全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：19年全国联赛】假设实数集合

的最大元素与最小元素之差等于该集合的全部元素之和，则x的值为 .28年全国联赛】设集合A，，，B∈A={2A，则BC的元素个数为【2013年全国联赛设集合素的和为 .【2011集合为 ，则集合 .

.则集合中全部元.假设中全部三元子集的三个元素之和组成的【2019V2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.n，满足条件：假设E至少有nE908个二元子集.意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设 为四个有理数，使得.求 的值.【2015年全国联赛】设 ，其中， 个互不一样的有限集合满足对任意均有.假设 表示有限集合的元素个数，证明：存在，使得属于中的至少个集合.【2014年全国联赛】设 .求最大的整数，使得集合S有k个互不一样的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，假设它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不一样.【2013数.每道题的得分规章是：假设该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将全部学生总分从高到低排列为.求 的最大可能值.【2012年全国联赛】试证明：集合 满足对每个对每个

，假设 ，则表示

肯定不是，必存在

的倍数；，使的倍数.各省预赛典型题18年江苏】在0中，能写成被3整除的数有 个。【2018年重庆】设集合素为a，则实数a= ．【2018

的形式，且不能恰有一个公共元也可以表示为 ，则 的值为 .【2018年湖南】样的 对的个数有 个.58年广东】设集合的最大整数，则 .

，当 时， 视为不同的对，则这，其中， 表示不大于x【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下状况：①最正确选手的孪生同胞与最差选手性别不同最正确选手与最差选手年龄一样．则这四人中最正确选手是 ．【2018年山东】集合满足 ，假设中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则满足条件的全部不同的集合的个数为 ．88年河北】集合 .A=B，那么_98年四川】设集合，假设的非空子集 满足，就称有序集合对数字作答〕

的“隔离集合对，则集合的“隔离集合对”的个数 〔用具体【2018年福建】设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，MS满足：对S中任意3个元素，c〔不必不同，都有+c求集合S.【2018年湖南】集合 .假设假设

，求实数m，求实数m【2018年广东】正整数n都可以唯一表示为①的形式，其中m为非负整数， ， .试求①中的数列 严格单调递增或严格单调递减的全部正整数n的和.【2018年山东】证明对全部的正整数由都小于 个正整数组成；对的任意两个不同的非空子集之和．

，存在一个集合，满足如下条件：，集合中全部元素之和不等于集合中全部元素全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题答案全国联赛真题19年全国联赛】假设实数集合,𝑥的最大元素与最小元素之差等于该集合的全部元素之和，则x的值为 .【答案】−32【解析】由题意知，x为负值，∴3−𝑥=1+2+3+𝑥⇒𝑥=−3.228年全国联赛】设集合A，，，B∈A={2A，则BC的元素个数为【答案】24【解析】由条件知，𝐵∩𝐶={2,4,6,198}∩{113299}={2,4,6,48}.B∩C24.

