2023年新高考名师模拟卷05（原卷版及解析版）

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2023新高考名师模拟卷（5）

数学

注意事项：

i.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（共40分）

1.已知集合A8为全集U的子集，若秒4=/,则A（Q/）=（）

A.AB.BC.UD.0

2.若i为虚数单位，复数z满足岗41,贝lj|z-（l+i）|的最大值为（）

A.V2-1B.&C.V2+1D.2正

3.已知一个圆锥的底面半径为2,高为3,其体积大小等于某球的表面积大小,

则此球的体积是（）

A.4&B,哈C.4.D.y

4.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开

九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一

对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上

解下或者全部套上.将第"个圆环解下最少需要移动的次数记为为打，9,〃£“），已

知q=i，/=i,按规则有4=的+52+I（〃..3,〃GM）,则解下第4个圆环最少需要移动

的次数为（）

A.4B.7C.16D.31

5.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透

之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯

主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在

X轴上，离心率e=2,且点P（m,3）在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）

2y2

A.x2--=1B.

3~26

">->

c.土-匕=1D.T-T?=1

39

417%八7九

6.已知cos(—+0---<0<—潟%的值为（）

5124,则

100100

A.~2AB-一五

75D--H

C.28

7.设抛物线E：y2=8x的焦点为尸，过点M（4,O）的直线与后相交于A,B两点，与E

s

的准线相交于点c,点8在线段AC上，|8尸|=3,则尸与的面积之比片

°ACF

()

]_

A.B.

45c・iD-7

bc

8.已知。-5=呜＜0,b-4=\n-<Q,c-3=ln-<0,则”，3c的大小关系是（）

43

A.b<c<aB.a<c<bC.a<h<cD.c<b<a

二、多选题（共20分）

9.已知A3是两个随机事件，O＜P（A）＜1,下列命题正确的是（）

A.若AB相互独立,P（B|A）=P（8）B.若事件则尸（同力=1

C.若A8是对立事件，则P（8|A）=1D.若A8是互斥事件，则P（B|A）=0

10.如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（）

ED

3

A.AC-AE^BFB.AC+AE=-AD

C.ADAB^AB\2D.A£＞在AB上的投影向量为48

11.设meR,过定点A的动直线4：x+.y=（）,和过定点3的动直线4：〃犹7-加+3=。

交于点P,圆U（x-2y+（y-4）2=3,则下列说法正确的有（）

A.直线4过定点（1,3）B.直线4与圆。相交最短弦长为2

C.动点尸的曲线与圆。相交D.|朋|+|尸3|最大值为5

12.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=42,BAYBC,PA=PB=PC=2,。为AC的

中点，点m是棱8c上一动点，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥P-ABC的表面积为"+用+1

B.若M为棱BC的中点，则异面直线与A8所成角的余弦值为?

C.若“与平面所成角的正弦值为1则二面角”"AW的正弦值为#

D.尸M+的取值范围为万,4

第H卷（非选择题）

三、填空题（共20分）

sin7ix,x<0

13.已矢口函数/（x）=〃一x），0<x41,贝lj/（等）=.

f（x-2）,x>\

14.若直线y=2x-1与抛物线）尸=2x交于点4（与,凶）,8（々，%）,则0A-08的值为.

15.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5

名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未

拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的"，从这个回答分析，5人的名次排

列共可能有种不同的情况.（用数字作答）

16.在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解.例如：曲

线y=3在ml处的切线方程为y=2x-l,且xb2x-l,若已知m+〃+t=3,则

in2+n2+t2>2m-l+2n-l+2t-l=3,当机="=f=1时等号成立，所以“+/+/的最小值为

3.已知函数f（x）=/_6/+]2x,若数列｛q｝满足42,且q+%+…+q0=10,则数列"&）｝

的前10项和的最大值为；若数列也｝满足将。，且4+4+…+小0=210,则

数列｛""）｝的前100项和的最小值为.

四、解答题（共70分）

17.（本题10分）设各项非负的数列｛叫的前〃项和为S,,,已知2邑=匕

且%%成等比数列.

（1）求｛叫的通项公式；

（2）若以=空,数列也｝的前〃项和九

18.（本题12分）在ASC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,且2AosC=2a+c.

⑴求角B的大小；

（2）若b=26,。为AC边上的一点，BD=\,且_____,求ABC的面积.

