2023届高三第一次模拟考试理科数学试卷（含解析）

2023届高三第一次模拟考试理科数学试卷

学校:姓名：班级：

一、单选题

1.已知复数z=l-2i,则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（）

A.（1,一2）B.（1,2）C.（—2,1）D.（一1,一2）

2.已知集合4={吊-2＜工＜3},B=Z,则4B=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{1,2,3}

3.某高职院校对2021年单招参考的4000名学生数学成绩进行统计，得到样本频率分布

直方图（如图），则数学成绩在60分以下的学生人数是（）

4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A.JIUTTB.C.VlOjt+TtD.4兀

5.函数/(x)=sink"nx2的部分图象大致为()

i—sin41°

6.tanl9o+tan41o4-V3tanl9o-------的值为（）

sin49°

A.1B.无C.一布D.G

3

7.设点P是曲线y=d—2x-ln（x-1）上任意一点，且P到直线y=工-4的最小距离为。，

若/*）=,c°s（2且有丹/（乃）］=人，则4+。二（）

eA,x<0

A.2B.C.V2+1D.3

8.如图，已知正方体48CD-AMGR中，尸为线段BQ的中点，£为线段AC上的动

点，则下列四个结论：①存在点反使封〃初九②存在点区使历/平面A4G。；

③斯与A。所成的角不可能等于60°；④三棱锥片-ACE的体积随动点〃的变化而变

化.其中正确结论的个数是（）

->2

9.已知。为坐标原点，双曲线a?-与=1仅>0）的右焦点为之，以利为直径的圆与

C的两条渐近线分别交于与原点不重合的点46,若|。4|+|。8|=¥|4邳，则的

周长为（）

A.6B.C.4+2&D.4+45/3

10.已知函数#sin2Gx+2sin58S5一百cos?血一1（公>0）,给出下列4个结

论：

①“X）的最小值是-3；

②若0=1,则/（X）在区间上单调递增；

③将y=sinx的函数图象横坐标缩短为原来的;倍，再向右平移三个单位长度，再向下

412

平移1个单位长度，可得函数y=f（x）的图象，则。=2；

④若存在互不相同的X],巧，X3G[0,7T],使得/（芭）+/（%2）+/（看）=3,则。

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②

11.己知函数/（x）=（x-l）e\若对于区间（fl）上的任意%，％，都有

|/(%,)-/(^)|<?,则()

A.r的最小值是1B.f的最小值小于1

C./的最大值是1D.这样的/的不存在

12.若a=l.llnl.l,/?=O.le01,c=,则a,b,。的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

二、填空题

13.已知向量"=（2,1）,8C=（7，M，C£>=（3,-1）,若48"三点共线，则加=

14.如图，在边长为2的正方形ABC。中，以A8的中点。为圆心，以应为半径作圆

弧，交边AD,BC于点、M,N,从正方形A8CD中任取一点，则该点落在扇形OMN中的

概率为.

15.已知双曲线E:/-（=1的左、右焦点分别为忆心，入（2,3）是£上一点，直线A片

与£的另一个交点为B,则△A8K的周长为—

16.在中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c且

sinA

bcosA-2ccosB=2bcosC-acosB贝U2----=.

fsine

三、解答题

17.已知数列｛%｝,｛〃,｝,4=2,记S"为数列｛q｝的前”项和，a"=b"bn.

条件①：1f2S+〃）是公差为2的等差数列；条件②：-1+—1=1.

从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵若J=2"•an,求数歹lj｛%｝的前"项和T„.

18.如图(1),已知边长为2的菱形46(力中N/MB=60。，沿对角线劭将其翻折，使

ZABC=90°,设此时〃1的中点为“如图(2).

(1)求证：点。是点〃在平面A8C上的射影；

(2)求点A到平面8(力的距离.

19.已知袋子中放有大小和形状相同，标号分别是0,1,2的小球，其中标号为。的小

球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球1个.从袋子中不放回地随机抽取2个

小球，记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的球标号为4记“。+6=2”为事

件4

(1)求事件4的概率；

⑵在区间［0,4］内任取2个实数x,y,求事件“Y+丁>(〃_勿2”恒成立的概率.