2 2 233年全国联赛设集𝐴=，𝐵={𝑥|−𝑥∈,2−𝑥2∉𝐴则集𝐵中全部元素的和为 .【答案】-5【解析】易知，𝐵⊆{−2,0−13}.当𝑥=−23时，2−𝑥2=−27∉𝐴；当𝑥=01时，2−𝑥2=2,1∈𝐴.因此，集合𝐵={−23}.从而，集合𝐵中全部元素的和为−5.【2011年全国联赛设集合𝐴={𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4}.假设𝐴中全部三元子集的三个元素之和组成的集合为𝐵={−1,3,5,8}，则集合𝐴= .【答案】{−3,0,2,6}【解析】明显，在集合𝐴的全部三元子集中每个元素均消灭了3次.于是，3(𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4)=(−1)+3+5+8=15⇒𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=5.从而，集合𝐴的四个元素分别为5−(−1)=6，5−3=2，5−5=0，5−8=−3.因此，集合𝐴={−3,0,2,6}.故答案为:{−3,0,2,6}【2019V2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.n，满足条件：假设E至少有nE908个二元子集.意两个二元子集的交为空集.【答案】H有n个顶点，m条边，则肯定可以将其边集划分为[𝑚]个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。2m，m=1，2，3，明显成立.m≤k成立，k≥3，m=k+1时，考虑全部叶子顶点𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑞，假设有两片叶子𝐴𝑖𝐴𝑗B上，则将ABABm-2条边由归纳假设，可分为[𝑚−2]=[𝑚]−1个二元子集i j 2 2且两两不相交，结论成立，i否则设𝐴1𝐴2𝐴𝑞分别接在顶点𝐵1𝐵2𝐵𝑞上，假设存在1≤𝑖≤𝑞𝐵𝑖2BiA，Ci相连，将𝐴𝑖𝐵𝑖与BiC取下，同理由归纳假设结论成立，否则对任意1≤𝑖≤𝑞𝑑(𝐵𝑖)>2，将𝐴1𝐴2𝐴𝑞去掉，得图𝐻′，则在𝐻′中没有叶子结点，𝐻′连通，则𝐻′B1C，DH中把𝐴1𝐵1B1C去掉，图照旧连通，由归纳假设同理可证，引理证毕.故原命题成立.62015年全国联赛】设𝑎1、𝑎2、𝑎3、𝑎4为四个有理数，使得{𝑎𝑖𝑎𝑗|1≤𝑖<𝑗≤4}=2 {−24−2311,3}.求𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4的值2 4【答案】𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=±94【解析】由条件知𝑎𝑖𝑎𝑗(1≤𝑖<𝑗≤4)为六个互不一样的数，且其中没有两个为相反数.于是𝑎1、𝑎2、𝑎3、𝑎4确实定值互不相等.不妨设|𝑎1||𝑎2||𝑎3||𝑎4|.则|𝑎𝑖||𝑎𝑗|(1≤𝑖<𝑗≤4)中最小的、次小的两个数分别为|𝑎1||𝑎2|与|𝑎2||𝑎4|.𝑎1

=−1,8

𝑎2=−

1,8𝑎1故 𝑎1𝑎3=1, ⇒𝑎2𝑎4=3,

𝑎3=

1,𝑎1{𝑎3𝑎4=−24

{𝑎4=3=−24𝑎1𝑎2𝑎2⇒23,14}=−.24结合𝑎1∈𝑄，只可能𝑎1=±1.4由此易知(𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4)=(114−6)或11−4,6).4 2 424经检验，两组解均满足条件.从而，𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=±9.475𝑆=1,𝐴2𝐴𝑛𝑛≥1,𝐴2𝐴𝑛个互不一样的有1𝑖𝑛𝐴𝑖、𝐴𝑗∈𝑆，均有𝐴𝑖∪𝐴𝑗∈𝑆.假设𝑘=min|𝐴𝑖|≥2〔|𝑋|表示有限集合X的1𝑖𝑛𝑥∈∪元素个数𝑥∈∪𝑖=1

