数列的概念及简单表示法-高考数学知识点总结-高考数学真题复习

§6.1数列的概念及简单表示法2014高考会这样考1.以数列前几项为背景写数列的通项；2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项；3.考查已知数列的递推关系或前n项和Sn求通项an.复习备考要这样做1.在通项公式的求解中，要注意归纳、推理思想的应用，寻求数列的项的规律；2.通过Sn求an，要对n＝1和n≥2两种情况进行讨论；3.灵活掌握由递推关系求通项公式的基本方法．1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1__>__an其中n∈N*递减数列an＋1__<__an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2)).[难点正本疑点清源]1．对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为__________．答案an＝2n－1(n∈N*)解析∵1,3,7,15分别加上1，则为2,4,8,16，易知an＝2n－1.2．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝________.答案n(n－1)解析由已知，得an＋1－an＝2n，故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)．3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝__________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．答案2n－113解析当n≥2时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1时也符合，则an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,4)))2－eq\f(121,8)，且n∈N*，故n＝3时，nan最小．4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 ()A．15 B．16 C．49 D．答案A解析∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.5．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于()A．1 B．9 C．10 D．答案A解析∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.题型一由数列的前几项求数列的通项例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(3)－1，eq\f(3,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(3,4)，－eq\f(1,5)，eq\f(3,6)，…；(4)3,33,333,3333，….思维启迪：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝eq\f(2n－1,2n).(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·eq\f(2＋－1n,n).也可写为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)，n为正奇数，,\f(3,n)，n为正偶数.))(4)将数列各项改写为eq\f(9,3)，eq\f(99,3)，eq\f(999,3)，eq\f(9999,3)，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝eq\f(1,3)(10n－1)．探究提高(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64)，…；(2)eq\f(3,2)，1，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，…；(3)0,1,0,1，….解(1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－eq\f(2－3,2)，原数列可化为－eq\f(21－3,21)，eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3,23)，eq\f(24－3,24)，…，因此an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n).(2)将数列统一为eq\f(3,2)，eq\f(5,5)，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝eq\f(2n＋1,n2＋1).(3)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0n为奇数,1n为偶数))或an＝eq\f(1＋－1n,2)或an＝eq\f(1＋cosnπ,2).题型二由数列的递推关系求通项公式例2(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.思维启迪：(1)可构造等比数列求解；(2)可使用累加法．解(1)∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋a＝2(an＋a)，与an＋1＝2an＋1比较可知a＝1，又a1＝1，∴a1＋a＝2.故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.(2)当n取1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式．即an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，将其两边分别相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，∴an＝a1＋eq\f(1＋n－1n－1,2)＝2＋eq\f(nn－1,2).探究提高已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现eq\f(an,an－1)＝f(n)时，用累乘法求解．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.解(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，∴an－1＝eq\f(n－2,n－1)an－2，…，a2＝eq\f(1,2)a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n).(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝eq\f(n3n＋1,2)(n≥2)．当n＝1时，a1＝eq\f(1,2)×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2).题型三由数列的前n项和求通项公式例3已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.思维启迪：当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．解(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋b，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))探究提高数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．答案an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1,6n－5，n≥2))解析当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))用函数的观点解决数列问题典例：(12分)已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an.求实数k的取值范围．审题视角(1)求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．规范解答解(1)①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.[4分]②∵an＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4)的对称轴方程为n＝eq\f(5,2).又n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.[8分](2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－eq\f(k,2)<eq\f(3,2)，即得k>－3.[12分]温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．(3)易错分析：本题易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．方法与技巧1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调an与Sn的关系：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2)).3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)利用累加或累乘法可求数列的通项公式．失误与防范1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．2．数列的通项公式不一定唯一．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知数列1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)，…，eq\r(2n－1)，则3eq\r(5)是它的 ()A．第22项 B．第23项C．第24项 D．第28项答案B解析观察知已知数列的通项公式是an＝eq\r(2n－1)，令an＝eq\r(2n－1)＝3eq\r(5)＝eq\r(45)，得n＝23.2．(2011·四川)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于 ()A．3×44 B．3×44＋1C．45 D．45＋1答案A解析当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n＝1，,3×4n－2n≥2.))∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.3．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的 ()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．必要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析当an＋1>|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2，0,1，，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．4．如果数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(3,2)an－3，那么这个数列的通项公式是 ()A．an＝2(n2＋n＋1) B．an＝3·2nC．an＝3n＋1 D．an＝2·3n答案D解析由已知可得：a1＝6，a2＝18，由此可排除A、B、C.二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝eq\f(1,9)，a36＝________.答案4解析∵ap＋q＝ap＋aq，∴a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋＝8a4＋a4＝18a2＝366．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，且1<Sk<9(k∈N*)，则a1的值为________，k的值为________．答案－14解析当n＝1时，a1＝eq\f(2,3)a1－eq\f(1,3)，∴a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an－1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)an－eq\f(2,3)an－1，∴eq\f(an,an－1)＝－2，∴数列{an}是首项为－1，公比为－2的等比数列，∴an＝－(－2)n－1，Sn＝－eq\f(2,3)×(－2)n－1－eq\f(1,3).由1<－eq\f(2,3)×(－2)k－1－eq\f(1,3)<9，得－14<(－2)k－1<－2，又k∈N*，∴k＝4.7．已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝________.答案n2＋1解析由an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，得an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，…，a3－a2＝5，a2－a1＝3，将以上各式相加，得an－a1＝3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)，即an＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝1＋eq\f(1＋2n－1n,2)＝n2＋1.三、解答题(共22分)8．(10分)数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．故数列从第7项起各项都是正数．9．(12分)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是递减数列．(1)解∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴2log2an－2－log2an＝－2n，∴an－eq\f(1,an)＝－2n，∴aeq\o\al(2,n)＋2nan－1＝0，解得an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.(2)证明eq\f(an＋1,an)＝eq\f(\r(n＋12＋1)－n＋1,\r(n2＋1)－n)＝eq\f(\r(n2＋1)＋n,\r(n＋12＋1)＋n＋1)<1.∵an>0，∴an＋1<an，∴数列{an}是递减数列．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，则a1·a2·…·a2013的值为 ()A．－3 B．1 C．2 D答案C解析a1＝2，a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝－3，a3＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，…，故4是数列{an}的周期，a1·a2·a3·…·a2013＝(a1a2a3a4)503·a2013＝(a12．数列{an}满足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()A．5 B．eq\f(7,2) C．eq\f(9,2) D．eq\f(13,2)答案B解析∵an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，∴a1＝eq\f(1,2)－a2＝eq\f(1,2)－2，a2＝2，a3＝eq\f(1,2)－2，a4＝2，…，故a2n＝2，a2n－1＝eq\f(1,2)－2.∴S21＝10×eq\f(1,2)＋a1＝5＋eq\f(1,2)－2＝eq\f(7,2).3．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 ()A．103 B.eq\f(865,8)C.eq\f(825,8) D．108答案D解析∵an＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))2＋2×eq\f(292,16)＋3，∴n＝7时，an最大．a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)(n≥2)，则a16＝________.答案eq\f(1,2)解析由题意知a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝eq\f(1,2).5．数列eq\f(\r(5),3)，eq\f(\r(10),8)，eq\f(\r(17),a＋b)，eq\f(\r(a－b),24)，…中，有序数对(a，b)是______________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\v