环境水利学第3章 随流扩散与紊动扩散 (5)

第三节紊流统计量和紊流尺度

脉动性：各种流动参量如流速、压力等的值呈现强烈的脉动现象，具有一定的随机性不规则性：流体质点做极不规则的运动扩散性：流体的各项特性如动量、能量、温度和含有物质的浓度等通过紊动向各方向传递三维有涡性：紊流是有涡运动，而且总具有三维的特性大雷诺数：流体的雷诺数超过某个临界值后，流动不稳定，扰动才能发展形成紊流。紊流的特性第三节紊流统计量和紊流尺度因为紊流和紊动扩散是随机过程，在描述它的运动时，常用统计平均方法。统计平均方法通常有时间平均法（简称时均法）、空间平均法和总体平均法共三种平均法。第三节紊流统计量和紊流尺度各态历经：一个随机过程在重复多次试验出现的所有样本，亦将在一次试验的相当长时间或相当大的范围内出现，并且出现的概率相同。因为紊流和紊动扩散是随机过程，在描述它的运动时，常用统计平均方法。统计平均方法通常有时间平均法（简称时均法）、空间平均法和总体平均法共三种平均法。如果随机过程是各态历经的，则时均值、空间平均值、总体平均值三者是互等的。一、紊流的分类紊流按其流动特点可分为可分两大类：均匀各向同性紊流和剪切紊流。在均匀紊流中，各种物理量的统计平均值当坐标平移时,均保持不变，例如有:式中：u1

、u2

、u3

分别为沿三条直角坐标的脉动流速分量；字母上方的“—”示取统计平均(例如取时间平均);

C1、C2

、C3均为常量。第三节紊流统计量和紊流尺度一、紊流的分类在均匀紊流中，如果各种物理量的统计平均值还与方向无关，亦即当坐标轴作任何旋转或镜射时，各种物理量的统计平均值仍保持不变，例如有

则称这种紊流为均匀各向同性紊流，或简称为各向同性紊流。各向同性紊流只是一种理想化的最简单的紊流第三节紊流统计量和紊流尺度凡不满足均匀性要求的紊流（当然也不满足各向同性）,称为剪切紊流。当紊流中存在切应力时，就有流速梯度，导致各处的紊流统计量不相同，从而破坏了紊流的均匀性和各向同性。这种紊流是最常见的，它比各向同性紊流复杂得多。在剪切紊流中，存在着尺度由大到小的一系列涡体。研究证实，大涡区和中涡区受外界条件的明显影响，不是各向同性的，但小涡区不受外界条件的直接影响，常近似地具有各向同性的性质，这称为局部各向同性。第三节紊流统计量和紊流尺度在紊流中，常要分析两个脉动流速分量的相关矩(即协方差)，它们表征着紊动的重要性质。二、欧拉相关和紊流尺度第三节紊流统计量和紊流尺度1、欧拉空间相关定义为：图脉动流速分量示意图

其中:为在i方向上的脉动流速分量；

xa

为a点的某一方向的坐标，例如取为xa或ya

;

xa

+

x为另一点的同一方向的坐标，相应为xa

+Dx

或ya

+Dy。xxa

+Dxxa第三节紊流统计量和紊流尺度1、欧拉空间相关定义为：指同一瞬时、不同两点的同一方向脉动流速分量的乘积的统计平均值。图脉动流速分量示意图

xxa

+Dxxa相应的相关系数为:

对均匀紊流有:均匀紊流的欧拉空间相关系数为:(3-3-2)(3-3-1)当ξ等于零时，Ri(ξ)应等于1；ξ愈大，Ri(ξ)愈小;当ξ超过一定的值，Ri(ξ)渐趋于零(两点分别位于不同的涡体）。第三节紊流统计量和紊流尺度图

欧拉空间相关系数Ri(x)第三节紊流统计量和紊流尺度2、欧拉时间相关定义为:

相应的相关系数为:

(3-3-3)如果紊流在恒定流中发生，紊流场是平稳的，便有:所以恒定流的欧拉时间相关系数为:(3-3-4)指同一空间点，同一方向的脉动流速分量，在不同瞬时(相隔时段为t)的乘积的统计平均值。第三节紊流统计量和紊流尺度