𝐴𝑖，使得𝑥属于𝐴1,𝐴2,⋅⋅⋅,𝐴𝑛中的至少𝑛个集合.𝑘【答案】见解析𝑘【解析】不妨设|𝐴1|=𝑘.设在𝐴1,𝐴2,⋅⋅⋅,𝐴𝑛中与𝐴1不相交的集合有𝑠个，重记为𝐵1,𝐵2,⋅⋅⋅,𝐵𝑠；设包含𝐴1的集合有𝑡个，重记为𝐶1𝐶2𝐶𝑡.𝑖∪1∈𝑆𝑖∪1∈1,2𝑡.:1,2𝑠}→1,2𝑡𝑖)=𝑖∪1.明显，𝑓为单射.从而，𝑠 𝑡.1=1,2𝑘.在𝐴1𝐴2𝐴𝑛中除去𝐵1𝐵2𝐵𝑠，𝐶1𝐶2𝐶𝑡𝑛−𝑠−𝑡𝑎𝑖(1𝑖 𝑘)的集合有𝑥𝑖个，由于剩下的𝑛−𝑠−𝑡个集合中设包含𝑎𝑖(1 𝑖 𝑘)的集合有𝑥𝑖个由于剩下的𝑛−𝑠−𝑡个集合中每个集合与𝐴1的交非空，即包含某个𝑎𝑖，从而，𝑥1+𝑥2+⋅⋅⋅+𝑥𝑘≥𝑛−𝑠−𝑡. ①1 不妨设𝑥 =max𝑥1 1𝑖𝑘则由式①知𝑥1≥𝑛−𝑠−𝑡，即在剩下的𝑛−𝑠−𝑡个集合中，包含𝑎1的集合至少有𝑛−𝑠−𝑡个.𝑘 𝑘又由于𝐴1⊆𝐶𝑖(𝑖=1,2,⋅⋅⋅𝑡)，故𝐶1𝐶2𝐶𝑡均包含𝑎1.因此，包含𝑎1的集合个数至少为𝑛−𝑠−𝑡+𝑡𝑛−𝑠+(𝑘−1)𝑡𝑘 𝑘≥𝑘

≥𝑛.𝑘【2014年全国联赛】设𝑆={1,2,100}.求最大的整数𝑘Sk非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，假设它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不一样.【答案】𝑘max=2991【解析】对有限非空实数集A，用min𝐴max𝐴A考虑集合S1𝑖∩𝑗)=1<𝑖，故𝑘max≥2991.于是，这样的子集一共299−1个.明显满足要求.接下来证明：当𝑘≥299k𝑛≥3，在集合{1,2,⋯,𝑛}的任意𝑚(𝑚≥2𝑛−1)个不同非空子集1,𝐴2,⋯,𝐴𝑚𝐴𝑖、𝑗𝑖≠𝐴𝑖∩𝑗≠𝑖∩𝑗)=𝑖.①明显，只需对𝑚=2𝑛−1的情形证明上述结论.当𝑛=3时，将{1,2,3}的全部七个非空子集分成三组，1，，3；1，；由抽屉原理，知任意四个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为𝐴𝑖、𝐴𝑗，在排在前面的记为𝐴𝑖，则满足结论①.假设结论在𝑛(𝑛≥3)时成立.考虑𝑛+1时的情形.假设𝐴1𝐴2,⋯,𝐴2𝑛中至少有2𝑛−1个子集不含𝑛+1，对其中的2𝑛−1个子集用归纳假设，知存在两个子集满足结论①.假设至多有2𝑛1-1𝑛+1，则至少有2𝑛1+1𝑛+1，将其中2𝑛1+1均去掉𝑛1，得到｛1，2，…，n｝的2𝑛1+1由于｛1，2，…，n｝的全体子集可分为2𝑛1组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，知在上述2𝑛1+1因此，相应地有两个子集𝐴𝑖𝐴𝑗满足𝐴𝑖∩𝐴𝑗=|𝑛+1|，这两个集合明显满足结论①.于是，𝑛1时结论成立.综上，𝑘max=299 1.【2013𝑚道试题，𝑛𝑚、𝑛≥2为给定的整数.每道题的得分规章是：假设该题恰有𝑥名学生没有答对，则每名答对该题的学生得𝑥分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其𝑚道题的得分总和.将全部学生总分从高到低排列为𝑝1𝑝2𝑝𝑛.求𝑝1𝑝𝑛的最大可能值.【答案】m(n-1)【解析】𝑘=,𝑚设𝑘题没有答对者𝑘人则𝑘题答对者𝑛 𝑘人由得分规章知𝑛𝑥𝑘个人在第𝑘题均得𝑥𝑘分.𝑖=1

