2022年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）（学生版+解析版）

2022年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）记全集U=R,A={x|?-2x-3>0},8={），仅=2'},则图中阴影部分所表示的集

2.（5分）设复数z=l-（17）2,则复数z的共辗复数2等于（）

A.1-2/B.l+2iC.3+2zD.3-2i

3.（5分）志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者

全面上岗服务，现有5名志愿者要安排到4个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排

到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者,则不同的安排方案共有（）

A.90种B.120种C.180种D.240种

4.（5分）已知条件p：-1<X<1,q：x>m,若p是q的充分不必要条件，则实数，"的取

值范围是（）

A.[-1,+8）B.（-8,-1）C.（-1,0）D.（-8,-1]

5.（5分）设随机变量S服从正态分布N（2,。2）,若尸（:<〃-1）=P（?>a+3）,则a

等于（）

A.1B.2C.3D.4

2yX+1

6.（5分）函数/（乃=误/的图象大致是（）

小

B.

C.D.

7.(5分)已知tan(a+导)=3,tan(a+/?)=/,则tan(2ir-p)等于()

A.1B.C.-D.2或6

77

8.（5分）某班同学在一次化学实验中发现，某化学固体溶于水时，水中未溶解固体的质量

22,+a

M（单位：克）与放入水中的时间，（单位：分钟）满足以下关系：M=e-0-（a为常

数），若把9克的该化学固体放入水中t分钟后变成3克，则/约为（）（取M0.7,

/“3F.1）

A.6分钟B.5分钟C.4分钟D.3分钟

9.（5分）已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比

为3：2,顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162,则该球的表面积为（）

A.120TtB.^<1297rC.129TtD.1807r

x2y2

10.（5分）已知双曲线C：—--=1（«>0,b>0）的左、右焦点分别为尸i（-c,0）,

4

尸2（C，0）,平面内一点尸满足尸为，尸尸2,的面积为点。为线段尸Q的中

点，直线。。为双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为（）

A.V5B.遍或—C.—D.2

22

11.（5分）已知函数/'（%）=2倔;讥©+演讥©-*）+sin》,将函数f（%）的图象上所有

1

点的横坐标缩短为原来的二，纵坐标不变，然后再向左平移<p（（p>0）个单位长度，所得

4

的图象关于y轴对称，则中的值可能为（）

7TJr37rTC

A.——B.-TTTC.—D.一

242484

12.（5分）若两曲线y=/a-1与y=o?存在公切线，则正实数a的取值范围是（）

-3

A.（0,2e]B.京-3,+00）C.（0,je]D.[2e,+°°）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）若（2x-3”的展开式中二项式系数之和为32,则展开式中x的系数为.

14.（5分）若对任意x>0,j?+Sf+dx》/恒成立，则实数”的取值范围是.

15.（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB=6,AD=4,/BAD=^,DE=^EC,BF=FC,

则族•AF=.

16.（5分）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个

观景台P,已知射线AB,AC为夹角为120°的公路（长度均超过4千米），在两条公路

AB,4c上分别设立游客上、下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路

PN,测得AM=5千米，AN=3千米.若NMPN=60°,则两条观光线路PM与PN之和

的最大值为千米.

三、解答题：共70分。解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。第17-21题是必考

题，每个考生都必须作答。第22、23题是选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共

60分。

17.（12分）已知等比数列｛斯｝是各项均为正数的递增数列，3a4,2〃5,四成等差数列，且

满足⑥之二九今

（1）求数列｛”“｝的通项公式;

(2)若6"=log3"2”-1(nGNi),求数列｛W"的前〃项和加

18.（12分）如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为直角梯形，平面力平面

ABCD,AD=2BC,AD-DC=0,PA=PD=PB=2BC=2CD=2,。为AO的中点.

（1）求证：PQ±AB,并且求三棱锥P-ABD的体积；

（2）求直线PC与平面所成角的正弦值.

19.（12分）某工厂生产一种产品，由第一、第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果

相互独立，每道工序的加工结果只有A,8两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产

品的等级：两道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序

加工结果为8级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概

率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：

表一

工序第一工序第二工序

概率0.80.6

表二

等级一等品二等品三等品

利润502010

(1)用T1(万元)表示一件产品的利润，求T］的分布列和均值；

(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良,

假如在改良过程中，每件产品检测成本增加x(0WxW4)万元(即每件产品利润相应减

少x万元)时，第二工序加工结果为4级的概率增加O.lx.问该改良方案对一件产品的

利润的均值是否会产生影响？并说明理由.