20.已知椭圆C：，+2=l(">b>0)经过点A(2,0),且离心率为等.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线y=x-l与椭圆C相交于P，。两点，求APAQ的值.

21.已知函数〃x)=xlnx-a(x2-l)+x.

(1)若/(x)单调递减，求a的取值范围；

⑵若有两个极值点内心，且々>2芭，证明：e6x,x^>32.

22.已知点A(-2,0),B(2,0),动点用(x,y)满足直线A”与8M的斜率积为g,记“

的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)已知直线/：丫=》-3与曲线C交于48两点，且在曲线C存在点P,使得

OA+OB=mOP>求加的值及点尸的坐标.

23.已知函数f(x)=log2(|x-1|+|》-5|一。)

⑴当a=5时，求函数/(x)的定义域；

(2)当函数f(x)的值域为R时，求实数。的取值范围.

参考答案

1.D

【分析】直接写出z在复平面内对应的点，再求关于虚轴对称的点即可.

【详解】z在复平面内对应的点为。，-2),关于虚轴对称的点是(-L-2).

故选：D.

2.C

【分析】根据集合交集的定义运算即可.

【详解】集合A={X-2<X<3},8=Z，则A{-1,0,1,2}

故选：C

3.D

【分析】根据频率分布直方图可计算得出数学成绩在60分以下的学生人数.

【详解】由频率分布直方图可知，数学成绩在60分以下的学生人数为

4000x(0.005+0.01)x10-600.

故选：D.

4.C

【分析】根据三视图判断出立体图形并根据圆锥表面积公式即可求解.

【详解】根据三视图可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1,高为3,如图:

则该几何体的表面积是兀xlxJf+32+71X1?=兀+兀.

故选：C.

5.A

【分析】先根据函数的奇偶性，可排除BD,根据当Ovxvl时，/(x)<0即可排除C得

出答案.

【详解】因为/(幻=$出|4111/(工B0),

所以/(-x)=sin|-x|-ln(-x)2=sin|x|lnx2=f(x),

所以〃x)为偶函数，故排除BD；

当0<x<l时，si明>0,inf<0,则f(x)<0,故排除C.

故选：A.

6.D

【分析】根据正切两角和公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】tan19°+tan41°+6tan19°•旬=tan190+tan410+>/3tan190•，”亚

sin49°cos41°

=tanl9°+tan41o+>/3tanl90tan410,

tan(19°+41°)=」anl90+tan41。=。=3]9。+1@41°=6-百121119工0041°,所以

')l-tanl90tan41°>[1

tanl90+tan41o+^tanl90-tan41o=5/3，

故选：D

7.C

【分析】求出曲线y=x2-2x-ln(x-l)的斜率为1的切线方程(切点坐标)，两平行线

间距离(切点到已知直线的距离)即为。，根据分段函数计算函数值得人

【详解】已知函数定义域是(1，内),

由y=x""_2x_ln(x_1)得y'=2x_2-----,由y'=2x_2------=1>解得彳=2或工=_

x-1x-12

(舍去)x=2时，y=0,切点坐标为(2,0),

12—0—4|/—

所以"布方=&'

I八COS(--X),X>071

又/(x)=J2,y(^)=cos(---7r)=0,/(/U))=/(0)=e°n=l

ex,x<02

所以“+b=y/2+I-

故选：c.

8.D

【分析】设正方体的棱长为1,以点。为坐标原点，以D4,DC,0A所在的直线为x,

儿z轴建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹

角判断异面直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出.