=𝑆=𝑚

𝑥(𝑛 𝑥)=𝑛𝑚𝑘 𝑘

𝑥 ∑𝑚𝑘𝑘=1𝑘

𝑥2.𝑘.𝑘=1𝑘𝑘分，所以，1≤𝑚𝑘=1

𝑥𝑘.𝑛1由𝑝2≥𝑝3≥⋅⋅⋅≥𝑝𝑛，知𝑝𝑛≤𝑝2+𝑝3+⋅⋅⋅+𝑝𝑛𝑛1

=𝑆𝑝1.𝑛1𝑛1则𝑝1𝑝𝑛≤𝑝1𝑆𝑝1𝑛1

=𝑛2𝑛1

𝑆𝑛1≤𝑛2

𝑚 𝑥

𝑚1 (𝑛∑ 𝑥

∑𝑚

𝑥2)=2𝑚 𝑥

1 ∑𝑚

𝑥2.𝑛1 𝑘=1

𝑛1

𝑘𝑘=1

𝑘=1 𝑘

𝑘=1

𝑘 𝑛1

𝑘=1 𝑘由柯西不等式得∑𝑚

𝑥2≥

1𝑚

𝑥𝑘)2.1+𝑛≤2

𝑘=1 𝑘𝑥𝑘

𝑚 𝑘=11 𝑚

𝑥𝑘)2𝑘=1

𝑚(𝑛1)

𝑘=1= 1𝑚(𝑛1)

𝑚𝑘=1

𝑥𝑘 𝑚(𝑛 1)2]+𝑚(𝑛 1)≤𝑚(𝑛 1).另一方面，假设有一名学生全部答对，其他𝑛 1名学生全部答错，则1 𝑛 𝑝+𝑝 =𝑝 =1 𝑛 𝑘=1

(𝑛 1)=𝑚(𝑛 1).综上，𝑝1+𝑝𝑛的最大值是𝑚(𝑛 1).2𝐴=,222𝑛满足〔1〕对每个𝑎∈𝐴及𝑏∈𝑁，假设𝑏<2𝑎−1，则𝑏(𝑏 1)肯定不是2𝑎的倍数；〔2〕对每个𝑎∈𝐴〔𝐴表示𝐴在𝑁中的补集〕，且𝑎≠1，必存在𝑏∈𝑁，𝑏<2𝑎−1，使𝑏(𝑏 1)2𝑎的倍数.〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】〔1〕对任意𝑎∈𝐴，设𝑎=2𝑘(𝑘∈𝑁).则2𝑎=2𝑘1.假设𝑏是任意一个小于2𝑎−1的正整数，则𝑏.由于𝑏与𝑏 1中，一个为奇数，它不含质因子2，另一个为偶数，它含质因子2的幂的次数最多为𝑘，因此，𝑏(𝑏 1)肯定不是2𝑎的倍数.〔2〕假设𝑎∈𝐴，且𝑎≠1，设𝑎=2𝑘𝑚，其中，𝑘∈𝑁，𝑚1的奇数.则2𝑎=2𝑘1𝑚.下面给出三种证明方法.方法1 令𝑏=𝑚𝑥，𝑏 1=2𝑘1𝑦.消去𝑏得2𝑘1𝑦𝑚𝑥=1.由(2𝑘1,𝑚)=1，知方程必有整数解{𝑥=𝑥0 2𝑘1𝑡,𝑦=𝑦0 𝑚𝑡,其中，𝑡∈𝑍，(𝑥0,𝑦0)为方程的特解.记最小的正整数解为(𝑥′,𝑦′).则𝑥′<2𝑘1.故𝑏=𝑚𝑥′<2𝑎−1，使得𝑏(𝑏 1)是2𝑎的倍数.方法2 留意到，(2𝑘1,𝑚)=1，由中国剩余定理，知同余方程组{𝑥≡0(mod2𝑘1)

