第23章 解直角三角形全章复习攻略与检测卷（解析版）

第23章解直角三角形全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习二种方法【4个专题】1.锐角三角函数的概念2.特殊角的三角函数值与实数的运算3.解直角三角形4.解直角三角形的实际应用【3种思想】1.数形结合思想2.方程思想3.分类讨论思想【检测卷】【倍速学习二种方法】【4个专题】1.锐角三角函数的概念【例1】．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）已知为锐角，，求的值．【答案】【分析】根据，，可得，，代入所求式子可得答案．【详解】解：为锐角，，得，．．【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用，是解题关键．【变式】．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知的三个顶点均在格点上，则．【答案】【分析】作的高．利用勾股定理求出，可得结论．【详解】解：如图，作的高，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2.特殊角的三角函数值与实数的运算【例2】．（2023•池州模拟）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确化简各数是解题关键．【变式】．（2023·安徽亳州·统考三模）计算：．【答案】【分析】先根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂化简各式，然后再进行加减计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．3.解直角三角形【例3】在中，已知D为AB中点，，ACCD，求sinA的值．AABCD【答案】．【解析】解：过点作，交BC边于点E．∵，∴． ∵，ACCD， ∴， ∴． ∵D为AB中点， ∴． 设，则，． 在中，，∴．【总结】1、本题还有一种辅助线的方法，如图． 2、添辅助线的原则是： ①将特殊角构造到直角三角形中；添加辅助线之后要能包含基本图形．【变式1】在中，，AC=BC，AD是BC上的中线，求与的值．【答案】，．【解析】解：过点作，交AB于点E． 设，则，． 在中，， 在中，， 在中，，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴ 在中，，．【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比．【变式2】在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，，，四边形ABCD的面积为，求AD的长．AABCD【答案】．【解析】解：延长和相交于点． ∵，，∴． 在中，，∴，∴，； ∵，∴，∴． ∵四边形ABCD的面积为， ∴， ∴． ∴．【总结】当看到30°和60°这些特殊角时，要想办法把它们构造到一个直角三角形中．4.解直角三角形的实际应用【例4】．（2023•金安区一模）如图，某旅游景区开发一个三角形养殖池塘，记为△ABC，为方便游客垂钓，修建了栈道AD，已知∠C＝30°，∠ADB＝70°，AC＝200米，求栈道AD的长．（参考数据：≈1.41，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果取整数）【分析】过点A作AE⊥BC，先在Rt△ACE中利用直角三角形的边角间关系求出AE，再在Rt△ADE中利用直角三角形的边角间关系求出AD．【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为点E，在Rt△ACE中，∵sinC＝，∴AE＝sin30°×AC＝×200＝100米．在Rt△ADE中，∵∠ADB＝70°，∴∠DAB＝20°．∵cos∠DAE＝，∴AD＝≈≈106.4≈106（米）．答：栈道AD的长约为106米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．【变式1】．（2023•舒城县模拟）如图，为测量某建筑物的高度，某人在点F处测得建筑物顶端C处的仰角为37°，往前走10米到达点G处，测得建筑物顶端C处的仰角为45°，已知测量工具距离地面的高度AF为1.7米，求这个建筑物的高度DE．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，）【分析】如图，过点B作BI⊥DE分别交建筑物于点H、I．设BH＝x米，则DI＝CH＝x米，根据三角函数的定义得到x＝30，根据矩形的性质得到IE＝AF＝1.7米，于是得到结论．【解答】解：如图，过点B作BI⊥DE分别交建筑物于点H、I．由题意得：∠CAB＝37°，∠CBH＝45°，AB＝10米，AF＝1.7米．设BH＝x米，则DI＝CH＝x米，在Rt△CHA中，∠CHA＝90°，∵5，∴x≈0.75（x+10），解得x＝30，又∵四边形IEFA为矩形，∴IE＝AF＝1.7米，此时DE＝30+1.7＝31.7≈32（米），答：这个建筑物的高度DE约为32米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角，能构造直角三角形是解此题的关键．