【详解】解：设正方体的棱长为1,以点。为坐标原点，以D4,DC,0A所在的直

线为x,九z轴建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),〃(0,0,1),AO.0,1),

试卷第6页，共18页

B«,1,I),G(o,1,1),点:

则。E=£>G+GE,而GE=/IGA(OV4MI),£>G=(oJ,i),GAo),

C,E=(A,-A,0),SiltD£=(2,1-2,1),

E=(4,1—4,1),EF=(—4,2,—),

对于①而言就是否存在实数4,使EF//BD,而BO=(-1,-1,0),I-T-T__,

A

2-----------2

止匕即这样的4不存在，，①错误；

A1—2/1

对于②而言就是否存在实数2,使EF/平面ABCQ,首先我们在平面ABC。内任意

找到两条相交直线的方向向量，不妨就找C4和G。，

2__2=Q

•一于是：即就是当E为GA的中点的时候，，②正确；

EFC}D=0

同理，对于③而言，还是判断这样的实数2是否存在，A£>l=(-l,0,l),Ef=(1-2,A,-l),

令。=60。，此即——.,=1,将上式平方解得力=1,将4回代原式结论

V2x^(--A)2+A2+—

成立，二这样的4存在；③错误；

对于④来说，E点无论在AG上怎样移动，底面AACE的高不变，故而底面面积不变，

三棱锥的高为定值，所以其体枳不会随着E点的变化而变化，故④错误.

所以正确的个数为1个.

故选：D.

【分析】结合双曲线图像对称性，可得轴，根据圆的性质和双曲线。，匕，c•的

关系可计算出|4F|,|BF|,的长度，进而求出△钻尸的周长.

【详解】设AB与x轴交于点。，由双曲线的对称性可知A6/x轴，|。4|=|08|,

\AB\=2\AD\,又因为|04|+|08|=¥恒8],所以|。4|=¥n必，即尚=等，

所以NAOF=60。，因为点A在以OF为直径的圆上，所以OALAb,所在的渐近线

方程为y=%,

a

be

点尸（c,0）到渐进线y=2x距离为4尸=京==,所以|Q4|="=2,

所以|A目=忸目=|。4%1160。=26，|初=忸0=|0小抽60。=6,所以△钻尸的周长

为|Af|+忸9|+|的+忸£）|=66,

【分析】化简得到/（力=25山（25-£|-1,/Wmin=-3,①正确，xd—R，!!）时,

2x.②正确，y=sin（4x-][-l,<y=2时不相等，③错误，2a）Tt-^>~,

试卷第8页，共18页

解得02五，④正确，得到答案.

【详解】/(x)=-y/3cos2(ox+sin2cox-1=2sin2a)x-yj-1(ty>0),

对①：当sin(2sY)=-l时，/(x)min=-3,正确；

对②：69=1,则/(x)=2sin(2xq]-1,时，e,正确;

对③：y=sin4(工一五)-1=sin[4x—1)—1,0=2时，/(x)=2sinf4x——1,不相

等，错误;

对④：/(x)=2sinf26yx-|Ul,-3</(x)<l,/(x1)+/(x2)+/(x3)=3,

71

则/&)=〃马)=/(不)=1，sin(2叫-y=sinf2COX2-三卜sin[Icox3-三)=1,

3

JT7TTTQTT29

当x=0时，2(wx—=—,故当x=7t时，2ant—>—,解得。2—,正确.

333212

故选：A

11.A

【分析】由题可得/(62-/(幻血4/，利用导数确定函数的单调性，求得最值，即可

求解.

【详解】由题意，函数/(x)=(x-l)e'对于区间(y,l)上上任意X,都有

/(可皿一/0焉金，

因为/(x)=(x-l)e",则/'(x)=xe*,且XG(YO,1),

由/'(x)<0,可得x<0,由/'(x)>0,可得0<x<l,

所以函数(—，0)上函数单调递减，在(0,1)上单调递增，

所以函数的最小值为/(0)=-1,

又当xe(fl)时〃x)=(x_l)e，<0,而/⑴=0,

所以-l"(x)<0,

所以年1,即实数f的最小值是1.

故选：A.

12.B

【分析】构造函数〃x)=(x+l)ln(x+l)-此和g(x)=(x+l)ln(x+l)-x,利用导数求

解函数的单调性，进而可比较大小.