在区间(0,2𝑘1𝑚)上有解𝑥=𝑏，即存在𝑏<2𝑎−1，使得𝑏(𝑏 1)是2𝑎𝑥≡𝑚−1(mod𝑚)的倍数.方法3 由(2,𝑚)=1，总存在𝑟(𝑟∈𝑁,𝑟≤𝑚−1)，使得2𝑟≡1(mod𝑚).取𝑡∈𝑁，使得𝑡𝑟>𝑘 1.则2𝑡𝑟≡1(mod𝑚).存在𝑏=(2𝑡𝑟1𝑞(2𝑘1𝑚)>0(𝑞∈𝑁)，使得0<𝑏<2𝑎1.此时，𝑚|𝑏,2𝑘1|(𝑏 1).从而𝑏(𝑏 1)是2𝑎的倍数.各省预赛典型题：18年江苏】在40中，能写𝑎2−𝑏2 𝑎∈)的形式，且不能被3整除的数有 个。【答案】501.【解析】设𝑆={1,2,3,4,1000}，假设𝑛=𝑎2−𝑏2+1，则𝑛≠3(mod4).又4𝑘=(2𝑘)2−(2𝑘−1)2+1，4𝑘+1=(𝑘+1)2−(𝑘−1)2+1，4𝑘+2=(2𝑘+1)2−(2𝑘)2+1𝑛=𝑎2−𝑏2+𝑛≠令𝐴=𝑎∈𝑎≡𝐵=𝑏∈𝑏≡𝐴∩𝐵={𝑐∈𝑆|𝑐≡3(mod12)}，由于|𝐴|=250，|𝐵|=333，|𝐴∩𝐵|=84，从而符合条件的数的个数为1000250−33384=501.故答案为：50128年重庆】设集𝐴=𝑎−g2𝑏与𝐵=𝑎+,g2𝑏−)恰有一个公共元素为a，则实数a= ．【答案】6【解析】a-1≠a，a+1≠a，所以公共元素为2log2𝑏=log2(16𝑏−64)b=8，𝑎=2log2𝑏=6．故答案为：638,𝑏,},𝑎+,1，𝑎则𝑎2018+𝑏2018的值为 .【答案】2【解析】由题意可知𝑎≠0.由集合相等可以得到𝑎+𝑏=0，从而得到𝑎

=−1.因此𝑎=−1，且𝑏=1.所以𝑎2018+𝑏2018=(−1)2018+12018=2.48年湖南】A∪1,2,3，𝐴≠𝐵时,)与,)视为不同的对，则这样的(𝐴,𝐵)对的个数有 个.【答案】27【解析】由集合A、B都是𝐴∪𝐵的子集，𝐴≠𝐵且𝐴∪𝐵=(𝑎1𝑎2𝑎3).当𝐴=∅时，B1种取法；A为一元集时，B2种取法；A为二元集时，B4种取法；A为三元集时，B8种取法.故不同的〔A，B〕对有1+3×2+3×4+8=27〔个〕.故答案为：2758𝐴=𝑥|𝑥2−[𝑥]=2，𝐵=||𝑥|<2[𝑥表示不大于x的最大整数，则𝐴∩𝐵= .【答案】𝐴∩𝐵={−1√3}【解析】由于|𝑥|<2，所以，[𝑥]的值可取-2，-1，0，1.当[𝑥]=−2时，𝑥2=0，无解；当[𝑥]=−1时，𝑥2=1⇒𝑥=−1；当[𝑥]=0时，𝑥2=2，无解；当[𝑥]=1时，𝑥2=3⇒𝑥=√3，因此，𝑥=−1或√3.68年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下状况：①最正确选手的孪生同胞与最差选手性别不同最正确选手与最差选手年龄一样．则这四人中最正确选手是 ．【答案】牛得亨先生的女儿【解析】亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．选手的孪生同胞肯定是牛得亨先生的儿子，而最正确选手无疑是牛得亨先生的女儿．故答案为：牛得亨先生的女儿78𝐴𝐵𝐴∪𝐵=,⋯0𝐴∩𝐵=𝐴中的元素个数不是𝐴中的元素，𝐵中的元素个数不是𝐵中的元素，则满足条件的全部不同的集合𝐴的个数为 ．【答案】186【解析】设𝐴中元素个数为𝑘(𝑘=1,29)，则𝐵中元素个数为10−𝑘，依题意𝑘∉𝐴(𝑚−1)4<𝑘<(𝑚+1)4．2 210−𝑘∉𝐵，10−𝑘∈𝐴，此时满足题设要求的𝐴的个数为𝐶𝑘−1．10−2其中，当𝑘=5时，不满足题意，故𝑘≠5．所以𝐴的个数为𝐶0+𝐶1+⋯+𝐶8−𝐶4=28−𝐶4=186．8 8 8 8 888𝐴=,,𝑥+𝑦，𝐵=,|𝑥|,𝑦且𝑥8+𝑦2018= .【答案】2【解析】B中有三个元素知，𝑥≠0且𝑦≠0，故A中𝑥+𝑦=0，即有𝑥=−𝑦，又{𝑥,𝑥𝑦}={|𝑥|𝑦}|𝑥|=𝑥假设{ ，则{