【变式2】．（2023•庐阳区校级三模）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视．小燕和小慧五一假期出外门旅游，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，她们想知道风力发电机塔架的高度．如图，小燕站在C点测得C点与塔底D点的距离为25米，小慧站在斜坡BC的坡顶B处，测得轮毂A点的仰角α＝38°，已知斜坡BC的坡度i＝：1，坡面BC长30米，请根据测量结果帮她们计算风力发电机塔架AD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）【分析】过点B作BE⊥DC，垂足为E，过点B作BF⊥AD，垂足为F，根据题意可得：BE＝DF，BF＝ED，CD＝25米，再根据已知可得：在Rt△BEC中，tan∠BCE＝，从而可得∠BCE＝60°，然后利用锐角三角函数的定义求出BE，CE的长，从而求出ED的长，再在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B作BE⊥DC，垂足为E，过点B作BF⊥AD，垂足为F，由题意得：BE＝DF，BF＝ED，CD＝25米，∵斜坡BC的坡度i＝：1，∴＝，在Rt△BEC中，tan∠BCE＝＝，∴∠BCE＝60°，∵BC＝30米，∴BE＝BC•sin60°＝30×＝15（米），CE＝BC•cos60°＝30×＝15（米），∴DF＝BE＝15米，BF＝DE＝EC+CD＝40（米），在Rt△ABF中，∠ABF＝38°，∴AF＝BF•tan38°≈40×0.78＝31.2（米），∴AD＝AF+DF＝31.2+15≈57.2（米），∴风力发电机塔架AD的高度约为57.2米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式3】．（2023•合肥三模）如图，在某居民楼AB的正前方8m处有一生活超市CD，在生活超市的顶端C处测得居民楼顶端A的仰角为67°，测得居民楼底端B的俯角为22°，求居民楼AB的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CE＝BD＝8m，然后分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意得：CE＝BD＝8m，在Rt△ACE中，∠ACE＝67°，∴AE＝CE•tan67°≈8×2.36＝18.88（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝22°，∴BE＝CE•tan22°≈8×0.4＝3.2（m），∴AB＝AE+BE＝18.88+3.2≈22.1（m），答：居民楼AB的高度约为22.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式4】．（2023•郊区校级模拟）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处，测得A处在博物馆C的南偏东35°方向，B处在博物馆C的东南方向．（1）请计算博物馆C到B处的距离．（结果保留整数）（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道，通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）【分析】（1）过点C作CF⊥AB于点F，则∠A＝35°，∠CBF＝45°，设CF＝xm，则FA＝（x+184）m，根据，解方程即可；（2）：过点C作CH⊥BE于点H，则∠CBE＝60°，利用CH＝BC×sin∠CBE解题即可．【解答】解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，由题意得：∠A＝35°，∠CBF＝45°，设CF＝xm，则FB＝xm，即FA＝（x+184）m，，在Rt△AFC中，∠A＝35°，∴，即CF＝FA×tan∠A，∴x≈0.70×（x+184）解得：x≈429.3m，∴；答：博物馆C到B处的距离为605米．（2）过点C作CH⊥BE于点H，由题意得：∠DBE＝15°，∴∠CBE＝∠CBF+∠DBE＝45°+15°＝60°，在Rt△AEH中，BC＝605m，∴，答：博物馆C周围至少523.3米内不能铺设轨道．【点评】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，能构造直角三角形计算是解题的关键．【4种思想】1.数形结合思想【例5】（2020•安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴tan42.0°＝≈0.9，∴AD≈0.9BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴tan36.9°＝≈0.75，∴CD≈0.75BD，∵AC＝AD﹣CD，∴15＝0.15BD，∴BD＝100（米），∴CD＝0.75BD＝75（米），答：山高CD为75米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．【变式】．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过、两点，