【详解】设"x)=(x+l)ln(x+l)—xeX,则

(x)=In(x+1)+1-ev-xev=ln(x+l)+l-ev(l+x),

设〃(x)=f(x),(x)=-ex(x+2),(x>0),

由于y=(x+2),y=e"在x>0单调递增，且其值均大于0,>=占单调递减，

所以*(x)=£-e'(x+2)单调递减,又〃⑼=一1<0,所以九(x)在x>0单调递减,

且〃(0)=0,

所以在x>0时，/i(x)=r(x)<0,因此〃x)在x>0时单调递减，

故/⑼>/(0」)，即<0，即l.llnl.lvO.le11/na<b，

设g(x)=(x+l)ln(x+l)-x,g，(x)=ln(x+l)+l-1=ln(x+l),

当x>0时，g'(x)=ln(x+l)>0,所以g(x)在(0,+s)单调递增，

所以g(O.l)>g(O),g|JLllnl.l>0.1=>«>c,

综上可知c<a<6，

故选：B

【点睛】本题考查了利用导数判断大小.构造函数，利用导数研究其单调性，进而可判

断原函数的单调性.在证明不等式或者比较数的大小时，常采用两种思路：求直接求最

值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关

键.

13.6

【分析】根据给定条件，求出BQ，再利用共线向量的坐标表示计算作答.

【详解】因8C=(7,w),CD=(3,-1),则BO=8C+C£>=(10,巾-1),

又AB=(2,1),且46,。三点共线，即因止匕2(机—1)一以10=0,解得m=6,

所以机=6.

故答案为：6

14.-

8

【分析】由己知求出扇形面积与正方形面积，再由测度比是面积比得所求概率.

【详解】如图，正方形面积S=2x2=4,因0M=0,OA=1,故AM=1,

试卷第10页，共18页

所以44OM=三，同理NNOB=^,所以NMON=%,

442

又OM=0>S扇制ON=5x耳x（应）-=—.

7T

・••从正方形ABCO中任取一点，则该点落在扇形OMN中的概率为尸=，=工.

~4-8

故答案为!.

0

【点睛】本题考查几何概型，求出扇形面积是关键，是基础题.

15.10

【分析】根据双曲线的定义，|8甲-怛耳|=2,|*|-|但|=2,从而巴|=2+怛周，

又I伍1=3,得|A3|=|前|-忸娟=5-怛周，故|8心|+|A例=7,即可得AAS不的周长.

【详解】由题意，点A（2,3）在双曲线E的右支上，点8在双曲线E的左支上，

根据双曲线的定义，|3不一忸耳|=2,|做|-|明|=2,

从而|明上2+|明又4（2,3）,6（2,0）,|你|=3,

IAB\=\AFl\-\BFl\=\AF2\+2-\BFi\=5-\BFl\,故|Bg|+|AB|=7,

所以△48月的周长=|BF2\+\AB\+\AF21=7+3=10,

故答案为：10.

16.1

【分析】利用正弦定理化边为角，再逆用两角和的正弦公式化简，结合三角形的内角和

以及诱导公式即可求解.

【详解】SbcosA-2ccosB=2Z?cosC-acosB,

由正弦定理可得：sinSeosA-2sinCeosB=2sinBcosC-sinAcosB,

即sinBcosA+sinAcosB=2sinBcosC+2sinCeosB,

所以sin（A+8）=2sin（8+C）,

在"。中，因为A+8+C=TI,

所以sin（兀一C）=2sin（兀一A）,即sinC=2sinA,

故答案为：y

17.(1)a/t=n+l

(2)7；=n-2"'

【分析】(1)选①：由S“与。”的关系即可求解；选②：由等差数列的定义即可求;

(2)利用错位相减法即可求解.

【详解】(1)因为S“为数列｛%｝的前〃项和，所以岳=4=2.

