山西省运城市景胜中学2024-2025学年高二数学12月月考试题理

PAGE30PAGE31山西省运城市景胜中学2024-2025学年高二数学12月月考试题理一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）

1.已知命题p:∃x<0，x2>0，那么¬pA.∀x≥0，x2≤0 B.∃x≥0，x2≤0 C.∀x<0，x2≤0 D.

2.已知α和β表示两个不重合的平面，a和b表示两条不重合的直线，则平面α//平面β的一个充分条件是（

）A.a//b，a//α且b//β B.a⊂α，b⊂α且a//β，b//β

C.a→⊥b→，a//α且b⊥β D.a//b，a⊥α且b⊥β

3.直线

l

经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到

l

的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为(

)A.14 B.13 C.1

4.如图圆锥的高SO=3

，底面直径AB=2，

C是圆O上一点，且AC=1，则SA与BC所成角的余弦值为（

）

A.34 B.33 C.1

5.集合A=x|−1≤x≤1，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B可以是(

)A.x|−1≤x≤1 B.x|−1<x<1 C.x|0<x<2 D.x|−2<x<1

6.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2A.63 B.102 C.15

7.下列说法正确的是（

）A.命题“若|x|=5，则x=5"的否命题为“若|x|=5，则x≠5”B.“x=−1”是“x2C.命题“∃x0∈D.命题“若x=y，则sinx=

8.已知抛物线C:x2=12y，直线l过点0,3与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=14，则直线l倾斜角A.24 B.4242 C.6

9.已知F1,F2是椭圆C:x28+y2A.0,2∪16,+∞ B.0,4∪16,+∞

10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A.x26−y25

11.点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCA.2 B.322 C.3

12.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0A.1,2 B.2,32二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）

13.已知p:∀x∈R,x2+mx+1>0，若

14.已知直线y=2x−2与抛物线y2=8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则FA

15.已知四棱柱ABCD−A1BC1D1的底面ABCD是矩形，AB=5，AD=3，AA1=4，16.已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若kOD+kOE+k三、解答题（本题共计6小题，共计70分，）17.(10分)已知p：关于x方程x2+2x+14m2=0有两个不相等的实根；(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)假如“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．18.(12分)已知命题p：实数x满意x2−4ax+3a2<0，其中a>0，命题q：实数(1)若a=1，且命题p和命题q均为真命题，求实数x的范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求a的范围．

19.(12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，CD⊥AD，△PAD是等腰直角三角形，PD=PA=1.

(1)证明：PD⊥PB；(2)若PB与平面PAD所成角的大小为60∘，CD=2AB，求点C到平面PBD

20.(12分)如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB=2AD=4(1)证明：AD⊥BD(2)若D1D=D

21.(12分)已知椭圆E：x2a2+y2(1)求曲线E的方程；(2)直线l：y=kx+2交椭圆E于不同的A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值．

22.(12分)已知圆M：x−12+y2=14，动圆(1)求动圆圆心N的轨迹C的方程；(2)已知点P−12,−12，Q1,2，过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A，B

参考答案与试题解析景胜中学2024年12月高二月考数学理试卷一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.【答案】C【解答】解：特称命题的否定是全称命题.

已知命题p:∃x<0，x2>0，

那么¬p是：∀x<0，x22.【答案】D【解答】解：A，B，C选项中平面α和平面β均有可能相交；

D中由a//b，a⊥α可得b⊥α，又b⊥β，所以α//β．

故选D．3.【答案】C【解答】解：设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线

l

经过椭圆的一个顶点和一个焦点，

则直线方程为：xc+yb=1，椭圆中心到

l

的距离为其短轴长的4.【答案】A【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系得：

A(0,−1,0)，B(0,1,0)，S(0,0,3)，C32,−12,0，

设SA→，BC→的夹角为θ，

又SA→=(0,−1,−3)5.【答案】B【解答】解：A，B={x|−1≤x≤1}与集合A相等，

“x∈B”是“x∈A”的充分必要条件.

故选项A错误.

B，B={x|−1<x<1}，B包含于A，

“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件.

故选项B正确.

C，B={x|0<x<2}，B不包含A，A也不包含B，

“x∈B”既不是“x∈A”的充分条件，也不是必要条件.

故选项C错误.

D，B={x|−2<x<1}，B不包含A，A也不包含B，

“x∈B”既不是“x∈A”的充分条件，也不是必要条件.

故选项D错误.

故选B.6.【答案】D【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线

为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的直角坐标系，

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，

BC1→=(−2,0,1)，AC→=(−2,2,0).

易知AC→为平面BB1D7.【答案】D【解答】解：A中，命题“若|x|=5，则x=5”的否命题为“若|x|≠5，则x≠5”，故A不正确；

B中，由x2−5x−6=0，解得x=−1或x=6，所以“x=−1’是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故B不正确；

C中，“∃x0∈R,

3x02+2x08.【答案】D【解答】解：由题意可知，直线l的斜率存在．

当直线的斜率为零时，由于0,3为抛物线的焦点，故应有|AB|=12，所以直线的斜率存在，且不为零，

设直线l的方程为y=kx+3（k≠0），由y=kx+3,x2=12y,

消去x得，y2−(12k2+6)y+9=0，所以y1+y9.【答案】B【解答】解：先探讨当点P在椭圆上时，∠F1PF2最大时，点P的位置．

cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|

=|PF1|+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF10.【答案】D【解答】解：设A(x, y)，

因为右焦点为F(c, 0)，点B(0, b)，

线段BF与双曲线C的右支交于点A，BA→=2AF→，

所以x=2c3，y=b3，A(2c3,b3)，

代入双曲线方程，可得49×c11.【答案】D【解答】解：取B1C1，B1B中点E，F，连接A1E，A1F，EF，

则A1E//AM，EF//MN.