(1)求抛物线的解析式：(2)如图2，过点作轴于点，连接，将沿翻折使点落在点处，求出点的坐标，并判断点是否在抛物线上；(3)如图3，在（2）的条件下，连接和，其中与交于点，试直接写出的值．【答案】(1)；(2)，点D是在抛物线上；(3)．【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的解析式；（2）由翻折得，则，，设点的坐标为，根据两点的距离公式可得，的值，即可判断点是否在抛物线上；（3）连接，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，求出，的长，即可得出的值．【详解】（1）解：抛物线过、两点，，解得，抛物线的解析式为；（2）解：由翻折得，，轴于点，，，设点的坐标为，，解得或（舍去），点的坐标为，当时，，点是在抛物线上；（3）解：连接，

由（2）知点的坐标为，，轴于点，，，，，，是直角三角形，．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，翻折的性质，直角三角形的性质，正切函数的定义，数形结合是解决此题的关键．2.方程思想【例6】．（2023•包河区三模）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处测得河的北岸点B在其北偏东13°方向，然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东53°方向，求河宽．（结果精确到0.1，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，tan77°≈4.33）【分析】过B作BD⊥CA于D，设AD＝x米，则在Rt△ABD中得到BD＝4.33x，在Rt△CBD中，得到，解方程即可．【解答】解：过B作BD⊥CA于D，设AD＝x米，在Rt△ABD中，∵，即，∴BD＝4.33x，在Rt△CBD中，∵，即，∴0.75（80+x）≈4.33x，解得x≈16.76，∴BD＝4.33x＝4.33×16.76≈72.6（米）．答：河宽大约为72.6米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键．【变式】（2023•庐阳区校级三模）如图，灯塔B位于港口A的北偏东67.4°方向，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为18km．一艘轮船在港口A的正南方向距港口46km的D处，测得灯塔C在轮船北偏东37.0°方向上，求港口A距离灯塔B有多远？（结果取整数）（参考数据：sin67.4°＝，cos67.4°＝，tan67.4°＝，sin37.0°＝，cos37.0°＝，tan37.0°＝）【分析】延长CB交DA的延长线于E，由题意得，∠E＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CB交DA的延长线于E，由题意得，∠E＝90°，∠BAE＝67.4°，设AB＝xkm，∴BE＝AB•sin67.4°＝（km），AE＝AB•cos67.4°＝x（km），∵BC＝18km，∴CE＝BE+BC＝（+18）km，∴DE＝CE÷tan37°＝（+18）（km），∴AD＝DE﹣AE＝（+18）﹣x＝46，解得x＝26，答：港口A距离灯塔B有26km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．3.分类讨论思想【例7】（2023·上海·一模）如图，在中，，，，，平分交边于点D，点E是边上的一个动点（不与B、C重合），F是边上一点，且，与相交于点G．

(1)求证：；(2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)见解析(2)y=(3)的长为1或【分析】（1）要证，只需证，只需证到，．由，平分∠ABC可证到；由可证到，问题解决．（2）作的垂直平分线交于点M，交于点N，易证，从而可以证到，可得．只需用x、y表示出、，问题就得以解决．（3）当是以为腰的等腰三角形时，可分和两种情况讨论．当时，由可得，从而可以得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值；当时，易证，过点F作，垂足为H，则有，结合，就可得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值．【详解】（1）证明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分线交于点M，交于点N，如图2，

则有．在中，，则．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如图3，

∵（已证），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．则有．解得：（舍），．②，过点F作，垂足为H，如图4，

∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．则有．∴，．∵，∴．综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的长为1或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、用因式分解法解一元二次方程、锐角三角函数的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质、垂直平分线的性质等知识，综合性非常强．而作的垂直平分线交于点M，进而证到是解决第二小题和第三小题的关键．【检测卷】一、单选题1．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：∴∴∴．故选：D．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的性质求解即可．【详解】在中，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解．3．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，，则有（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，设，则，可得，再利用锐角的三角函数的定义逐一求解即可．【详解】解：∵，∴，设，则，∴，∴，，，；∴A，B，C不符合题意，D符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是求解锐角的三角函数值，熟记锐角的三角函数的定义是解本题的关键．4．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（

）

A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】如图，连接，由正方形的性质可得：，，，再求解的正切即可.【详解】解：如图，连接，

