2022浙江省衢州市开化县第一高级中学高三数学理模拟试卷含解析

2022浙江省衢州市开化县第一高级中学高三数学理模

拟试卷含解析

一、选择题:每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有提

则向量4-6与6的夹角为（）

5乃

A.6B.TC.6

2万

D.T

参考答案：

C

略

2.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S值为（)

(A)26(B)102(C)「

⑴）.二：

参考答案:

B

3.在等差数列｛四｝中，,*■=3,■♦.=6,则%为(

)

A.64B.81C.128D.243

参考答案:

A

q=2

因为等比数列｛4｝中，«i6,所以％1a2,故％+；与2ai3,解得

aiI所以464,故选A.

_43,

4.若a,B为锐角，且满足cosa=5cos(a+8)=5，则sinB的值为()

173,71

A.25B.5C.25D.5

参考答案:

c

【考点】GQ：两角和与差的正弦函数.

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sina、sin(a+B)的值，再利用两

角和差的正弦公式求得sin3=sin的值.

—,cos(a+B))•

【解答】解：a,B为锐角，且满足cosa=55,

,------------3_-------1

sinaWl-cos2a=5,sin(a+(3)Hl-cos2(Q.+8)=5,

4_x_43_37

则sinB=sin=sin(a+B)cosa-cos(a+p)sina=55-5x5=25,

故选：C.

5.函数Ax-lXx>0),若方程/(K)=*+a有且只有两个不等的实根，则实数a

的取值范围为)

A.(—oo,l)B.[O,1)C.(-00,0)D.[O.+oo)

参考答案:

A

【分析】

在同一坐标系中画出/（*）的图像与，=*♦］的图像，利用数形结合，易求出满足条件的

实数a的取值范围.

【详解】画出函数图像如下：

当。＜1时，函数了="力的图像与/=a的图像有两个交点，

即方程/㈤=*+°有且只有两个不等的实根.

故选：A

【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化

为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.

6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积

为（）

81兀27冗

A.4B.16nC.9JiD.4

参考答案：

【考点】球内接多面体；球的体积和表面积.

【分析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高POi上，记为0,求出P0”00,,解出

球的半径，求出球的表面积.

【解答】解：设球的半径为R,则

:棱锥的高为4,底面边长为2,

，R2=(4-R)2+(V2)2,

9.

.・.R=W,

,981冗

球的表面积为4n?(7)J4

7.已知全集U=R,集合P={xIx2q},那么［P=

A.(-co,-1)B.(1,+oo)

C.(-1,1)D.(-oo,-1)U(l,+oo)

参考答案：

D

本题考查了集合的补集运算，容易题。因为集合尸=1x1-14x41),所以

七P=(x|x>l或X<7,故选D。

8.过抛物线C：3-4y的焦点/的直线/交C于A,8两点，在点A处的切线与x,y轴分

1

别交于点M,M若Ai&W的面积为亍，则网=()

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

B

【分析】

先设4"彳"），再求出点4处的切线方程，进而求出M,N坐标，得至「MON的面

积，即可求出/点坐标，求出“।的长.

【详解】因为过抛物线C：的焦点F的直线1交C于4B,所以设

又‘一彳，所以，2,所以点/处的切线方程为：yv~2

令x=0可得'-4,即

令了二°可得*=一—即M

因为AMON的面积为2,

所以］x|-彳『卜解得

回」『+1=2

所以片14

故选B

【点睛】本题主要考查抛物线的性质，只需先求出点/坐标，即可根据抛物线上的点到焦

点的距离等于到准线的距离求解，属于常考题型.

9.执行如图所示的程序框图,输出的M值是（）

2

A.2B.-iC.2D.-2

参考答案：

B

10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所想的数

字，把乙猜的数字记为b,其中a,bG{l,2,3,4,5,6},若Ia-bIWl,就称甲乙

“心相近”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为

A.9B.9C.18D.9

参考答案：

D

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知曲线C：y2-4x2n=0,贝U"n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的

条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一

个).

参考答案：

充分不必要

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题：简易逻辑.

