2024届五年高考数学（理）真题分类训练：专题四 三角函数与解三角形

第1页专题四三角函数与解三角形考点10三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式与三角恒等变换题组一、选择题1.[2023新高考卷Ⅱ，5分]已知α为锐角，cosα=1+5A.3-58 B.-1+58[解析]cosα=1+54=1-2sin2α2，得sin2.[2023新高考卷Ⅰ，5分]已知sinα-β=13，cosA.79 B.19 C.-19[解析]依题意，得sinαcosβ-cosαsinβ=133.[2022新高考卷Ⅱ，5分]若sinα+β+cosαA.tanα-β=1 B.tanα+[解析]sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4.[2021新高考卷Ⅰ，5分]若tanθ=-2,则A.-65 B.-25 C.2[解析]解法一（弦化切法）因为tanθ=-2，所以sinθ解法二（求值代入法）因为tanθ=-2，所以角所以sinθ=25,cosθ=-155.[2021全国卷甲，5分]若α∈0,π2,tan2αA.1515 B.55 C.53[解析]因为α∈0,π2【易错警示】在应用公式化简过程中，约去的式子不能为0，本题式子变形过程中除以cosα是在α∈6.[2021浙江，4分]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγA.0 B.1 C.2 D.3[解析]因为α,β,γ是互不相同的锐角，所以sinα，cosβ,sinβ，cosγ,sinγ，cosα均为正数，所以sinαcosβ≤sin2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2.三式相加可得sinαcosβ+sin7.[2020全国卷Ⅱ，5分]若α为第四象限角，则(D)A.cos2α>0 B.cos2α<[解析]解法一∵α为第四象限角，∴sinα<0,cosα>0解法二由α为第四象限角，可得3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，所以3π+4kπ<2α<48.[2020全国卷Ⅲ，5分]已知2tanθ-tanθ+πA.-2 B.-1[解析]由已知得2tanθ-tan9.[2020全国卷Ⅰ，5分]已知α∈0,π,且3cos2α-A.53 B.23 C.13[解析]∵3cos2α-8cosα=5,∴32cos2α-1-8cosα=5【方法技巧】破解此类题的技巧:一是化简,利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式或诱导公式，化简已知三角等式；二是求值，利用同角三角函数的基本关系求出三角函数值，此时，一定要注意所给角的取值范围，否则易产生增根.10.[2019全国卷Ⅱ，5分]已知α∈0,π2，2sinA.15 B.55 C.33[解析]由2sin2α=cos2α+1，得4sinαcosα=2cos2α-二、填空题11.[2022浙江，6分]若3sinα-sinβ=10,α+β[解析]因为α+β=π2，所以β=π2-α，所以3sinα-sinβ=3sinα-sinπ2-α=3sinα-cosα=1012.[2021北京，5分]若Pcosθ,sinθ与Qcosθ+π6,sinθ+[解析]由题意可得cosθ=-cosθ+π6，sinθ=sinθ+π6，则θ=2kπ+π-θ+π613.[2020江苏，5分]已知sin2π4+α=2[解析]因为sin2π4+α=23，所以1-cos14.[2020浙江，6分]已知tanθ=2,则cos2θ=[解析]解法一因为tanθ=2，所以sinθ=2cosθ，由sin2解法二因为tanθ=2，所以cos15.[2020北京，5分]若函数fx=sinx+φ+cosx的最大值为2，则常数φ[解析]易知当y=sinx+φ，y=cosx同时取得最大值1时，函数fx=sinx+φ+cosx取得最大值2，故sinx考点11三角函数的图象与性质题组一一、选择题1.[2023天津，5分]已知函数fx图象的一条对称轴为直线x=2,fx的一个周期为4,则fxA.fx=sinπ2x B.fx=cos[解析]对于A,fx=sinπ2x，最小正周期为2ππ2=4，因为f2=sinπ=0，所以函数fx=sinπ2x的图象不关于直线x=2对称，故排除A；对于B，fx=cosπ2x，最小正周期为2ππ2=4，因为f2=cosπ=-1，所以函数fx=cosπ2.[2023全国卷乙，5分]已知函数fx=sinωx+φ在区间(π6，2π3)单调递增,直线x=π6A.-32 B.-12 C.1[解析]由题意得12×2πω=2π3-π6，解得ω=2，易知x=π6是f3.[2022新高考卷Ⅰ，5分]记函数fx=sinωx+π4+bω>0的最小正周期为T.若2π3<A.1 B.32 C.52[解析]因为2π3<T<π,所以2π3<2πω<π，解得2<ω<3．因为y=fx的图象关于点3π2,2中心对称，所以b=2，且sin3π2ω+π44.[2021北京，4分]已知函数fx=cosx-cosA.是奇函数，最大值为2 B.是偶函数，最大值为2C.是奇函数，最大值为98 D.