又因为A1E∩EF=E，

所以平面AEF//平面AMN．

又因为动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，

所以点P的轨迹为线段EF．

又因为正方体ABCD−A1B1C1D12.【答案】B【解答】解：如图，

F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，

延长F2A交PF1于点Q．

因为PA是∠F1PF2的角平分线，

所以|PQ|=|PF2|．

因为点P在双曲线上，

所以|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|−|PQ|=|QF1|=2a二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）13.【答案】−2<m<2

【解答】解：由¬p为假命题可知，p为真命题，

则Δ=m2−4×1×1<0，

解得−2<m<214.【答案】−11【解答】解：联立y=2x−2与y2=8x得，

x2−4x+1=0，

设Ax1,y1，Bx2,y15.【答案】82【解答】解：∵AC1→=AB→+BC→+CC1→，

∴16.【答案】−1【解答】解：设Ax1,y1，Bx2,y2，Dx0,y0，

则x1+x2=2x0，三、解答题（本题共计6小题，共计70分）17.【答案】解：(1)由题可知4−m2>0，

所以实数m(2)命题q：方程y23+x2m=1m>0表示焦点在y轴上的椭圆，

所以0

<

m

<3

，

当p为真，q为假时，

−2<m<2，m≤0或m≥3，

解得−2<m≤0

；

当p为假，q【解答】解：(1)由题可知4−m2>0，

所以实数m(2)命题q：方程y23+x2m=1m>0表示焦点在y轴上的椭圆，

所以0

<

m

<3

，

当p为真，q为假时，

−2<m<2，m≤0或m≥3，

解得−2<m≤0

；

当p为假，q18.【答案】解：(1)当a=1时，

由x2−4x+3<0得1<x<3，

即p:1<x<3，

由x2−x−6≤0，x2+2x−8>0，

解得−2≤x≤3，x>2或x<−4，

即2<x≤3，

即q:2<x≤3.

∵命题p和命题(2)∵p是q的必要不充分条件，

∴q是p的充分不必要条件，

由p知，A={x|a<x<3a, a>0}，

由q知，B={x|2<x≤3}，

∴B⫋A，

∴a≤2，3a>3，

即a>1，a≤2，

即1<a≤2，

即实数a的取值范围是【解答】解：(1)当a=1时，

由x2−4x+3<0得1<x<3，

即p:1<x<3，

由x2−x−6≤0，x2+2x−8>0，

解得−2≤x≤3，x>2或x<−4，

即2<x≤3，

即q:2<x≤3.

∵命题p和命题(2)∵p是q的必要不充分条件，

∴q是p的充分不必要条件，

由p知，A={x|a<x<3a, a>0}，

由q知，B={x|2<x≤3}，

∴B⫋A，

∴a≤2，3a>3，

即a>1，a≤2，

即1<a≤2，

即实数a的取值范围是19.【答案】(1)证明：因为CD⊥AD，AB//CD，所以AB⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，

所以AB⊥平面PAD，

于是AB⊥PD

.

在等腰直角三角形PAD中，PD=PA，所以PD⊥PA.

又因为AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB，

所以PD⊥PB

.

(2)解：由(1)知AB⊥平面PAD，

所以PB与平面PAD所成的角即∠APB=60∘.

结合已知可得AD=2，AB=3，PB=2，CD=23，BD=5，

可得△PBD是以BD为斜边的直角三角形．

设点C到平面PBD的距离为d，

则VC−PBD=13d×【解答】(1)证明：因为CD⊥AD，AB//CD，所以AB⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，

所以AB⊥平面PAD，

于是AB⊥PD

.

在等腰直角三角形PAD中，PD=PA，所以PD⊥PA.

又因为AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB，

所以PD⊥PB

.

(2)解：由(1)知AB⊥平面PAD，

所以PB与平面PAD所成的角即∠APB=60∘.

结合已知可得AD=2，AB=3，PB=2，CD=23，BD=5，

可得△PBD是以BD为斜边的直角三角形．

设点C到平面PBD的距离为d，

则VC−PBD=13d×20.【答案】(1)证明：在△ABD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60∘，

由余弦定理，得BD=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60∘=23，

则AD2+B(2)解：取BD的中点O，由于D1D=D1B，

所以D1O⊥BD.

由(1)可知平面D1DB⊥平面ABCD，

故D1O⊥平面ABCD.

由等腰梯形，得DC=CB，

则CO⊥BD，D1O=DD12−DO2=4−3=1，

以O为原点，分别以OB→，OC→，OD1→的方向为x，y，z

的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

则A(−3,−2,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，

D(−3,0,0)，D【解答】(1)证明：在△ABD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60∘，

由余弦定理，得BD=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60∘=23，

则AD2+B(2)解：取BD的中点O，由于D1D=D1B，

所以D1O⊥BD.

由(1)可知平面D1DB⊥平面ABCD，

故D1O⊥平面ABCD.

由等腰梯形，得DC=CB，

则CO⊥BD，D1O=DD12−DO2=4−3=1，

以O为原点，分别以OB→，OC→，OD1→的方向为x，y，z

的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

则A(−3,−2,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，

D(−3,0,0)，D21.【答案】解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，

联立x23+y2=1，y=kx+2，

消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0，

∴Δ=12k2−361+3k2=36k2−36>0，

即k2>1，

∴x1+x2=−12k1+3k2

，x【解答】解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2