选择条件①：因为｛乎+〃)是公差为2的等差数列，

首项为?+1=华+1=5,

所以--+/?=5+(A?-1)x2=2/1+3,

整理，得2S“=〃2+3〃，

所以2S,I=(〃-1)2+3(〃-1),"42,

所以2a“=2(S,,-S,,_J=["2+3〃_(〃_i)2_3(〃T]=2〃+2,

所以a”=〃+l,当〃=1时也符合4=2,

所以4,=〃+1;

选择条件②：因为勺=々包&H，所以4i=b自4比一,

所以%=聆

a„-\4她hn-l

11a„,1

所以7+1=,+1=1，整理，得…二=1，

所以｛%｝是以4=2为首项，公差为1的等差数列，

所以a“=2+(〃-l)xl=〃+l,

即4,=〃+1.

(2)由(1)知所以%=2"-a“=(〃+1>2",

所以】=q+C2+...+q,,

所以7；=2x2,+3x2?+...+(”+1)x2",

所以21=2x22+3x23+...+(〃+1)X2"+I,

所以—1=4+22+23+...+2"—(〃+1)X2"M,

试卷第12页，共18页

所以_/=4+2(；一；)_(〃+1)>2'用，

整理，得Z,=〃-2"M.

18.(1)证明见解析

⑵巡

3

【分析】(1)连接〃0,B0,利用勾股定理证明再证明。平面ABC,即

可得证；

(2)利用等体积法求解即可.

【详解】(1)连接〃。，因为ZM=OC,。为IC的中点，所以ZXJLAC,

设菱形四(/的边长为2,

又因为NA8C=90。，所以AC=2收，连接W，则80=&，

又因为D4=OC=2,AC=2应，所以+所以D4_L/5C,

所以OO=及>

又BD=2,所以DO'+OB2=DB2,所以。OJLO8,

又AC-08=0,ACu平面ABC,OBu平面ABC,所以DOJ■平面ABC,

所以点。是点〃在平面ABC上的射影；

(2)设点/到平面65的距离为方，

由菱形4腼的边长为2,且/D43=60。，

则△BCD的面积为，BCx£>Cxsin6(T=!x2x2x且，

222

则匕BCD=LsQ=Bh,-ABC的面积为LBCXA8=1X2X2=2,

由(1)知，DO_L平面ABC,DO=V2,

Ii,6

所以％-ABC=§*5^叱。。=§*2*垃=与-，

由匕-3CD=%-A3C得，所以/,=挛，

333

即点A到平面BCD的跑离为逃.

3

19.⑴g；

⑵Y

【分析】（1）将标号为。的小球记为0,标号为1的小球记为A，4,标号为2的小球

记为2,再用坐标表示取球情况，可得取球总情况数”，则尸（4）=."卜士［:2）:

（2）设事件“一+丫2>（“-"2恒成立”为事件反由题可得事件6等价于“f+y2>4

恒成立”，又全部结果构成区域为。={（乂丫）|04左44,04丫44},事件6所构成的区域

22

B={（x,y）\x+y>4,x,yeC},则所求概率为两区域面积之比.

【详解】（1）将标号为o的小球记为0,标号为1的小球记为A，4,标号为2的小球

记为2,则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果：（0,4），（0，a），

（O,2）,（A，O）,（A，4）,（A，2）,（4,O）,（4,A），（A，2）,（2,0）,（2,A）,（2,4）,共

12种.其中满足ua+b=2n的有（0,2）,（2,0）,（A，&），（4,A）,共4种.

故P（4）=g;

⑵设事件”/+卡>（〃-4恒成立”为事件6,因=4,故事件6等价

LJmax

于x?+y2>4恒成立.又全部结果构成区域C={（x,y）|O4x44,O4y44},事件6所构成

的区域B={(x,y)k2+y2>4,x,yec},如下图所示.

494兀

则必学

r21

20.（1）Fy2=1；（2）—.

45

【分析】⑴根据题意得。=2,3=B,再结合〃=。2+。2即可求得答案；

a2

（2）联立直线、椭圆方程可得P，。两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.