是偶函数，最大值为9[解析]因为f-x=cos-x-cos又fx=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2cosx【速解】因为偶函数+偶函数=偶函数，所以排除A，C；易知当cosx=1时，cos2x≠-1，故函数5.[2021新高考卷Ⅰ，5分]下列区间中，函数fx=7sinxA.0,π2 B.π2,π C.[解析]令-π2+2kπ≤x-π6≤π2+2kπ,k∈Z，得-π3+2kπ≤x≤2π3【速解】fx=7sinx-π6的图象是将y=7sinx的图象向右平移π6个单位长度得到的.因为y=7sin6.[2021全国卷乙，5分]把函数y=fx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinx-A.sinx2-7π12 B.sinx[解析]依题意，将y=sinx-π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到fx的图象，所以y=sin【速解】易知平移后的函数y=sinx-π4经过点π4,0，故平移前的函数y=f7.[2020全国卷Ⅰ，5分]设函数fx=cosωx+π6在[-π,π]的图象大致如图，则fxA.10π9 B.7π6 C.4[解析]由题图知，f-4π9=0且f-π<0，f0>0，∴-4π9ω+π8.[2020天津，5分]已知函数fx=sin①fx的最小正周期为2②fπ2是③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y其中所有正确结论的序号是(B)A.① B.①③ C.②③ D.①②③[解析]fx=sinx+π3的最小正周期为2π，①正确；sinπ2=1=fπ6为fx的最大值，②错误；将y=sinx二、填空题9.[2022北京，5分]若函数fx=Asinx-3cosx[解析]依题意得fπ3=A×32-3×110.[2022全国卷乙，5分]记函数fx=cosωx+φω>0,0<φ<π的最小正周期为T.若[解析]因为T=2πω，f2πω=32,所以cos2π+φ=32,即cosφ=32.又0<φ<π,所以φ=π6题组二一、选择题1.[2022北京，4分]已知函数fx=cos2xA.fx在-π2,-π6上单调递减 B.C.fx在0,π3上单调递减 D.fx[解析]依题意可知fx=cos2x-sin2x=cos2x.对于A选项，因为x∈-π2,-π6，所以2x∈-π,-π3，函数fx=cos2x在-π2,-π6上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为x∈-π4,π12，所以2x∈-π2,π6，函数fx=cos【速解】易得fx=cos2x，它的图象是将y=cosx因为y=cosx在0,π上单调递减，在-π,0上单调递增，所以fx=cos2x在0,π2上单调递减，在-π2,02.[2022全国卷甲，5分]设函数fx=sinωx+π3在区间0,πA.[53,136) B.[5[解析]由x∈0,π，得ωx+π3∈π3,πω+π3.根据函数fx在区间0,π恰有三个极值点，知5π2<πω+π3≤7π23.[2022天津，5分]已知fx=1①fx的最小正周期为2π;②fx在[-π4,π4]上单调递增;③当x∈[-π6,π3]时，fx其中，正确说法的个数为(A)A.1 B.2 C.3 D.4[解析]因为fx=12sin2x，所以fx当x∈[-π4,π4]时，2x∈[-当x∈[-π6,π3]时，2x∈[-π3,将gx=12sin2x+π4的图象向左平移π综上，正确说法的个数为1，故选A.4.[2019全国卷Ⅱ，5分]下列函数中，以π2为周期且在区间(π4，π2)A.fx=cos2x B.fx=[解析]A中，函数fx=cos2x的周期为π2，当x∈π4,π2时，2x∈π2,π，函数fx单调递增，故A正确；B中，函数fx=sin2x的周期为π2，当x∈π4,π2时，2x∈π2,π，函数fx单调递减，故B不正确；C中，函数fx=cosx=cosx5.[2019天津，5分]已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π是奇函数，且fx的最小正周期为π，将y=fA.-2 B.-2 C.2[解析]由fx为奇函数可得φ=kπk∈Z,由φ<π，得φ=0,又fx的最小正周期为π,所以2πω=π,ω=2，所以fx=Asin【方法技巧】若fx=Asinωx+φx∈R6.[2019全国卷Ⅰ，5分]关于函数fx=sinx①fx②fx在区间(π2，③fx在[-π,π]有4④fx其中所有正确结论的编号是(C)A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③[解析]∵f-x=sin-x+sin-x=sinx+sinx=fx，∴fx为偶函数，故①正确；当π为偶函数，所以可得到fx在[-π,π]的图象如图所示，由图可知函数fx在[-π,π]只有3个零点，且最大值为2，故③不正确，④正确.综上，正确结论的序号是①④.故选C【速解】∵f-x=sin-x+sin-x=sinx+sinx=fx，∴fx为偶函数，故①正确，排除B；当π2<x<π时，7.