分析：设P(x,y)在曲线C：y2-4x2"=0上，把点P'(-x,y)代入曲线可得证明，

解答:解：I•线C：y2-4X2"=0,则"n为正奇数”，

.•.设P(x,y)在曲线C：y2-4x2n=0±,

把点P'(-x,y)代入曲线可得：

y2-4(-x)2n=0,

即/-4(x)也0成立，

.*.PZ(-x,y)点在曲线上，

曲线C关于y轴对称，

根据充分必要条件的定义可判断：

“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的充分不必要

故答案为：充分不必要

点评：本题考查了充分必要条件的定义，点与曲线的位置关系，属于容易题.

12.设函数«r)=x(eX+ae-')(xeR)是偶函数，则实数a的值为.

参考答案:

-1

13.若向量工=（L2）.，=（L1）则与G夹角的余弦值等于_____

参考答案：

3而

~16~

【分析】

利用坐标运算求得2石♦5；根据平面向量夹角公式可求得结果.

丁一（2a*i）a3+63厢

【详解广曲“（3.3）—瓦…同甲尔年

3瓶

本题正确结果：1T

【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量

模长的乘积.

14.已知正方体ABCD-AmGDi中,E为G功的中点，则异面直线AE与BC所成角的

余弦值为

参考答案:

2

3

法1：本题主要考查了异面直线所成角的问题，是中等难度题目。

取中点F,连接EF,则乙4EF即为所求

的二面角，连接必,"咕=90*,

EF=LAE=-

设正方体棱长为1,则2,

2

cos&EF=2

3.

:法2：以A点为原点，以AB、AD、儿与所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间

直角坐标系，设正方体的棱长为3,则有A(O,(),O),E(3,0,1),F(1,1,2),

(3x+z-0

俞=(U2),设面AEF的法向量为0(2㈤，则&+北4-0,解

.——3

-A-COfC",%>一^

得1二,一一，面ABC的法向量为•二二川』」，则VH,

——戊>/2

tan<nn.).-------------

3,故面的与面ABC的所成角的平面角正切值为3.

15.(文科)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax?+(a+2)x+1相切，则

(理科)曲线y=(与y=x所围成的封闭图形的面积为

参考答案：

1

文8；理包

【考点】极限及其运算；导数的几何意义；定积分.

【专题】计算题；数形结合法；导数的概念及应用.

【分析】(文科)先运用导数求切线的斜率，得到切线方程，再根据该直线与抛物线相

切，由△=()解出a；

(理科)先求出两曲线的交点，得到积分的上，下限，再用定积分求面积.

【解答】解：(文科)y'=l+T1=1=2,即切线的斜率为2,

根据点斜式，求得切线方程为y=2x-1,

该直线又与抛物线y=ax?+(a+2)x+1相切(aWO),

联立得,ax2+(a+2)x+l=2x-1,

整理得，ax2+ax+2=0,

由△=()解得a=8(舍a=O),

故答案为：8.

(2

,尸x

(理科)联立方程厂x解得x=O或x=l,

两曲线围成的面积根据定积分得，

S=x-6GT)运声-/3周,

故答案为：6|.

【点评】本题主要考查了导数的简单应用和定积分的应用，属于基础题.

16.(6分)设函数f(x)=2sin(JTX),若存在x°CR,使得对任意的xGR,都有f

(x)Wf(x0)成立.则关于m的不等式而+m-f(x0)>0的解为.

参考答案：

{m|m<-2,m>1}

考点：正弦函数的奇偶性.

专题：三角函数的图像与性质.

分析：由题意可得f(xo)=2,关于m的不等式m'+m-f(x0)>0,即m'+m-2>0,由此

求得m的范围.

解答：解：由题意可得f(X。)为f(x)的最大值，故f(X。)=2.

关于ni的不等式m'+m-f(xo)>0,即m'+m-2>0,

求得m<-2,m>l,

故答案为：｛m|m<-2,m>l｝.

点评：本题主要考查正弦函数的最大值，一元二次不等式的解法，属于基础题.

2

17.数列｛““｝是公比为3的等比数列，｛4｝是首项为12的等差数列.现已知a>b,

且aQbm则以下结论中一定成立的是.(请填写所有正确选项的序

号)

14%<°；②*0>°；③④■>%.

参考答案：

_2

【答案解析】①③解析：解：因为数列｛%>是公比为一号的等比数列，所以

3

afaw=0,||<0

\3)①成立;而④”9>如),只有当例为正数才成立，不一定成立；又

因为｛砧是首项为12的等差数列为>原/。>耳，所以依｝是递减数列，③成立，当公

差很小时②不成立，所以答案为①③

【思路点拨】根据数列的概念进行分析.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(13分)已知数列｛an｝、｛bn｝满足ai=l,a2=3,口，bn=an+i-an.