3、欧拉紊流尺度（比尺）从紊流统计理论看，其空间点的脉动量可以视为各种不同尺度(或不同脉动频率)的涡体经过该点所造成的涨落，较大尺度涡体包含着较小尺度涡体。大尺度涡体频率低，小尺度涡体频率高。由相关系数的概念，引入涡体的平均尺度(积分尺度)。第三节紊流统计量和紊流尺度

3、欧拉紊流尺度（比尺）对均匀紊流来说，取距离为ξ的两点，如果涡体的平均尺度较大，两点处于同一涡体，则空间相关系数Ri(ξ)就大；如果涡体平均尺度小，两点分别处于两个涡体中，Ri(ξ)就小。Ri(ξ)与涡体平均尺度有密切关系。(3-3-5)第三节紊流统计量和紊流尺度（1）欧拉空间平均尺度涡体空间在i方向上的空间平均尺度定义为：图中假想的矩形面积与Ri(ξ)曲线下的面积相等。LEi的意义是体现了涡体尺度在i方向上的空间平均值。图

欧拉空间平均尺度LEi第三节紊流统计量和紊流尺度

(2)欧拉时间平均尺度类似地，当紊流场是平稳的，可以用时间相关系数定义时间平均尺度：(3-3-6)第三节紊流统计量和紊流尺度从拉格朗日观点出发，一个液体质点在运行过程中的脉动流速的相关矩定义为：

指跟踪一个质点看，在不同时刻、同一方向的脉动流速分量的乘积的统计平均值。

三、拉格朗日相关和紊流尺度第三节紊流统计量和紊流尺度图拉格朗日相关流速分量示意图

相应的相关系数为：

如果紊流场是平稳的，上式变为：三、拉格朗日相关和紊流尺度(3-3-7)(3-3-8)第三节紊流统计量和紊流尺度图拉格朗日相关流速分量示意图

在i方向上，拉格朗日时间平均尺度的定义为：其中假想的以TLi为底的矩形面积与RLi曲线下的面积相等。它反映同一质点，不同时刻的随机变量之间保持有关所经历的时间长度。图

拉格朗日时间平均尺度(3-3-9)第三节紊流统计量和紊流尺度在i方向上，拉格朗日时间平均尺度的定义为：拉格朗日空间平均尺度（或称为扩散平均尺度）定义为：式中：称为i方向的紊流强度。(3-3-9)(3-3-10)第三节紊流统计量和紊流尺度第四节紊动扩散理论由于紊流脉动流速的作用使污染物质发生输移的现象称为紊动扩散。在紊动扩散问题上的距离方差是否也具有与历时成正比的同样规律呢？分子扩散系数D是反映由于液体分子运动使污染物质点发生位移时用于表达通量与浓度梯度成比例的一个系数（费克定律），那么，由于紊动而使示踪质点发生输移时，是否还要使用类似的系数呢？由于液体分子运动的作用使污染物质点发生随机运动时的距离方差与扩散历时成正比：sx2=2Dt。紊流的脉动流速是随机性，因而使污染物质质点的位移也是随机性的，它们的随机性与液体分子运动的随机性是否相类似？液体分子运动的速度和紊流脉动流速的随机特征是不同的。液体分子运动的下一步状态，只与当前的状态有关，而与以前的运动历史无关。从前面介绍的拉格朗日脉动流速相关系数可以看到，示踪质点的脉动速度在运动过程的一段时间内都是相关的。只有当经历的时间间隔t>>TLi之后（或经历的位移L>>ΛLi之后）才能认为此时的脉动流速与t之前的脉动流速无关。第四节紊动扩散理论一、单个质点的紊动扩散泰勒（Taylor）1921年首先应用统计理论和拉格朗日方法来研究单个质点的紊动扩散问题。(3-4-1)不失一般性，讨论水流以时间平均流速沿x方向作均匀流动时，示踪质点由于紊动在y方向的扩散。如果在速度为的动坐标系统上观察，质点由于在y方向上脉动速度u¢的作用，在y方向上的随机位移为y