由正方形的性质可得：，，，∴，故选D.【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟练构建需要的直角三角形是解本题的关键.5．（2022秋·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】在直角中利用正切函数的定义即可求解．【详解】解：过A作于D，

在直角中，，，则．故选：B．【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键．6．（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案．【详解】解：在中，，，设，则，∴．故选：A．

【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．7．（2022春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，在中，，，为上一点且：：，于，连接，则的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】的值就是直角中，与的比值，设，则与就可以用表示出来．就可以求解．【详解】解：根据题意：在中，，，，∴，：：，，，设，则，在中有，．则．故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．8．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，，，，则的值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点A作交于点D，先根据三角函数求出，再根据勾股定理求出，进而可得出答案．【详解】解：过点A作交于点D，

∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．9．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，为边上的点，为等边三角形，，，则的值为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作于点，于点，解直角，得出，证明，得出，再求出，，然后利用正切函数定义即可求解．【详解】如图，作于点，于点，

∵，，∴，∴．∵为等边三角形，∴，，∵，，∴，在与中，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．故选：．【点睛】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键．10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在矩形和矩形中，，且，连接交于点M，连接交于点N，交于点O，则下列结论不正确的是(

)

A． B．当时，C．当时， D．当时，【答案】C【分析】由矩形的性质得，则，证明，则，根据，可得，，即，进而可判断A的正误；证明，则，即，由，可得，进而可判断B的正误；如图，连接，，则，由，，可得，则，与矛盾，进而可判断C的正误；如图，作的延长线于，则，，，根据，计算求解，进而可判断D的正误．【详解】解：由矩形的性质得，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，故A正确，故不符合要求；∵，，∴，∴，即，∵，∴，故B正确，故不符合要求；如图，连接，

∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，与矛盾，∴与不相似，故C错误，故符合要求；如图，作的延长线于，∵，∴，∴，，∴，故D正确，故不符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，正切，正弦，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．二、填空题11．（2023·安徽宣城·安徽省宣城市第三中学校考模拟预测）计算：．【答案】/【分析】直接利用三角函数值和有理数的乘方计算即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的运算，熟记锐角三角函数值及实数的运算法则是解题的关键．12．（2023·安徽·九年级校联考专题练习）如图，在中，，，点的坐标为，若反比例函数经过点．则．

【答案】【分析】解直角三角形求出点坐标，然后用待定系数法求出解析式．【详解】解：如图所示，过作于点，

∵点的坐标为，∴，在中，，，∴，，在中，，，∴，，∴点的坐标为，∵反比例函数经过点，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解直角三角形，求得的坐标是解题的关键．13．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知过点的抛物线与坐标轴交于点A、C如图所示，连结，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P，当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为．

【答案】（，）或【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，过点M作于E，

∵抛物线过点，∴，∴，∴点，抛物线解析式为，当时，则，∴，∴点，∵点，点，点，∴，∵，∴，设点，∴，当时，，∴，∴，∴，∴点，当时，∴，∴，∴，∴点，综上所述：点M坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，二次函数的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．14．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别在边，上，且，交于点，交于点．(1)连接，则的度数为；(2)若是的中点，则．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正方形的性质，，则，，得，，可得，即可得；（2）过作交延长线于，，DF＝1，，根据勾股定理得：，解出的值；再根据，即可．【详解】（1）∵四边形是正方形，是对角线，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2）过作交延长线于，如图：∵四边形是正方形，∴，，∴，，在和中，∴，∴，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，，∵正方形的边长为，∴，，设，∴，，在中，，∴，解得，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、旋转变换、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造全等三角形．三、解答题15．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）计算：．【答案】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．16．（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）梿枷，指一种农具或武术器具，在一个长木柄上装上一排木条或竹条，可用来打谷脱粒，如图1，梿枷起源于我国，历史悠久，最早在《国语·齐语》中有记载．图2是该种劳动工具生产过程中某一的刻的间意图，梿枷的最低点距地面，梿机的杆身长，．当，时，求此时点离地面的距离．（结果精确到0.01）（参考数据：，，，，，）