试卷第14页，共18页

【详解】(1)椭圆C:3+方=1(。>人>0)经过点A(2,0),所以4=2,

因为离心率为=£=£,所以C=J^,所以从=々2_。2=4-3=1,

2a2

所以椭圆。的方程为X+y2=i.

4

，2

—+y2=18

(2)由{4•得5/-8%=0,解得斗=不％2=0，

y=x-l5

,8

*-5=0

所以Q」或八II，

y=一8一1=-3⑺y.=0-1=-1

I55

可得哈|),G(o,-i),或者碓,|),P(O,-I),

431

所以AP.4Q=(|一2]=

2,5-

21.(1)+8)5-5-

(2)证明见解析

【分析】⑴/(x)=lnx-2av+2(x>。),因为/(%)单调递减,所以析(%)=lnx-2ox+2W0

在x>0时恒成立，即2a2叱2,令g(x)=@9(x>0),问题转化为求g(x)的最值,

利用导数求解即可；

(2)由题意可知且々>2与>0,要证明e'%£>32,只需证明

fInX.-2ax,+2=0,八Inx.-Inx.

In%+21nx2=51n2-6.由<得2。=---------,所以Inx+Zlnx?

[InX,-2ax)+2=0,X)-x2

In'、zx

=五+2_6令「=&,re0,：,则需证明四_«+2)>51n2.令

五}&I2Jt-\

xi

2

/z⑺==(f+2),则3仆一"3bl'_7+1,令"Q)=f-31nr-2+1,可求得〃⑺<0,从

"1帅-(一])2t

而W)在时单调递减，所以〃⑺〉吗)=51n2,原不等式即可得证.

【详解】(1)由/(x)=xlnx-a(f-])+x得/<x)=]nx—2ar+2(x>0),

因为/（幻单调递减，所以r（x）=lnx-2G:+2二0在工＞0时恒成立,

-lnx+2.1nx+2,八⑺，‘、-lnx-1

BP2a>------,令g(x)=------(x>0),则g(x)=-------,

xX

可知0<x<，时，g(x)>0,g(x)单调递增；x>-3i,gXx)<0,g(x)单调递减,

ee

则X=/时g(x)取最大值g(：)=e,所以为Ne,

所以，a的取值范围是］，+8).

(2)由(1)知，当a2］时，“X)单调递减，不合题意；

因为函数/*)有两个极值点不，三，贝11/'0)=111%—20¥+2(刀>0)有两个零点与,三，

令e(x)=/"(x)=lnx—2ar+2(x>0),”(力=—2a,

当aWO时，”(力>0,租(x)单调递增，不合题意,

可知0<a<］,且%>2玉>0,

要证明>32,只需证明In玉+21nx2=5In2-6.

lnx)-2ax1+2=0,得y则2aIn再-Inx2

XX

Inx2-2ax2+2=0,[lnx2=2ax2-2,l-2

所以，In内+21nx2=%(玉+24)―6=^^~+2x2)-6=——+2-6.

X\~X2五一1I工2)

工2

令'二手，则，［叼1)，要证明1呻+21噜>51n2-6,需证明

---(/+2)>5In2.

2

2

令〃⑺=昔。+2),且小(0,£|,则/⑴：‘一3"'-/+1,

令〃⑺=f-31nr-：+l,且则/⑴=]—；+擀=2)>0,

则«(0在te(0,；)时单调递增，故«(/)<“(g)=g+31n2-3<0,

故“⑺<0，则/7。)在fe(0,；)时单调递减，

所以，/2(r)>/z(1)=5In2,即詈(f+2)>51n2,则有In^+21nx2>51n2-6,

所以e6入考>32,即原不等式成立.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：(1)构造差函数，根据差函数

导函数符号，确定差函数的单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2)

根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代

换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明.

22.(DC：工-工=1(x*i2),C是除去左右两个端点的双曲线

42

试卷第16页，共18页

⑵机=3立时，尸(20,&),当机=-3&时，P(-2A/2,-72).