%2y2A/2F5

20.(12分)己知C：后+记=l(a>b>0)的离心率为々■，点P(l,号)在椭圆上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，且|2易+法|=|2易-后|,

是否存在定圆E,使得直线/与圆E相切？若不存在，说明理由，若存在，求出圆E的

方程.

21.(12分)己知函数/(X)=xlnx+2.

(1)求曲线/(x)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)设g(x)=/(x)-卷/-%+(a-2)(aeR).

①当aWO时，讨论函数g(x)在(1,+8)上的单调性；

②g(X)在其定义域内有两个不同的极值点XI,X2,且X1<%2，已知人>0,若不等式1+入

〈配CI+入//U2恒成立，求人的取值范围.

选考题：共10分。考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。［选修4-4：坐标系与参数方程］

(10分)

(V3

X=1

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为<2,C为参数)，以

0=1+/

坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2=

3

1+2COS20,

(I)求直线/的普通方程和曲线c的直角坐标方程：

(2)直线/与曲线C交于A,B两点，设点尸(0,1),求|附+|PB|的值.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(x)=|1-2r|-k|.

(1)求》》的解集；

⑵若/(x)+\2x-4|+lx|-2心0恒成立，求a的取值范围.

2022年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）记全集U=K,A={x\x2-lx-3>0},8={），仅=2*},则图中阴影部分所表示的集

【解答]解：A={x|P-2x-3>0}={小>3或-1},

-={力=2"}={丫}>0},

.".AUB=（0,+8）u（-8,-i）,

ACu（AUfi）=[-1,0].

故选：D.

2.（5分）设复数z=l-（1-i）2,则复数％的共轲复数n等于（）

A.1-2zB.l+2iC.3+2zD.3-2i

【解答]解：：z=l-（1-i）2=1-（1-2/+i2）=\+2i,

：.z=1-2i.

故选：A.

3.（5分）志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者

全面上岗服务，现有5名志愿者要安排到4个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排

到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（）

A.90种B.120种C.180种D.240种

【解答】解：5个人分成满足题意的4组只有1,1,1,2,即只有一个服务站点有2人，

其余都是1人，

故有C52A44=240种,

故选：D.

4.（5分）已知条件p：-l<x<Lq：x>m,若p是q的充分不必要条件，则实数，〃的取

值范围是（）

A.[-1,+8）B・（-8,-1）C.(-1,0)D.(-8,-i]

【解答】解：由p：-1<X<1,q：x>m,

若〃是q的充分不必要条件，

则{x|-1VXV1}0{X|X>AW},

则加<-1,

故选：D.

5.（5分）设随机变量1服从正态分布N（2,。2）,若=尸（?>.+3）,则。

A.1B.2C.3D.4

【解答】解:•・•随机变量彳服从正态分布N（2,。2）且P（fVa-l）=P（4>a+3）,

a—l+a+3

故选：A.

6.（5分）函数/（%）=嘴;的图象大致是（）

2./+1?丫2

【解答】解：/（X）=黄-=卷r，

f（-x）=非桨=急气=/（X），即f（x）是偶函数，排除C，D,

当尤>0时，f（x）>0恒成立，排除4,

故选：B.

7.（5分）已知ta九（a+笔）=3,tan（a+/?）=*PPJtan（2n-p）等于（）

A.1B.C.-D.2或6

77

【解答】解：：tan（a+苧）=3,

TT

tan(a+/)=3,

1+tana

:.-----------=3,

1-tana

.1

..tana=2

1

Vtan(a+£)=可，

.tana+tan^1

1-tanatanB3'

1

-

3

1

.・.tfanpQ=-y,

tan（2n-p）=-tanp=

故选：C.

8.（5分）某班同学在一次化学实验中发现，某化学固体溶于水时，水中未溶解固体的质量

M（单位：克）与放入水中的时间，（单位：分钟）满足以下关系：Q为常

数），若把9克的该化学固体放入水中，分钟后变成3克，则，约为（）（取/〃2心0.7,

/«3=«1.1）

A.6分钟B.5分钟C.4分钟D.3分钟

【解答】解：由己知可得当f=0时，M=ea=9,

则/0.22，+。=9・/°22'=3,即e-0-22t=I，

所以-0.22t=ln-——ln3,则t=3异-康2=5,

故选：B.

9.（5分）已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比

为3：2,顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162,则该球的表面积为（）

A.120nB.VT29TTC.129nD.180n

【解答】解：由题意，设球的半径为底面三角形边长为级，因为侧棱长与底面边长

之比为3：2,

所以侧棱长为3x,因为三棱柱的侧面积为162,

即满足3・（3x）-（2x）=18/=162,解得x=3,

可知侧棱长为9,底面边长为6,如图所示，

设N,M分别是上、下底面的中心，MN的中点0是三棱柱ABC-A\B\C\外接球的球心，

贝iL4M=卓x6=2再，OM=*MN=^AAr=去

r=OA=>JOM2+AM2=J(1)2+(2V3)2=

所以S=4nr2=4nx(“产产—129兀.