【答案】【分析】分别过点，作平行地面的直线、，则，分别过点，作，，垂足分别为点，，由平行线的性质可得，从而得到，再分别求出的长，即可得到答案．【详解】解：如图，分别过点，作平行地面的直线、，则，分别过点，作，，垂足分别为点，，

，，，，在中，，在中，，此时点离地面的距离为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，理解题意，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．17．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）为缓解“停车难”的问题，某单位拟建筑地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算．（精确到）（下列数据提供参考：，，）

【答案】【分析】由题意知，，则，，由，可得，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∴，∴，∵，∴，∴．答：的长约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于明确角度，线段之间的数量关系．18．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一架5m长的梯子．

(1)当梯子底端距离墙面2m时，人能否安全地使用这架梯子？(2)若人站在梯子上，伸出手臂，最高可以够到梯子顶端上方25cm处的物体，使用这架梯子能安全够到墙上距离地面5m处的物体吗？（参考数据：．）【答案】(1)此时人能够安全地使用这架梯子，理由见解析(2)能安全够到距离地面5m处的物体，理由见解析【分析】（1）解得到，由此即可得到答案；（2）解得到，则当时，的最大值为4.85米，从而得出结论．【详解】（1）解：由题意，得：，，在中，，，∴，∵，∴此时人能够安全地使用这架梯子；（2）∵，∴当时，这架梯子可以安全攀上的墙高度最大，在中，，，∴，∴使用这架梯子最高可以够到墙上处的物体，∴能安全够到距离地面5m处的物体．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）超速行驶是引发交通事故的主要原因，寒假期间，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到习友路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且，．(1)求的值（结果精确到米）；(2)请判断此车是否超过了习友路每小时60千米的限制速度？（参考数据：，）【答案】(1)73米(2)超过了习友路每小时60千米的限制速度【分析】（1）根据题意得出米，，则米，米，最后根据，即可求解；（2）根据速度=路程÷时间，求出此车的速度，即可解答．【详解】（1）解：根据题意可得：米，，∵，∴（米），∵，∴（米），∴（米），（2）解：（米/秒），米/秒千米/小时，∵千米/小时千米/小时，∴超过了习友路每小时60千米的限制速度．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，以及熟记各个特殊角度的锐角三角函数值．20．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，M、N分别是的中点，，连接交于点O．

(1)求证：；(2)求证：四边形为菱形；(3)过点C作于点E，交于点P，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，利用证得；（2）利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法证明即可．（3）易求得，然后由含角的直角三角形的性质求解即可求得答案．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵M、N分别是的中点，∴，∵在和中，，∴；（2）证明：∵M是的中点，，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形．（3）解：∵M是的中点，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．（2023·安徽宿州·校考一模）如图，直线分别交轴、轴于点，，抛物线经过点和点，且与轴交于点，为抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在第二象限时，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标；(3)过点作，垂足为，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先由直线求得点C坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求得点，进而求得，由得到，设，，过P作轴交直线于点Q，则，，由列方程求得m即可；（3）连接，易求得，在中，，则，分①点P在直线下方时，②点P在直线上方时，分别画出对应图形，利用相似三角形的判定与性质求得点M的坐标，进而求得直线的解析式，与抛物线解析式联立方程组求解即可．【详解】（1）解：∵直线交y轴于点C，∴，∵抛物线经过点和点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：在直线中，由得，∴，又，，∴，，则，∵，∴，设，，如图，过P作轴交直线于点Q，

则，∴，∵，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴6，∴；（3）解：存在点P，使．如图2，连接，由得，，∴，则，∵，，∴，，∴，，∴，则，∵，∴，在中，，则，①当P在直线下方时，如图，过D作交延长线于M，则，

∴，则，过M作轴于N，则，∴，∴，∴，则，，，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，由得，（舍去），则点P的横坐标为；②当P在直线上方时，如图，过D作交延长线于M，过M作轴于N，则，

与①同理，得，，∴，则，，，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析