【分析】(1)利用斜率公式列出方程即可；

(2)将直线/与曲线C联立消去九设A0,%)]。?,必)，利用韦达定理得再+%和

M+必，再设2玉>,乂>),由。A+O3=mOP列方程解出机的值即可.

【详解】(1)动点”(x,y)满足直线A"与BM的斜率积为3

上x上」

元+2x—22

22

即C：—-^=1(x*±2),C是除去左右两个端点的双曲线

42

卜=x-3

(2)将直线/与曲线C联立丁—得X2—12X+22=0,

设A(x”y),B(x2,y2),则x,+x2=l2,yt+y2=xl+x,-6=6,

设P(%,%),由CM+OB=mOP得(为+W，芳+%)=(叫，”%)，

即-r°=：2,又因为5-¥=[,解得疗=18,

[my^=642

所以当根=3&时，42立,0),当〃?=_30时，P(-2应，-吟.

⑵[4,同

【分析】(1)利用零点分段法解不等式，求出函数/(x)的定义域；

(2)由/(幻的值域为R得到卜-1|+|犬-5卜。能取遍所有正数，结合绝对值三角不等式

得到卜-1|+|%-5|-4"-"，故4-a40,求出实数。的取值范围.

【详解】⑴当a=5时，令卜-1|巾-5卜5>0,

fx<1…fl<x<5[x>5-

即।<〈八①，或।<<n②，或।<<。③，

[1—x+5—x—5>0[x-1+5—x—5>01x—1+x—5—5>0

解①得：X<g，解②得：0，解③得：X>y,

所以定义域为18,2卜(5，+°°]；

(2)因为f(x)=log,(|x-]\+\x-5\-a)的值域为R,

故卜一岫-5|-a能取遍所有正数,

由绝对值三角不等式|x-l|+|x-5卜“2卜-17+5卜。=4-4,

故4一。40,所以。24,故实数。的取值范围是［4,”）.

2023届高三第一次模拟考试数学试卷

学校:姓名:班级:

一、单选题

已知集合A={x|3_%<1},8=卜,=&-4d

1.，则AB=()

A.0B.[4,+co)C.(2,+oo)D.［。,2）

设复数Z满足：z(6+8i)=sin®+icos'[兀<9<曰],贝ij|z|=

2.)