故选：C.

x2y2

10.(5分)已知双曲线C—-—=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为乃(-c,0),

4

F2(C,0),平面内一点P满足PFI，PF2,△PF1F2的面积为gc2,点Q为线段PF1的中

点，直线。。为双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()

LLf遍V5

A.V5B.V5或—C.—D.2

22

【解答】解：不妨取直线OQ为双曲线的渐近线产一张，设。(〃?，一,)，

因为点。为线段PQ的中点，所以P(2m+c,-m〃)，

又PFJPF2,△叩F2的面积为二c2,所以丁|-多川・|FIF2|=告。2,

所以|一『|=|c(D>

因为O为线段F1F2的中点，且「F|，PF2，

所以|OP|=2=|FIF2|=C，即(2m+c)2+(-^w)2=c2@,

由①②消去机可得，=2或

a2

所以离心率e=J1+(务2=遥或

故选：B.

11.(5分)已知函数f(x)=2gs讥今+加讥©-1)+sinx,将函数/(x)的图象上所有

1

点的横坐标缩短为原来的一，纵坐标不变，然后再向左平移<p(<p>0)个单位长度，所得

4

的图象关于y轴对称，则<p的值可能为()

717737T7T

A.—B.­亍彳C.—D.一

242484

【解答】解：f(x)=2V3sin(^+今si几©—1)4-sinx=V3sin2(—+—)+siaY=V3cosx+sinx

7T

=2sin(x+@)，

若将函数次X)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的j纵坐标不变，可得y=2sin(4x+号)

的图象，

然后再向左平移<p(年>0)个单位长度，可得y=2sin(4x+4<p+1)的图象，

再根据所得函数的图象关于y轴对称，可得4年+为=内1+乎A6Z,

可得(p=/ir+今，keZ,

Tt

令火=0,可得9的值为工？

24

故选：A.

12.(5分)若两曲线y=/nx-1与》=«?存在公切线，则正实数a的取值范围是()

11

A.(0,2<?]B.住e-3,+8)C.(0,^e-3]D.[2e,+°°)

【解答】解：设公切线与两曲线y=lnx-1与y=ajc2的切点分别为(加，lnx\-1),

(%2，。犯？)，

z

由y\X=X1="，y'lx=xz=2a%2，

1ax^-lnx^lic

得一二2ax2------------,整理可得一赤=仇与—2),

小x2-x14a

令"(x)=/(Iwc-2),则(x)=x(2lnx-3),由力'(x)=0,得％=

・•・当(Ve^»+°°)时，h'(x)>0,当那(0,Ve^)时，h'(x)<0,

可得力(x)的最小值为〃(Ve^)=-今，

从而—急工一号，解得

・・・正实数。的取值范围是3-3,+8).

故选:B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）若（2x-]）n的展开式中二项式系数之和为32,则展开式中x的系数为80.

【解答】解：由题知2"=32,得〃=5,

故二项式为（2x—/）5,

展开式得通项为〃+1=（-1）k25-人.布/5-2勺无=0,1,2,……，5,

显然出=2时，可得x的系数为23鬣=80.

故答案为：80.

14.（5分）若对任意x>0,丁+57+4%》0?恒成立，则实数a的取值范围是（-8,刃.

【解答】解：若对任意x>0,x?+5/+4x2ar2恒成立，

则aWx+g+5在在（0,+8）上恒成立，

令F（x）=x+g+5（x>0）,

根据对勾函数的性质/（x）在（0,2）递减，在（2,+8）递增，

于（X）min=f（2）=9,

故。的取值范围是（-8,9],

故答案为：（-°°,9].

7TT1TTT

15.（5分）在平行四边形48c。中,已知AB=6,AO=4,NBAD=务DE=^EC,BF=FC,

则族•AF=34.

【解答】解：由题意令AB=a,AD=b,则|a|=6,|b|=4,a-b=6x4xcos1=12,

因为法=之丘BF=FC,则族=兄>+：旗=7+京，AF=AB+^AD=a+^b,

T117

TTT〔t_>1_>IT17T

b=

所以4E・4尸=（b+可。）•（Q+5b）=+b?+/a---

。乙。乙u326

12=34.

故答案为：34.