①是的平分线；②。为线段AC的中点.（从①，②两个条件中任选一个,

补充在上面的横线上并作答）.

19.（本题12分汝口图，在四棱锥P-A8CD中，四边形AB8是矩形，E为AD的中

点，45，平面皿，PALPB.

（1）若点M在线段尸8上，且直线EM//平面PCD,确定点M的位置；

⑵若AB=6AD,求平面PCE与平面以8所成锐二面角的余弦值.

20.(本题12分)2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动

青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识

竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组:

［40,50）、［50,60）、［60,70）、L、［90,100］,统计结果如图所示:

频率

薪’

0.030

0.020

0.015

0.010

O405060708090100得分

(1)试估计这100名学生得分的平均数；

⑵从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈,

若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在［90,100］的人数为。，试求g的分布

列和数学期望；

(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得

分X近似地服从正态分布其中〃近似为样本平均数，，近似为样本方差

经计算d=42.25.现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500

名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？

参考数据：尸(〃-b<XV〃+b)=0.6827,P(〃-2b<X4〃+2cr)=0.9545,

P(//-3o-<X<//+3cr)=0.9974.

21.(本题12分)如图.矩形A3CD的长相=2'宽BC《，以A、3为左右焦点的

椭圆M：提+营=1恰好过C、。两点，点尸为椭圆M上的动点.

(1)求椭圆M的方程，并求P4PB的取值范围；

(2)若过点8且斜率为攵的直线交椭圆于M、N两点(点C与M、N两点不重合),

且直线CM、C7V的斜率分别为匕、试证明为定值.

22.(本题12分)已知/(彳)=彳2-依lnx-1,g(x)=；or2-xlnx+x

⑴不等式/(gO对任意x“恒成立，求上的取值范围；

(2)当g(x)有两个极值点片,电(司<x?)时，求证：(2ae-l)(^+^)<2e.

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2023新高考名师模拟卷(5)解析版

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

一、单选题(共40分)

1.已知集合A,8为全集［/的子集，若的则A@B)=()

A.AB.BC.UD.0

【答案】C

【分析】由树G“8可得出8=A,从而求出结果.

【详解】解：因为疫所以有则A@B)=U.

故选：C.

2.若i为虚数单位，复数z满足忖金，则|z-(l+i)|的最大值为()

A.>/2-1B.五C.72+1D.2夜

【答案】C

【分析】|z-2+i|表示的几何意义是复数z对应的点与点(1,1)连线段的长度，从这个角度可以得到复数模

的最大值.

【详解】|z|Vl表示的几何意义是复数z对应的点到原点的距离小于等于1,

|z-(l+i)|表示的几何意义是复数z对应的点与点(1,1)连线段的长度，

故的|z-(l+i)|最大值为J(O_iy+(O_l)2+l=0+l,

故选：C.

3.已知一个圆锥的底面半径为2,高为3,其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是()

A.4乖)兀B.71C.4乃D.

【答案】D

【分析】设半径为R，根据已知条件列等式求出R的值，利用球体的体积公式可求得结果.

【详解】设球的半径为R,圆锥的体积为g乃x2?x3=4)，

由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则4万2=4/，，R=1,

因此，该球的体积为丫=?"『=;万.

33

故选：D.

4.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解

下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可

以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第〃个圆环解下最少需要移动的次数记为4(«,,9,“eN),

已知q=I,4=1,按规则有%=q_|+24_2+1(儿.3,〃eN"),则解下第4个圆环最少需要移动的次数为()

A.4B.7C.16D.31

【答案】B

【分析】由题意,根据递推公式求数列中的某一项，可得答案.

【详解】由题意,4=1,4=1，=a〃_i+2a〃_2+l(〃Z3,"£N"),

解下第4个圆环，则〃=4,即〃4=%+2%+1,

而的=g+2勾+1=1+2+1=4,则%=4+2+1=7,

故选：B.

5.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银

器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分,

若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2,且点P(遥,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为

()

3

22

C.D.二上

412

【答案】C

【分析】利用待定系数法可求双曲线C的标准方程.

【详解】设双曲线的方程为：J-\=l(a>0,b>0),

因为离心率e=2,故半焦距c=2a,故。=6”,

而双曲线过网",3),故标一*=1,解得a="z)=3,

故双曲线的方程为：—-^=1,

39

故选：C.