[2019全国卷Ⅲ，5分]设函数fx=sinωx+π5ω>0，已知f①fx在0,2π②fx在0,2π③fx在0,④ω的取值范围是[其中所有正确结论的编号是(D)A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④[解析]令ωx+π5=t，则当x∈[0,2π]时，t∈[π5,2ωπ+π5].作出y=sint的部分图象，如图所示.当x∈0,π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π二、填空题8.[2023新高考卷Ⅰ，5分]已知函数fx=cosωx-1ω>0在区间[0[解析]函数fx=cosωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点，即cosωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根，因为ω>0,x∈[9.[2023新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx=sinωx+φ,如图，A，B是直线y=12与曲线y=[解析]对比正弦函数y=sinx的图象易知，点2π3,0由题知AB=xB-xA=π6，ωxA代入①，得φ=-2π310.[2021全国卷甲，5分]已知函数fx=2cosωx+φ的部分图象如图所示,则满足条件f[解析]由题图可知，34T=13π12-π3=3π4(T为fx的最小正周期），得T=π，所以ω=2，所以fx=2cos2x+φ.点π3,0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3+φ=π2,得φ=-π6,所以fx=2cos2x-π6，所以f-7π4=2cos[2×-7π4-π6]=2cos-11π3=211.[2020江苏，5分]将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的[解析]将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度，得到y=3sin[2x-π6+π4]=3sin2x12.[2020全国卷Ⅲ，5分]关于函数fx=sin①fx的图象关于y轴对称②fx的图象关于原点对称③fx的图象关于直线x=π④fx的最小值为其中所有真命题的序号是②③.[解析]由题意知fx的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，且关于原点对称.又f-x=sin-x+1sin-x=-sinx+1sinx=-f三、解答题13.[2021浙江，14分]设函数fx（Ⅰ）求函数y=[fx[答案]因为fx=sinx+cosx，所以fx+π2=sinx（Ⅱ）求函数y=fxfx-[答案]fx-所以y=f当x∈[0,π所以当2x-π4=π2,即x=3π14.[2019浙江，14分]设函数fx=sinx（Ⅰ）已知θ∈[0,2π)，函数fx[答案]因为fx+所以θ=π2+kπ,又θ∈[0,2π),因此θ（Ⅱ）求函数y=[f[答案]y==sin=1=1=1-因此，函数的值域是[1-考点12解三角形题组一一、选择题1.[2020全国卷Ⅲ，5分]在△ABC中，cosC=23,AC=4,A.19 B.13 C.12[解析]由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×二、填空题2.[2021全国卷乙，5分]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3，B=60∘，a2+[解析]由题意得S△ABC=12acsinB=34ac=【方法技巧】三角形的面积公式（a,b,c分别为△ABC中角A,B,C（1）S=12a⋅h（2）S=（3）S=12a+b（4）S=pp-（5）S=abc4R(R3.[2020全国卷Ⅰ，5分]如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC[解析]依题意得，AE=AD=3，在△AEC中，AC=1，∠CAE=30∘,由余弦定理得EC2=AE2+AC24.[2019全国卷Ⅱ，5分]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=π[解析]因为a=2c,b=6，B=π3，所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos【速解】取BC中点D，连接AD,则有BD=DC=AB=c.因为B=π3，所以△ABD为等边三角形，所以AD=c三、解答题5.[2023新高考卷Ⅰ，10分]已知在△ABC中，A+B=（1）求sin[答案]解法一在△ABC中，A+因为A+B=3C，所以3C=π-C因为2sinA所以2sin展开并整理得2sin得sinA又sin2A+cos2所以sinA解法二在△ABC中，A+因为A+B=3C，所以3C=π-C因为2sinA所以2sinA所以2sin所以sinA易得cosA所以tanA又sinA所以sinA（2）设AB=5,求AB[答案]解法一由正弦定理，得BCsin得BC=AB由余弦定理AB2得52=整理得AC2解得AC=10或AC由（1）得，tanA=3>又A+B=3π4即C<B，所以AB<AC设AB边上的高为h，则12×即5h=解得h=6所以AB边上的高为6.