2.4X49,即HW+PNW14,当且仅当PM=PN=7时,等号成立,
所以与PN之和的最大值为14.
故答案为:14.
三、解答题:共70分。解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。第17-21题是必考
题,每个考生都必须作答。第22、23题是选考题,考生根据要求作答。(-)必考题:共
60分。
17.(12分)已知等比数列{斯}是各项均为正数的递增数列,344,2a5,前成等差数列,且
满足432=9(Z4.
(1)求数列{的}的通项公式;
(2)若与=log3a2"」(n€N*),求数列{另一}的前N项和心.
D«on+1
【解答】解:(I)设等比数列{“"}的公比为q,且q>l,由条件3a4,2〃5,46成等差数
歹IJ,
可得445=3。4+。6,即4a4q=3a4+«4<?2>
可得/-4q+3=0,解得g=3或q=l(舍去),
又因为试=9。4,即域q4=9a1q3,即”]=3.
所以数列{即}是首项为3,公比为3的等比数列,
所以an=3”(n€N*).
(2)因为尻=log3a2入1=2〃-1,
所以------=--------------=一(-v-----------)y,
bnbn+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l
数歹式共匚}的前n项和〃=念+&+在+…+就A=2*(1V+A1+
11,,11、n
耳"7+…+齐7T_而钉)=2(1~2n+l->=2n+l'
18.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABC。中,底面48co为直角梯形,平面力O_L平面
ABCD,AD=2BC,AD-DC=0,PA=PD=PB=2BC=2CD=2,。为AO的中点.
(1)求证:PQ±AB,并且求三棱锥P-A3。的体积;
(2)求直线PC与平面B48所成角的正弦值.
【解答】(1)证明:因为。为A。的中点,PA^PD,所以尸。,4力,
因为平面B4OJ_平面ABCD,
且平面PADA平面ABCD=AD,
所以PQ_L平面ABCD,
又因为A8u平面A8C£>,所以尸。_LA8.
根据条件元》=2命,ADDC=0,BC=1,
可知AD=2BC=2,AD1CD,
又因为B4=PO=2,所以△以O为正三角形,
故PQ=V3,
因为PQ_L平面ABCD,
所以VPTBD=可xPQ•SMBD=wxPQx]x40xCO=勺.
(2)解:以Q为原点,。4为x轴,Q8为y轴,QP为z轴建立如图所示的空间直角坐
标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0),P(0,0,V3),
所以版=(-1,1,0),PB=(0,1,-A/3),
设平面附8的法向量为蔡=(x,y,z),
(TTT
„.|-AB=0/PB=0,(—x+y=0,口」,/-r-、
则{-t即an{取m=(V3/V3/1),
(m-PB=0,(y-V3z=0,
又因为鼠=(一1,1,-V3),
设直线PC与平面PAB所成角为0,
m.i.।/二'IPC-m.i(—l)x/3+lx>/3+(—V3)xl.V105
则sineo=\cos(PC,m)\=|__|=|,;:?•>I=>
\PC\\m\J(-l)2+l2+(->/3)xj(v/3)+(73)+12
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为”.
19.(12分)某工厂生产一种产品,由第一、第二两道工序加工而成,两道工序的加工结果
相互独立,每道工序的加工结果只有A,B两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产
品的等级:两道工序的加工结果均为A级时,产品为一等品;两道工序恰有一道.工序
加工结果为8级时,产品为二等品;其余均为三等品.每一道工序加工结果为4级的概
率如表一所示,一件产品的利润(单位:万元)如表二所示:
表一
工序第一工序第二工序
概率0.80.6
表二
等级一等品二等品三等品
利润502010
(1)用n(万元)表示一件产品的利润,求ri的分布列和均值;
(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级,计划通过增加检测成本对第二工序进行改良,
假如在改良过程中,每件产品检测成本增加x(0WxW4)万元(即每件产品利润相应减
少x万元)时,第二工序加工结果为A级的概率增加O.Ix.问该改良方案对一件产品的
利润的均值是否会产生影响?并说明理由.
【解答】解:(1)由题意可知,n的可能取值为50,20,10,
产品为一等品的概率为0.8X0.6=0.48,
产品为二等品的概率为0.8X0.4+0.2X0.6=0.44,
产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08,
所以r]的分布列为
n502010
p0.480.440.08
E(q)=50X0.48+20X0.44+10X0.08=33.6.