16.（5分）如图，为方便市民游览市民中心附近的''网红桥"，现准备在河岸一侧建造一个

观景台P,已知射线AB,AC为夹角为120。的公路（长度均超过4千米），在两条公路

AB,4C上分别设立游客上、下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,

PN,测得AM=5千米，AN=3千米.若NMPN=60°,则两条观光线路PM与PN之和

的最大值为最千米.

【解答】解：在△AMN中，AM=5,AN=3,/8AC=120°,

由余弦定理知，M1^=AM2+AN2-2AM-ANcosZBAC=25+9-2X5X3Xcosl200=49,

所以MN=7,

在中，由余弦定理知，M*=P*P*-2PM*PNcos/MPN,

所以49=PM2+pM-2PM-PN--=(PM+PN)2-3PM，PN-(PM+PN)2-1(PM+PN)

24

2=5(PM+PN)2,

所以(PM+PN)2.4X49,即HW+PNW14,当且仅当PM=PN=7时，等号成立，

所以与PN之和的最大值为14.

故答案为：14.

三、解答题：共70分。解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。第17-21题是必考

题，每个考生都必须作答。第22、23题是选考题，考生根据要求作答。（-）必考题：共

60分。

17.（12分）已知等比数列｛斯｝是各项均为正数的递增数列，344,2a5,前成等差数列，且

满足432=9（Z4.

（1）求数列｛的｝的通项公式；

（2）若与=log3a2"」（n€N*）,求数列｛另一｝的前N项和心.

D«on+1

【解答】解：（I）设等比数列｛“"｝的公比为q,且q>l,由条件3a4,2〃5,46成等差数

歹IJ,

可得445=3。4+。6，即4a4q=3a4+«4<?2>

可得/-4q+3=0,解得g=3或q=l（舍去），

又因为试=9。4，即域q4=9a1q3,即”]=3.

所以数列｛即｝是首项为3,公比为3的等比数列，

所以an=3”（n€N*）.

（2）因为尻=log3a2入1=2〃-1,

所以------=--------------=一(-v-----------)y，

bnbn+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

数歹式共匚｝的前n项和〃=念+&+在+…+就A=2*(1V+A1+

11,,11、n

耳"7+…+齐7T_而钉)=2(1~2n+l->=2n+l'

18.(12分)如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面48co为直角梯形，平面力O_L平面

ABCD,AD=2BC,AD-DC=0,PA=PD=PB=2BC=2CD=2,。为AO的中点.

(1)求证：PQ±AB,并且求三棱锥P-A3。的体积；

(2)求直线PC与平面B48所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：因为。为A。的中点，PA^PD,所以尸。，4力，

因为平面B4OJ_平面ABCD,

且平面PADA平面ABCD=AD,

所以PQ_L平面ABCD,

又因为A8u平面A8C£>,所以尸。_LA8.

根据条件元》=2命，ADDC=0,BC=1,

可知AD=2BC=2,AD1CD,

又因为B4=PO=2,所以△以O为正三角形，

故PQ=V3,

因为PQ_L平面ABCD,

所以VPTBD=可xPQ•SMBD=wxPQx]x40xCO=勺.

(2)解：以Q为原点，。4为x轴，Q8为y轴，QP为z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0),P(0,0,V3),

所以版=(-1,1,0),PB=(0,1,-A/3),

设平面附8的法向量为蔡=(x,y,z),

(TTT

„.|-AB=0/PB=0,(—x+y=0,口」，/-r-、

则｛-t即an｛取m=(V3/V3/1),

(m-PB=0,(y-V3z=0,

又因为鼠=(一1,1,-V3),

设直线PC与平面PAB所成角为0,

m.i.।/二'IPC-m.i(—l)x/3+lx>/3+(—V3)xl.V105

则sineo=\cos(PC，m)\=|__|=|,；：?•>I=>

\PC\\m\J(-l)2+l2+(->/3)xj(v/3)+(73)+12

所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为”.

19.(12分)某工厂生产一种产品，由第一、第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果

相互独立，每道工序的加工结果只有A,B两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产

品的等级：两道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序

加工结果为8级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为4级的概

率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：

表一

工序第一工序第二工序

概率0.80.6

表二

等级一等品二等品三等品

利润502010

(1)用n(万元)表示一件产品的利润，求ri的分布列和均值;

(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良,

假如在改良过程中，每件产品检测成本增加x(0WxW4)万元(即每件产品利润相应减

少x万元)时，第二工序加工结果为A级的概率增加O.Ix.问该改良方案对一件产品的

利润的均值是否会产生影响？并说明理由.

【解答】解：(1)由题意可知，n的可能取值为50,20,10,

产品为一等品的概率为0.8X0.6=0.48,

产品为二等品的概率为0.8X0.4+0.2X0.6=0.44,

产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08,

所以r］的分布列为

n502010

p0.480.440.08

E(q)=50X0.48+20X0.44+10X0.08=33.6.