A.C.---cos0D.---sin20

101010

3.为了给地球减负，提高资源利用率，垃圾分类在全国渐成风尚,假设2021年43两

市全年用于垃圾分类的资金均为。万元.在此基础上，A市每年投入的资金比上一年增

长20%,8市每年投入的资金比上一年增长50%,则8市用于垃圾分类的资金开始超

过A市的两倍的年份是（）（参考数据：1g2=0.3010）

A.2022年B.2023年C.2024年D.2025年

4.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是（4,1）和（-2,3）,则圆C的方程是（）

A.（x+IF+（y+2）2=10B.（rl>+（广2）2=40

C.(k1>+(广2>=10D.(x+1)2+(>,+2)2=40

5.在平行四边形/及笫中，然与加交于点0,£是线段划的中点，若AC=a，BD=b,

则4E等于（）

11,2rIf八11,12,

A.—a+—bB.-a+—hC.—a■—bD.-a-\■—b

42332433

6.考察下列两个问题：①已知随机变量X且E（X）=4,D（X）=2,记

P（X=l）=a；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设力

表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记

P（AIB）=b,则（）

试卷第18页，共18页

A.a=b'B.a=b4C.a=h5D.a=b6

7.已知log1,2021>log.2021>0,则下列结论正确的序号是（）

①0.2"v0.2”，②，■>、•，®\nb+a>\na+b,④若机>0,则/<

abbb+m：+一

A.①②B.①③C.①④D.②④

8.已知函数〃x）=sin（2x+，］+cos（2x-F）给出下列结论：①〃x）的最小正周期

为兀；②点［-奈。），是函数“X）的一个对称中心；③“X）在,上是增函数；

④把y=2sin2x的图象向左平移上个单位长度就可以得到f（x）的图象，则正确的是（）

A.①②B.③④C.①②③D,①②③④

二、多选题

9.某同学用搜集到的六组数据a，y）（i=l,2,,6）绘制了如下散点图，在这六个点中去

掉8点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（）

.A

.C

.D

B止rr

~OX

A.决定系数&变小B.相关系数厂的绝对值越趋于1

c.残差平方和变小D.解释变量％与预报变量y相关性变弱

10.记max｛a,6｝=j/7“，己知x,ye父，且xy+2x+y=16,则下列结论正确的为（）

A.晒的最小值为8B.2x+y的最小值为8

C.x+y的最小值为6a-3I）.max｛x+l,2y+4｝的最小值为6

11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1,1,2,

3,5,…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数

组成的数列｛4｝称为“斐波那契数列”，记为数列｛%｝的前n项和,则下列结论正确

的是（）

A.&=8B.S?=33

C.〃|+%+---《9=。20D.%+°4+4---a20=E9

12.在如图所示的棱长为1的正方体ABCC-4BC。中，点P在侧面8CC内所在的平

面上运动，则下列命题中正确的（）

A.若点P总满足曰，比>,则动点P的轨迹是一条直线

B.若点P到点A的距离为0,则动点P的轨迹是一个周长为2兀的圆

C.若点P到直线A8的距离与到点C的距离之和为1,则动点尸的轨迹是椭圆

D.若点P到平面如4与到直线的距离相等，则动点尸的轨迹抛物线.

三、填空题

13.已知函数/（x）=log〃x,若/（1）=1,则。=____.

14.己知二项式（次+L）"的展开式中各项系数和为256,则展开式中的常数项为.

X

（用数字作答）

15.设函数/（力=侬"-翻0>0）,若“木/仁卜寸任意的实数x都成立，则0

的最小值为.

16.已知M是抛物线y，=4x上一点，尸为其焦点，点A在圆C:（x-6）2+（y+l）2=1上，

则|M41+1|的最小值是.

四、解答题

17.在_ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且〃=人ccosC+c2cos8.

⑴若——-=2tanC-l,求角3的值；

tanA

⑵若JlfiC外接圆的周长为8n,求一ABC面积的取值范围.

18.已知数列｛%｝的首项4>0,前”项和为S,,且满足=5+S,,,数歹IJ｛2｝满足4=2,

对任意的〃?，neN*,都有％“=£+2.

⑴求数列｛4｝,但｝的通项公式；

⑵若c“吟,数列｛%｝的前*项和为7；,求却

n

19.如图所示，正方形与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AO=2,E为线

段A8上一点.

试卷第20页，共18页

(1)求证：DtELAtD;

(2)在线段A8上是否存在点E,使二面角。-EC-。的大小为g?若存在，求出AE的

6

长；若不存在，说明理由.

20.2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红

包50个，产生的手气红包频数分布表如下：

金额分组[L5)[5,9)[9，13)[13,17)[17,21)[21,25)

频数39171182

(1)求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；

(2)估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率.

①若红包金额在区间［21,25］内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的

概率；

②随机抽取手气红包金额在［l,5)u［21,25］内的两名幸运者，设其手气金额分别为用，n,

求事件“帆-〃|>16”的概率.

2

21.已知双曲线E:*■V-专■=1的焦距为4,以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线

X-y+#=0相切.

(1)求双曲线E的方程；

(2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点过点M任意作一

条直线/交双曲线E于P,。两点，使FPFQ为定值？若存在，求出此定值和所有的定

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

22.已知函数/(x)=ln(ox+6)-x+l.

(1)当”=b=l时，讨论函数，(x)的单调性；

⑵若/(x)40,求时的最大值.

试卷第22页，共18页

参考答案

1.c

【分析】根据一元一次不等式可解得集合A,再根据函数值域求法可求得集合B,由交

集运算即可得出结果.

【详解】由题意可得A={x|x>2},

由函数值域可得3={小20},

所以AcB={x|x>2}.

故选：C

2.B

zi_zi

【分析】根据复数的运算法则