(2)改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响,理由如下:
由题意可知,改良过程中,每件产品检测成本增加x(0WxW4)万元时,第二工序加工
结果为A级的概率增加O.lx,
设改良后一件产品的利润为字则?可能的取值为50-x,20-x,10-%,
所以一等品的概率为0.8义(O.lx+O.6)=0.48+0.08%,
二等品的概率为0.8义口-(0.6+0.lx)]+(1-0.8)X(0.6+0.lx)=0.44-0.06x,
三等品的概率为1-(0.48+0.081)-(0.44-0.06.r)=0.08-0.02%,
所以E(0=(0.48+0.08x)X(50-x)+(0.44-0.06x)X(20-x)+(0.08-0.02x)
X(10-x)=1.6x+33.6,
因为E(《)在[0,4]上单调递增,故当x=4时,E(p取到最大值为40,
又因为E(P2E(口),
所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.
x2y2V2J7
20.(12分)已知C:—+77=l(a>b>0)的离心率为一,点P(l,亏)在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线/与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,且|2&+而|=|2&-防
是否存在定圆E,使得直线/与圆E相切?若不存在,说明理由,若存在,求出圆E的
方程.
【解答】解:⑴•.,点P(l,发)在椭圆上,吟+京=1,
;椭圆的离心率e==:,a2=2c2=b2+c1,
即W=c2=^a2,
1
1一
代入=+T7=1'得到J=2,匕2=],
azy
x2
,椭圆C的方程为三+y2=1.
(2)假设存在.':\20A+0B\=\20A-0B\,:.(2(M4-OB)2=(20A-OB')2
得到&OB=0,
①当直线/的斜率不存在时,设/:x=t,代入椭圆方程得y=±JE—,[2,
不妨令t2)»B(t,2t2),
由O4・0B=0,得t2-l+}=0,解得t=土詈,
此时X=土坐,与圆/+y2=|相切.
②当直线/的斜率存在时,设/:y=kx+m,ACxi,yi),B(孙)2),
联立卜2+2y2=2,得(]+2正)/+4加彳+2"?2-2=0,
[y=kx+m
则△=16必层-4(1+2烂)(2m2-2)>0,
由根与系数的关系得/+%2=-=即与,
1+2/1+2/
m2—2后
贝如①=(kx、+m)(/c%+m)=k2xx+kmg+x)+M=--------/,
2t22l+2k
,--M一27n2-2m2-2k2
由。4-OB=0,即xix2+yiy2—0,可得.....-+-------=0,
1+2/c21+2/c2
整理得7n2=£/+|,满足△>(),
.,.-7===-,即原点到直线/的距离为渔,
Vk2+133
二直线/与圆/+y2=彳相切.
综上所述,存在定圆E,使得直线/与圆E相切,这时定圆E的方程为/+丫2=*
21.(12分)已知函数/(x)=xlnx+2.
(1)求曲线/(x)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)设g(x)=C(x)-红2—%+g—2)(aeR).
①当a<0时,讨论函数g(x)在(1,+8)上的单调性;
②g(x)在其定义域内有两个不同的极值点xi,也,且xi<及,已知人>0,若不等式1+人
</«%]+入伍¥2恒成立,求人的取值范围.
【解答】解:(1)由条件/(x)—xlnx+2,得到/(x)—lnx+\,
所以/(1)=1,/(I)=2,
所以/G)在点(1,/(I))处的切线方程为厂2=1X(x-1),即x-yM=O,
所以切线与坐标轴的交点(-1,0),(0,1),
故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=ixlxl=1;
(2)g(x)—/(%)—恭2-%+(a—2)=xlnx+2-—x+(a—2)=xlnx—^%2—
%+a,
得到g'(x)=bvc-ax,令人(x)=g'(x)=lnx-ax,故力z(x)=--a,
①当oWO时,h(x)>0,函数h(x)单调递增,当x>1时,〃(x)>h(1)=-6/^0,
即g'(x)>0,
g(x)在(1,+8)上单调递增.
②由题意可知XI,分别是方程g'(])=0的两个根,即历X-O¥=0的两个根,即加XI
=ax\,Inx2=ax2f
原式等价于1+入Vari+Aar2=〃(»+右2),
因为人>0,0VxiVx2,所以原式等价于又由于加入’1=火1,/〃X2=〃X2,
In?
作差得,仇,=矶%1—%2),即a二xi」?'
所以原式等价于一^>1+A
工1一%2+A%2
因为0cxi<X2,所以原式恒成立,即
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