，则在某一指定时刻T,y2随时间t的变化率为xyv'第四节紊动扩散理论图单个质点的紊动扩散因为：有将上两式代入式：上式是对一个示踪质点而论的第四节紊动扩散理论有如果观察大量示踪质点，然后取总体平均，则有：(3-4-2)设：时间间隔t=T-t

υy¢(t)υy¢(T)为同一个质点在时间间隔为t

的两个脉动速度的乘积为拉格朗日自相关矩在平稳的紊流场中，相应的相关系数为:第四节紊动扩散理论式中的t£T。它表示在平稳的紊流场中扩散距离方差与成正比，也与扩散历时t有关。对其他方向x和z也有类似公式。故式(3-4-2)可变为：(3-4-3)上式的T也可理解为任一指定时刻t，故有扩散距离的方差：(3-4-4)称为泰勒扩散公式第四节紊动扩散理论（1）t＜＜TLy（TLy为y方向上的拉格朗日时间平均尺度）此时有τ趋近于0，RLy

≈1：(3-4-5a)或上式表明，对短的扩散历时（t＜＜TLy）距离方差σi2与t2成正比，这是与分子扩散规律不同的，属于非费克型扩散。(3-4-5b)sx2与扩散历时t成正比的扩散—费克型扩散两种特殊情况：第四节紊动扩散理论（2）t

＞＞TLy此时有：或(3-4-6a)(3-4-6b)第四节紊动扩散理论对较大的扩散历时（t＞＞TLy），距离方差与扩散历时成正比。这样的紊动扩散规律与分子扩散规律相同，符合马尔可夫过程，为费克型扩散。可以定义一个与分子扩散系数类似的紊动扩散系数:

),,(zyxi=这也是求Ei的矩法公式。如果Ei是常数，可将上式改写为式（3-4-7a）可写为：(3-4-7b)(3-4-7a)(3-4-8)第四节紊动扩散理论

上式表明：紊动扩散系数与拉格朗日时间平均尺度成正比。可以认为紊动扩散系数主要与较大尺度的涡体运动有关。若以拉格朗日空间平均尺度LLi表示紊动扩散系数，有:(3-4-9)第四节紊动扩散理论分子扩散系数由污染物质的物理性质决定，紊动扩散系数与液体的物理性质、污染物质的物理性质和流场的紊动结构有关。在河流中，最大涡体的尺寸约与水深相等，由于河流的水深一般都不大，所以拉格朗日空间平均尺度也不大，相应的拉格朗日时间平均尺度也较小，使污水自排污口注入河流之后不久，其扩散历时就远大于TL，因此，河流中的紊动扩散一般是属于费克型。？第四节紊动扩散理论表1质点紊动扩散的实验数据

例1在x方向有时均速度，量测了许多示踪质点的y向位移，得相应于不同时间的总体平均值，见表1。试对

，TLy和Ey进行估计。st/

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0.060.230.530.931.442.002.593.193.784.38

0.2450.4800.7280.9641.201.411.611.791.942.09

第四节紊动扩散理论

图3-11质点紊动扩散的实验数据曲线第四节紊动扩散理论解：由图3-11可以看到，当与t为线性关系。

根据式(3-4-5b)，用t=0.1s的值代入计算：2第四节紊动扩散理论图3-11质点紊动扩散的实验数据曲线根据式(3-4-9)，有：根据式(3-4-6)，得：

由图3-11看到，当线性增加，用t=0.7s和1.0s的值计算：2第四节紊动扩散理论图3-11质点紊动扩散的实验数据曲线二、两个质点的相对扩散污染物云团可以认为是由大量污染物质点组成的。因此，可以分别研究污染物云团质心的运动和云团的质点相对于此质心的运动。对质心的运动应按上述的单个质点的紊动扩散进行分析。对云团的变形则要研究质心与其他质点的相对运动，也就是两质点的相对扩散问题。白切勒（Bathelor）对相对扩散问题的研究做出了较大的贡献。第四节紊动扩散理论第五节随流紊动扩散方程(3-5-1)(3-5-2)对紊流讲，点瞬时速度υi可表为点时均速度与点脉动速度ui¢之和，即在紊流中，由于流体的紊动使污染物质的点瞬时浓度c也具有随机性质。因此，可以假设点瞬时浓度c是时均浓度和脉动浓度c