𝑥=1

.此时𝐴={1−1,0}𝐵={0,11}.𝑥𝑦=𝑦 𝑦=−1𝑥=𝑡 𝑥=0 𝑥=−1 𝑥=1假设{|𝑥|=𝑥𝑦，则{𝑦=0，或{𝑦=−1，或{𝑦=1，不满足互异性，舍去.故𝑥=1，𝑦=−1，所以𝑥2018+𝑦2018=2.98年四川】设集𝐼=，𝐼的非空子𝐴、𝐵满足𝐴∩𝐵=，就称有序集合对(𝐴,𝐵)为𝐼的“隔离集合对”，则集合𝐼的“隔离集合对”的个数为 .〔用具体数字作答〕【答案】6050【解析】设𝐴为𝐼的𝑘(1≤𝑘≤7)元子集，则𝐵为𝐼的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为∑7 𝐶𝑘(28−𝑘−1)=∑7

𝐶𝑘28−𝑘−∑7

𝐶𝑘

=(1+2)8−(𝐶028+𝐶820)−(28−𝐶0−𝑘=1 8

𝑘=1 8

𝑘=1 8

8 8 8.𝐶8)=38−29+1=6050.8故答案为：6050.8年福建】设集合m∈}M的子集S满足：对S中任意3个元素，c〔不必不同，都有+c求集合S.【答案】20【解析】S2018.S={s|1≤s≤2018，s∈Z}S符合要求，且|S|=2018.S是满足题设条件的集合，明显0∉𝑆〔0+0+0=0〕.S中的全部正整数A，SB.假设𝐴=∅，则|𝑆|=|𝐵|≤2018；假设𝐵=∅，则|𝑆|=|𝐴|≤2018.A、B非空的情形.对于集合X，Y，记𝑋+𝑌=𝑥+𝑦|𝑥∈𝑋，𝑦∈𝑌，−𝑋= −𝑥|𝑥∈𝑋.0由题设可知，(𝐴+𝐵)∩(−𝑆)=∅〔否则，设x∈(A+B)∩(－S)，则存在a∈A，b∈B，－c00 ∈－Sa+b=x，－c=x.a∈S，b∈Sa+b+c=0〕.A+B∈{x|x∈Z0 |x|<2017}(事实上，A中元素≤2018，B中元素≤－1A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.〕.