(2)改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：

由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加x(0WxW4)万元时，第二工序加工

结果为A级的概率增加O.lx,

设改良后一件产品的利润为字则？可能的取值为50-x,20-x,10-%,

所以一等品的概率为0.8义(O.lx+O.6)=0.48+0.08%,

二等品的概率为0.8义口-(0.6+0.lx)］+(1-0.8)X(0.6+0.lx)=0.44-0.06x,

三等品的概率为1-(0.48+0.081)-(0.44-0.06.r)=0.08-0.02%,

所以E(0=(0.48+0.08x)X(50-x)+(0.44-0.06x)X(20-x)+(0.08-0.02x)

X(10-x)=1.6x+33.6,

因为E(《)在［0,4］上单调递增，故当x=4时，E(p取到最大值为40,

又因为E(P2E(口)，

所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.

x2y2V2J7

20.(12分)已知C：—+77=l(a>b>0)的离心率为一，点P(l,亏)在椭圆上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点，且|2&+而|=|2&-防

是否存在定圆E，使得直线/与圆E相切？若不存在，说明理由，若存在，求出圆E的

方程.

【解答】解：⑴•.,点P（l,发）在椭圆上，吟+京=1,

；椭圆的离心率e==：,a2=2c2=b2+c1,

即W=c2=^a2,

1

1一

代入=+T7=1'得到J=2,匕2=],

azy

x2

，椭圆C的方程为三+y2=1.

（2）假设存在.'：\20A+0B\=\20A-0B\,：.（2（M4-OB）2=（20A-OB'）2

得到&OB=0,

①当直线/的斜率不存在时，设/：x=t,代入椭圆方程得y=±JE—，[2,

不妨令t2）»B（t，2t2）,

由O4・0B=0,得t2-l+}=0,解得t=土詈，

此时X=土坐,与圆/+y2=|相切.

②当直线/的斜率存在时，设/：y=kx+m,ACxi，yi）,B（孙）2），

联立卜2+2y2=2,得（]+2正）/+4加彳+2"?2-2=0,

[y=kx+m

则△=16必层-4（1+2烂）（2m2-2）>0,

由根与系数的关系得/+%2=-=即与，

1+2/1+2/

m2—2后

贝如①=（kx、+m）（/c%+m）=k2xx+kmg+x）+M=--------/，

2t22l+2k

,--M一27n2-2m2-2k2

由。4-OB=0,即xix2+yiy2—0,可得.....-+-------=0,

1+2/c21+2/c2

整理得7n2=£/+|,满足△>（）,

.,.-7===-，即原点到直线/的距离为渔，

Vk2+133

二直线/与圆/+y2=彳相切.

综上所述，存在定圆E,使得直线/与圆E相切，这时定圆E的方程为/+丫2=*

21.(12分)已知函数/(x)=xlnx+2.

(1)求曲线/(x)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)设g(x)=C(x)-红2—%+g—2)(aeR).

①当a<0时，讨论函数g(x)在(1,+8)上的单调性；

②g(x)在其定义域内有两个不同的极值点xi，也，且xi<及,已知人>0,若不等式1+人

</«%]+入伍¥2恒成立，求人的取值范围.

【解答】解：(1)由条件/(x)—xlnx+2,得到/(x)—lnx+\,

所以/(1)=1,/(I)=2,

所以/G)在点(1,/(I))处的切线方程为厂2=1X(x-1),即x-yM=O,

所以切线与坐标轴的交点(-1,0),(0,1),

故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=ixlxl=1；

(2)g(x)—/(%)—恭2-%+(a—2)=xlnx+2-—x+(a—2)=xlnx—^%2—

%+a,

得到g'(x)=bvc-ax,令人(x)=g'(x)=lnx-ax,故力z(x)=--a,

①当oWO时，h(x)>0,函数h(x)单调递增，当x>1时，〃(x)>h(1)=-6/^0,

即g'(x)>0,

g(x)在(1,+8)上单调递增.

②由题意可知XI，分别是方程g'(])=0的两个根，即历X-O¥=0的两个根，即加XI

=ax\,Inx2=ax2f

原式等价于1+入Vari+Aar2=〃(»+右2)，

因为人>0,0VxiVx2,所以原式等价于又由于加入’1=火1，/〃X2=〃X2,

In?

作差得，仇,=矶%1—％2)，即a二xi」?'

所以原式等价于一^>1+A

工1一％2+A%2

因为0cxi<X2,所以原式恒成立，即