¢之和，即：第五节随流紊动扩散方程

(3-5-4)因为脉动流连续方程为，便有:三维随流扩散方程是研究随流紊动扩散的基础，将三维随流扩散方程简写为：(3-5-3)将上式代入(3-5-4)，有：(3-5-5)运用雷诺运算法则，并注意到，便得:三维随流紊动扩散方程的初形第五节随流紊动扩散方程比较第五节随流紊动扩散方程三维随流紊动扩散方程多了三个紊动通量梯度：上式包含了四个未知函数。为求解,需要对三个未知函数进行处理。式中:Eij称为紊动扩散系数张量，是一个二阶张量。相对于紊动扩散张量的主轴来说：当i=j,Eij=Eji；当i≠j,Eij=0

则(3-5-6)式变为：最常用的方法是采用经验模式，对t>>TL的扩散，把紊动扩散与分子扩散相比拟，参照费克定律的形式，令:(3-5-6)(3-5-7)第五节随流紊动扩散方程紊动扩散系数Eij与液体的物理性质、污染物质的物理性质以及流场的紊动结构有关。因为剪切紊流不是各向同性的，所以它的值在不同方向上是不同的。各种情形下的Eii值主要靠实验确定。将紊动扩散系数的定义：

第五节随流紊动扩散方程代入式有：在紊流扩散中，一般的紊动扩散系数都要比分子扩散系数大几个数量级，故在紊流中可忽略分子扩散项，得：

(3-5-8)第五节随流紊动扩散方程如果紊流场是均匀紊流，则Eii为常数，即不随位置和时间而变,可将Eii简写为Ei。(3-5-9a)将上式改用直角坐标表示为：

式中：分别是点时均流速在x、y和z方向上的分量。(3-5-9b)第五节随流紊动扩散方程(3-5-10a)(3-5-10b)以上结果均是针对示踪物质而得到的如果紊流场是各向同性的，有，第五节随流紊动扩散方程随流紊动扩散方程为:如果进一步考虑非守恒物质，则要计算由于化学、物理等各种原因使水体中的非守恒物质发生变化（增生或降解）。式中：当B为增生时，B是正值（称为源项）；当B为降解时，B是负值（称为汇项）。(3-5-11)(3-5-12)第五节随流紊动扩散方程设在单位时间单位水体积内由于上述原因使非守恒物质发生的变化量为B(称为源汇项)，则随流紊动扩散方程为：第六节紊动扩散系数的确定一、雷诺比拟假说

前面讨论的扩散都是指污染物质在水中的扩散；从广义上说，水流本身的某些属性由于分子运动、水流流速和水流紊动而传递到另一部分水体中去的现象都可看成是扩散现象,例如水流本身具有的动量、动能和热量（温度）的扩散。因此，对它们的扩散过程也可以用类似的扩散方程表示。(3-6-1)例如在随流紊动扩散方程中，以温度T代替浓度c，以导热系导热系数α代替分子扩散系数D，并有vi=0，则有热传导方程：上式是由于紊动z方向发生动量传递而产生的紊动切应力表示式，从而也可以把e看作是动量扩散系数。因此，也有人在浓度扩散的计算中采用e值作为Ei值。(3-6-2)第六节紊动扩散系数的确定在上式中，若以主流方向（x向）的动量(

r

为水的密度)代替，以r

x′¢代替c′，以运动粘性系数e代替Ez，则有：如在式中，对垂直方向(z向)的扩散有：雷诺比拟假说：对示踪物质来说,不论是哪种扩散物质，紊动对物质、热量、动能或动量的扩散系数存在着完全的比拟关系，扩散系数彼比都是相等的。已在近壁紊流中的实验得到证实。第六节紊动扩散系数的确定在明渠二度均匀流中，取垂向紊动扩散系数Ez=e是符合实际的。其他方向的紊动扩散系数，对剪切紊流讲，只能认为Ei