(1)求数列｛bj的通项公式；

(2)求数列｛aj的通项公式；

*冈

(3)数列&｝满足Cn=hg2(an+l)(nGN)，求」

参考答案：

【考点】：数列的应用.

【专题】：计算题.

【分析】：(1)由题意可知数列｛bj是首项b1=2,公比q=2的等比数列.故

nln

bn=biq-=2.

(2)由an+i-an=2"(nCN*)可知an=(an-an-,)+(an-i-an-2)+…+(a2-ai)

+ai，由此能够求出数列｛a0｝的通项公式.

(3)根据题意，可知3,由此能够求出答案.

解：(1):山，又bi=a2-ai=3-1=2.

所以数列｛卜｝是首项bl=2,公比q=2的等比数列.故bn=bd'=2n

n

(2)an+i-an=2(nGN*)

ra

=-

an(anan-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-ai)+ai=.

nn

(3)Cn=log2(an+l)=log2(2-1+1)=log22=n,(nGN*),

...a

...s=s=0

【点评】：本题考查数列的性质和应用，具有一定的难度，解题时要注意公式的

合理选用.

19.(本小题满分14分)

士+士区■先.

已知椭圆标1(a>b>0)，点P('J)在椭圆上。

(I)求椭圆的离心率。

(II)设A为椭圆的右顶点，0为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直

线。6的斜率的值。

参考答案：

<1)M：im/'(—a.s'uiAL.以：♦:I.,；丹.

523.caR

由以裾次力—=、：

u*/N4

(n)解：设在线w的i;i力人则「方火力v・h的"

%=K

由条件将x-y-消去先井整理得

—+7T0I.

b&

由|A0|=|TO|,及为=乜.得(％+a)••公X：=",整理得

;

(l+*)x；*2ar0®0,而故5=丁*，代入①,整理得:4公4.

Ill(I)«l(l+i;)：­7*；+4,即5*'-2”：-15・0,可得*：=5.

所以£1线。(?的斜率后==4.

20.(本小题12分)如图所示，在棱长为2的正方体力员力~44。1。1中，£,尸分别

为棱4。】和uc】的中点.

(1)求异面直线EF与工5所成角的正弦值；

(2)在棱3星上是否存在一点F,使得二面角尸8的大小为3(7?若存

在，求出3P的长，若不存在，请说明理由.

饵

参考答案:

(1)以D为原点，分别以Q4℃、所在直线

为x，y，z轴建立空间直角坐标系

由已知得D(0.0.0),A2.0.0),8(220).C(020).4(2,2.2).

E(1,0②尸(0,2Q,

v£F=(-1,2-1),AS=(0,2,0)

/兹乐至4n

"毗M=加=荻。

故异面直线EP与48所成角的正弦值为36分

(2)假设存在点R2,2Q(0<t42)满足题意

『而=0

<

设平面47尸的法向量为“=3.乂z),则[附AP=0

-2x+21y=02

-：AP=(0.2.t),AC=(-Z2,Q)[2y+iz=0取了=1则，=入~7

■'n易知平面45c的一个法向量为班1=(0.0.2)

由图，二面角F-AC-8为班]与]夹角的补角，

设与1夹角为8,则8=150\

网Fl2x『+l、(-922

由0勺42解得一-F

瓜

BP=2_

故存在一点尸，当‘3时，二面角产一4C-8的大小为3(r..12

分

21.(本题满分15分)如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-AiBiCiDi中，

AD〃BC,AD1AB,AB=0。AD=2,BC=4,AAi=2,E是DDi的中点，F是平

面BiCiE与直线AAi的交点。

(1)证明：⑴EF//A1D1；

(ii)BAi_L平面BiCiEF；

(2)求BCi与平面BiCiEF所成的角的正弦值。

参考答案：

(1)⑴因为Cl3]C平面ADD]Ai,所以「血”平面ADDiAi.

又因为平面4G图n平面ADD1AI=RF,所以5%"即.所以AR"EF

(ii)因为34_L451G4，所以■&G,

又因为J■44,所以玛G，/5耳4,

jr.njtanZA5.F=tan^AAB=—

在矩形M3]4中，F是AA的中点，即2.即

=故“工用匕

所以34,平面4