Bb

<b<…<b.1 2

1 2

1 2 k 1 2 l1 1 2 1 3 1 k l k 2 k ∵a+b<a+b<a+b<…<a+b<a+b<…<a1 1 2 1 3 1 k l k 2 k ∴A+Bk+l－1个元素，即|A+B|≥k+l－1=|S|－1.结合𝐴+𝐵⊆𝑥|𝑥 ∈𝑍，且|𝑥|≤2017 ⊆𝑀，−𝑆⊆𝑀，且(𝐴+𝐵)∩(−𝑆)=∅，可得(𝐴+𝐵)∪(−𝑆)⊆𝑀，4037=|M|≥|A+B|+|－S|=|A+B|+|S|≥|S|－1+|S|.∴|S|≤2019.假设|S|=2019，则|A+B|+|－S|=4037=|M|.∴(A+B)∪(－S)=M.又由−2018∉𝐴+𝐵，2018∉𝐴+𝐵2018∈S，－2018∈S.k=1，2，3，…，1009，k2018－kS，－k与－2018+k中也至S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009.∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018，冲突.因此，|𝑆|≤2018.综上可得，|𝑆|≤2018.S2018.8年湖南】集𝐴= 𝑥|−2<𝑥<3,𝐵= 𝑥|𝑚<𝑥<𝑚+9.(1)假设𝐴∪𝐵=𝐵，求实数m(2)假设𝐴∩𝐵≠𝜙，求实数m〔[,2〔2()【解析】(1)∵集合𝐴={𝑥|−2<𝑥<3}𝐵={𝑥|𝑚<𝑥<𝑚+9}，A∪B=B，∴A⊆B，𝑚+9≥3∴{𝑚≤−2 ，解得𝑚+9≥3∴实数m的取值范围是[−6,−2].(2)∵集合𝐴={𝑥|−2<𝑥<3}𝐵={𝑥|𝑚<𝑥<𝑚+9}，A∩B=∅时，3≤𝑚m+9≤−2，m≥3m≤−11，∴A∩B≠∅时，−11<m<3，∴实数m的取值范围是(−11,3).8年广东】正整数n𝑛=0+1⋅9+𝑎2⋅92+⋯+𝑚⋅9𝑚①的形式，其中m𝑗∈,⋯8〔𝑗=,⋯,𝑚−𝑚∈,⋯8试求①中的数列𝑎0𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑚严格单调递增或严格单调递减的全部正整数n的和.【答案】984374748【解析】AB分别表示①中数列严格单调递增和递减的全部正整数构成的集合.S〔M〕表示M中全部数的和，并将满足①式的正整数记为𝑛=𝑎𝑚𝑎𝑚−1𝑎1𝑎0.把集合A分成如下两个不交子集𝐴0={𝑛∈𝐴|𝑎0=0}和𝐴1={𝑛∈𝐴|𝑎0≠0}.我们有𝑆(𝐴)=𝑆(𝐴0)=𝑆(𝐴1).对任意𝑛𝐴1，令𝑓(𝑛9𝑛𝐴0，则𝑓是𝐴1到𝐴0的双射.由此得𝑆(𝐴0)=9𝑆(𝐴1)，从而𝑆(𝐴)=10𝑆(𝐴1).1又对任意𝑎=𝑎𝑚𝑎𝑚−1𝑎0∈𝐵，令𝑏=𝑔(𝑎)=(9−𝑎𝑚)(9−𝑎𝑚−1(9−𝑎0)∈𝐴1，g是B到𝐴的双射，其中𝑎+𝑏=9𝑚+1+9𝑚9=9(9𝑚+1−1).18由于𝐵={𝑎𝑚𝑎𝑚−1𝑎0|1≤𝑎𝑚<𝑎𝑚−1<⋯<𝑎0≤8𝑚=0,17}所以B中共有∑7

𝐶𝑚+1个元素，因此𝑆(𝐵)+𝑆(𝐴1)=9∑7

𝐶𝑚+1(9𝑚+1−1)𝑚=0 8 8 𝑚=0