与e是同量级的，成一定的比例关系。一些研究成果表明：二、河渠水流的紊动扩散系数

1、垂向紊动扩散系数对二度明渠均匀流的纵向流速分布，可采用卡门(Karman)对数型公式：式中：为点时均流速在垂线上的平均流速；

k为卡门常数；

u*为剪切流速；

h为水深，z轴的原点在渠底，向上为正。(3-6-3)表示沿垂线取平均第六节紊动扩散系数的确定

第六节紊动扩散系数的确定(3-6-4)(3-6-5)切应力的两种表达方式：根据雷诺比拟假说，可得：

式中：k=0.40～0.42。式中：s为河道底坡；n为河道糙率；g为重力加速度。(3-6-6)(3-6-7)第六节紊动扩散系数的确定u*可由下式计算:Ez是水深的函数，沿水深各点不同

Ez沿水深取平均:取卡门常数k=0.41，有：(3-6-8)第六节紊动扩散系数的确定二度明渠均匀流垂向紊动扩散系数计算公式

对非矩形断面的棱柱体河道均匀流来说，由于垂向混合主要受水深制约，因而认为也可用式（3-6-6）求，此时式中的h是随横坐标y而变的。对各种不规则河道的恒定渐变流，河底和边坡都可能沿程变化，也可能有弯道，二次流比较显著。但一般认为，这些因素对垂向混合的影响不会很大，仍可近似使用式（3-6-6）求，只是其中的h是随点（x，y）而变的。第六节紊动扩散系数的确定（3-6-6）2、横向紊动扩散系数Ey

（横向混合系数My）

在二度明渠均匀流中，因为假设不存在横向流速，不可能建立类似于垂向紊动扩散系数的方程(3-6-6)

来确定Ey值。对其他非二度水流，由于影响因素复杂，目前也不可能像垂向扩散一样通过沿河宽的横向流速分布来建立Ey的计算式，而只能根据室内和现场实验的结果大致给出一个变化范围。第六节紊动扩散系数的确定2、横向紊动扩散系数Ey

（横向混合系数My）

Ey的意义是反映由于横向脉动流速作用而导致的扩散的强弱程度。

在实际的河渠中，即使是平直的渠道均匀流，也必然有二次环流(螺旋流)，虽然二次环流的=0，但因在垂线上的分布不均匀而导致了分散，使横向扩散大大加强，这是横向扩散的主因。由于在实验和分析中都以将这两种成因的结果分开，得到的系数值是综合结果。故对河渠水流来说，常将Ey称为横向混合系数My。第六节紊动扩散系数的确定（1）矩法第六节紊动扩散系数的确定一般只能近似地用于比较规则的平直河流。式中：V为断面平均流速；、分别为x1和x2断面处横向浓度分布的方差。式中：W为河宽。（1）矩法对不规则的天然河流，h和有横向变化，，这些都对横向扩散有重要影响，特别是必须对已包含在实验结果中由于产生的随流扩散加以扣除，使My主要反映二次环流和横向脉动流速等作用，否则，得出的值会很大或很小，甚至出现负值。为此，Holley等提出了普遍矩法。在进行示踪实验时，当浓度场达到稳定，可导出普遍矩法的基本方程：第六节紊动扩散系数的确定（2）经验公式在整理实验结果时，一般采用无量纲数：式中：h

和u*分别为被研究河段的水深和剪切流速的平均值;

a为比例系数，视河渠水流条件而定。(3-6-9)第六节紊动扩散系数的确定（2）经验公式费希尔对顺直的矩形断面明槽水流收集了约75个实验资料，除了在野外实验得到的α=0.24~0.25之外，几乎所有的室内实验都得到α=0.1~0.2，于是取其平均作为估算，有估算式:(3-6-9)(3-6-10)(3-6-11)式中：u*为摩阻流速；第六节紊动扩散系数的确定

对天然河流的My值虽然做了一些研究，但仍然不够充分。费希尔总结了一些实验成果，认为河道的弯曲和两岸的不规则都会使a值很少于0.4，如果河道的弯曲是缓慢的，边岸的不规则性是中等的，a值通常为0.4～0.8，因而建议采用估算式：(3-6-12)式中：h