解法二由（1）知sinA=31010，所以cosA所以sinB由正弦定理，得ACsinB=AB故AB边上的高为AC×sin6.[2022全国卷乙，12分]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（1）证明：2a2[答案]解法一由sinCsinA-B结合正弦定理asinA=bsinB由余弦定理得a2+c2-解法二因为A+B+所以sinC同理有sinB所以sin2A由正弦定理可得2a2（2）若a=5，cosA=25[答案]由（1）及a2=b2+c2-2bccosA得，a2=2bccosA,所以2bc=7.[2021新高考卷Ⅱ，12分]在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a（1）若2sinC=3[答案]由2sinC=3又c=a+2，所以a=所以b=a由余弦定理，得cosA又A∈0,π,所以所以S△ABC（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形,若存在，求a；若不存在，说明理由[答案]由题意，知c>b要使△ABC为钝角三角形，需cosC=a因为a为正整数，所以a=1或a当a=1时，b=2当a=2时，b=3,综上，存在正整数a=2，使得△ABC8.[2021上海春季，14分]已知A，B，C为△ABC的三个内角，a，b，c分别是角A,B,C对应的三条边，a=2（1）若sinA=2sinB[答案]由sinA=2sin∵a=2，由余弦定理可得cosC=22（2）若cosA-π4[答案]∵cosA-π4=又sin2A∴cosA=72∵cosC=-14>-22，∴若cosA=210，则cos∴cosA=72由cosC=-14由正弦定理2sinA=c9.[2020新高考卷Ⅰ，10分]在①ac=3,②csinA=问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.[答案]由sinA=3sinB可得a=3b若选择条件①，则ac=3∴b=1,此时此时问题中的三角形存在.若选择条件②，由cosA=b2+此时csinA=c此时问题中的三角形存在.若选择条件③，则c=b与条件c=10.[2020浙江，14分]在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2b（Ⅰ）求角B的大小;[答案]在锐角△ABC中，由正弦定理得2sinBsin故sinB=32（Ⅱ）求cosA+cos[答案]由A+B+C=π由△ABC是锐角三角形得C∈0,π2，所以由cosCcosA故cosA+cosB11.[2019北京，13分]在△ABC中，a=3，b-（Ⅰ）求b，c的值;[答案]由余弦定理b2=a2+c2-2ac因为b=c所以c+2解得c=5所以b=7（Ⅱ）求sinB-C[答案]由cosB=-12由正弦定理得sinC在△ABC中，B是钝角，所以C为锐角所以cosC=1-sin题组二一、选择题1.[2021全国卷甲，5分]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B,C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45∘,∠A'B'C'=60∘.由C点测得B点的仰角为15∘，BB'与CC'的差为100;由BA.346 B.373 C.446 D.473[解析]如图所示，根据题意过C作CE//C'B'，交BB'于E，过B作BD//A'B'，交AA'于D，则BE=100,C'B'=CE=100tan15∘.在△A'C二、填空题2.[2023全国卷甲，5分]在△ABC中，∠BAC=60∘，AB=2，BC=6，∠BAC的角平分线交[解析]在△ABC中，由余弦定理得cos60∘=AC2+4-62×2AC,整理得AC23.[2022全国卷甲，5分]已知△ABC中，点D在边BC上,∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD[解析]设BD=kk>0根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD⋅BDcos∠ADB=22+k2-2×2k×-12=k2+2k4.[2021浙江，6分]在△ABC中，∠B=60∘，AB=2,M是BC的中点，AM=23[解析]由∠B=60∘,AB=2,AM=2因为M为BC的中点，所以BC=8解法一在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-解法二过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，如图所示,则BD=4,AD=2，CD=43.所以在Rt△ADC5.[2019浙江，6分]在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，点D在线段AC上.若∠BDC=[解析]在Rt△ABC中，易得AC=5，sinC=ABAC=45又∠ABD+∠DBC=π三、解答题6.