和u*

用河段平均值。第六节紊动扩散系数的确定如果河段有急弯或边岸有突变，则a

值将更高。张永兴等人在长江宜昌段进行示踪实验，得

a=0.29~0.95。

Lau等人曾总结分析了11条天然河流的资料，为了更好地反映二次环流对My的影响，采用无量纲数My/(u*W)，并认为该数与宽深比W/h有关(u*、W和h用河段平均值），得到了图3-12，图中有9个点都落于一条平均曲线的附近，这些点的My/(u*W)值在1.8×10-3～10.6×10-3之间，W/h值在27～170之间；另有两个点因为河流弯曲较大，使My/(u*W)值较高（分别为22.4×10-3和55.8×10-3）。图3-12河流的My经验曲线第六节紊动扩散系数的确定3、纵向紊动扩散系数Ex

由于紊动引起的纵向扩散和横向扩散受边界的约束作用相对垂向来说小很多，所以纵向和横向的紊动扩散系数有相同的数量级，这已为某些实验证实。Sayre等用聚乙稀质点在水面上进行观察，发现纵向紊动扩散系数约为横向紊动扩散系数的三倍。从实用上看，可以将纵向紊动扩散作用忽略不计。这是因为在常见的河渠水流中，由于纵向流速分布的不均匀而产生的随流分散作用比纵向紊动扩散作用要大得多，同时这两种作用是混在一起出现，在对实验进行分析时，难以将两者分开。第六节紊动扩散系数的确定3、纵向紊动扩散系数Ex

过去很少对纵向紊动扩散系数进行研究，而将注意力放在研究纵向随流分散及其分散系数上。纵向分散系数是纵向紊流扩散系数的40倍以上。纵向紊流扩散系数大于横向紊流扩散系数，横向紊流扩散系数大于垂向紊流扩散系数。第六节紊动扩散系数的确定Y(m)2724211815129630-3-6-9-12-15-18-21-24c171622314255808686878774666052453022表实测浓度分布单位：mg/L例：设一矩形断面的直长明渠，渠宽（即y坐标，以断面中心处为y坐标原点）为100m，水流沿纵向（x坐标）为近似的均匀流，断面平均流速为0.3m/s，水深为5m。为求横向紊动扩散系数，在明渠起始断面中心处瞬时投放示踪质，当水温为15℃时，在下游450m处的横断面上测得的横向浓度分布如下表，试求该断面的Ey。第六节紊动扩散系数的确定解：明渠均匀流，只在x方向上有时均流速，在y方向上的浓度分布是由y方向上的脉动流速v′引起，经历较长时间后浓度分布近似按正态分布。因此，可用矩法求横向紊动扩散系数。图横断面浓度分布第六节紊动扩散系数的确定因为是瞬时点源，则有x1=0，σy1=0，在x2=450m断面处，横向y方向上每隔Δy=3m取一个浓度值，故：第六节紊动扩散系数的确定第七节随流紊动扩散方程的某些解析解随流紊动扩散方程与随流扩散方程在数学形式上是一样的，所以求随流紊动扩散方程的解析解时所遇到的数学问题与求随流扩散方程的解析解时所遇到的是一样的。只要将已有的一维随流一维（或多维）扩散方程的一些定解问题的解析解做适当的修改，就可以得到在相同定解条件下的一维随流一维（或多维）紊动扩散的解析解。一般需要做修改的就是将一维随流一维（或多维）扩散解析解中的点浓度c改写为点时间均浓度；将均匀流纵向流速u（常数）改写为均匀流纵向时均流速（常数）；将分子扩散系数D改为紊动扩散系数Ex（或Ey），或将Di改为Ei

。1、瞬时点源无界空间一维随流紊动扩散上式也是瞬时无限平面源无界空间的一维随流紊动扩散问题的解。2、瞬时半无限长线源无界空间的一维随流紊动扩散据式(3-2-8)有解：据式(3-2-9)有解：第七节随流紊动扩散方程的某些解析解(3-7-1)(3-7-2)3、瞬时有限长线源无界空间的一维随流紊动扩散据式（3-2-10）有解：(3-7-3)4、瞬时无限长线源无界空间的一维随流二维紊动扩散据式（3-2-11）有解：(3-7-4)第七节随流紊动扩散方程的某些解析解5、瞬时点源无界空间的一维随流三维紊动扩散据式(3-2-13)有解：(3-7-5)6、时间连续点源无界空间的一维随流三维紊动扩散稳态情形据式(3-2-17)有解：(3-7-6)式中：