[2023新高考卷Ⅱ，10分]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为3,D为BC的中点，且（1）若∠ADC=π3[答案]因为D为BC的中点，所以S△ABC=解得DC=2，所以BD=DC=因为∠ADC=π3在△ABD中，由余弦定理，得c2所以c=7在△ABD中，由正弦定理，得csin∠所以sinB所以cosB所以tanB（2）若b2+c2=8[答案]因为D为BC的中点，所以BD=DC因为∠ADB+∠ADC=π则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得AD2得1+B所以2BD2=b2+c2在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC所以S△ABC解得bc=4则由bc=4,b27.[2022北京，13分]在△ABC中，sin（Ⅰ）求∠C[答案]因为sin2C=3sin因为C∈0,π，所以sinC≠0（Ⅱ）若b=6,且△ABC的面积为63，求[答案]因为△ABC的面积S=12ab由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos8.[2021新高考卷Ⅰ，12分]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC（1）证明:BD=[答案]由题易得BDa=sinCsin∠ABC.在△ABC中，由正弦定理得sin又b2=ac，所以BD⋅b=b2（2）若AD=2DC,求[答案]解法一由题意可知AD=23b，DC=13b.在△ABD与△ABC中，cos∠BAD=cos∠BAC，所以c2+49b2-当c=23a当c=3a时，cos∠ABC综上，cos∠ABC=解法二由题意可得，AD=23AC，所以BD=BA由余弦定理得b2=a联立①②得11b2因为b2=ac，所以所以c=3a或c=239.[2020全国卷Ⅱ，12分]△ABC中,sin（1）求A；[答案]由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-A由①②得cosA因为0<A<π,所以（2）若BC=3，求△ABC[答案]由正弦定理及（1）得ACsinB=ABsinC=故BC+AC又0<B<π3,所以当B=π610.[2020北京，13分]在△ABC中，a+（Ⅰ）a的值；[答案]选①.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA∴a=选②.∵cosA=18,∴∵cosB∴B∈0,π由正弦定理asin得a378=11（Ⅱ）sinC和△ABC条件①：c=7,条件②：cosA=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.[答案]选①.∵cosA=-17∴sinA由正弦定理asinA=c由（Ⅰ）知b=11∴S△选②.sinC∵a+b=11∴b=∴S△11.[2019江苏，14分]在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c（1）若a=3c,b=2,cosB[答案]因为a=3c,b=2由余弦定理得cosB=a2+c2-b（2）若sinAa=cos[答案]由sinAa=cosB2b,所以cosB从而cos2B=2sinB2,因为sinB>0,所以cosB因此sinB+题组三一、选择题1.[2021全国卷乙，5分]魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=(AA.表高×表距表目距的差+C.表高×表距表目距的差+[解析]由题图可知,HC=AC-AH=ABtan二、填空题2.[2020新高考卷Ⅰ，5分]某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm，A到直线[解析]如图，连接OA,作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q,AM⊥EF于M,交DG于E',交BH于F'，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P,设OP=3m,则DP=5m，不难得出AQ=7,AM=7,于是AE'=5,E'G=5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH为等腰直角三角形，又AF'=三、解答题3.[2023天津，14分]在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=39,b（1）求sinB[答案]由正弦定理asinA=b解得sinB（2）求c的值；[答案]由余弦定理得a2=即39=4+整理得c2+解得c=5或c=-所以c=5（3）求sinB-C[答案]由正弦定理csinC=b又B,C均为锐角，所以cosC=1-所以sinB-4.[2023全国卷乙，12分]在△ABC中，已知∠BAC=120∘，（1）求sin∠ABC[答案]如图，由余弦定理得BC2=AB解法一由正