(71八)417万7",1—tan0，―,

6.已知cos|二+。|=",—<e<—,则一.--------的值为()

(4)51242sin~e+sin2。

100「100

A.—

2121

c7575

C.—D.-----

2828

【答案】A

进而得。=一=，^,0=-1,再根据

【分析】由题知sinsin7&,cosetan

U)51010

一,—an。_____=(1学,卜丫"+竺。),并结合齐次式求解即可

2sin之6+2sin6cos。2sin?。+2sin6cos。

【详解】解：因为与<6<2》，¥<0+£<2)，所以sing+。］<0,

1243414)

因为cos(?+0)=：,所以sin(?+，3

5

304夜7夜

所以,------X----------------X--------=---------------

525210

8S”8S「伍+'」］=久也一，也=也,

tan。二-7,

(4J4J525210

(l-tan0)(sin2O+cos?6)

所以,1一tan。

2sin20+2sinecos。2sin28+2sinecos。

_(l-tan6>)(tan26>+l)_8x50__100

-2tan2<9+2tan61-98-14-~2\

故选：A.

7.设抛物线£y2="的焦点为凡过点M(4,0)的直线与E相交于A,8两点，与E的准线相交于点C

S

点8在线段AC上，18bl=3,则AgC尸与△ACF的面积之比产=()

>ACF

【答案】C

【分析】根据抛物线焦半径公式得到8点横坐标，进而利用抛物线方程求出8点纵坐标，直线4B的方程,

S“aBCy,—y

求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用《应二.二21产求r出答案.

ACFA。M先

【详解】如图，过点8作8。垂直准线工=-2于点。，则由抛物线定义可知：IB用=|8。|=3,

设直线48为x=my+4,A(%,y),fi(x,,y2),C(-2,yc),不妨设m>0,则％>0,%<。，

所以超+2=3,解得：x2=l,则£=8%=8,解得：必=一2五，则网1,-2夜)，

所以一2届+4=1，解得：机=逑，贝I」直线AB为工=述、+4,

44

所以当x=-2时，即乎)，+4=-2,解得：yc=-4>/2,WiJC(-2,-4V2),

联立x=〃?y+4与J=8工得：y2-8my-32=0,则芳必=_32,

8.已知a-5=lnq<0,b-4=\n-<0,c-3=ln-<0,则"，b,c的大小关系是()

543

A.b<c<aB.a<c<bC.a<h<cD.c<b<a

【答案】C

【分析】令函数"x)=x-lnx,利用导数求得函数/(x)的单调性，得到/(5)>/(4)>/⑶，再根据

tz-5=ln—=ln6/-ln5<0,/?-4=in—=ln/?-ln4<0,c-3=ln-=lnc-ln3<0,结合题意a-lna=5-ln5,

543

Z?-InZ?=4-ln4,c—lnc=3—ln3,得到/(a)>/S)>/(c),分另［求得Ovavl,Ovbvl,0<c<1,即可

求解.

【详解】令函数〃x)=x-lnx,则/(幻=1一_1=士1,

XX

当x>i时，r*)>o,函数/(X)单调递增，

当O<X<1时,r(x)<0,函数/(X)单调递减，

所以/(5)>/(4)>/(3),所以5—ln5>4-In4>3—ln3,

因为a-5=ln@=Ina-ln5<0,ft-4=ln—=ln/?-ln4<0,c-3=ln—=lnc-ln3<0,

543

所以a-lna=5-ln5,/?-lnZ?=4-ln4,c-lnc=3-ln3,

所以。一111々>方一如6>。一如。,即f(a)>f{b}>f(c),

因为。-5=Ina-In5<O,可得av5,

又因为/(a)=f(5),则Ovavl,

同理/S)=f(4),/(c)=/(3),所以Ovbvl,0<c<1,

因为当O<X<1时，r(x)<0,函数“X)单调递减，所以c>6>a.

故选：C.

【点睛】方法点拨：设函数f(x)=x-lnx,求得当x>l时，函数/(x)单调递增，当0。<1时，函数f(x)

单调递减，得到f(5)>/(4)>/(3),得出/⑷>f(b)>/(c),结合函数的单调性进行比较是解答的关键.

二、多选题(共20分)

9.已知A8是两个随机事件，O<P(A)<1,下列命题正确的是()

A.若A若相互独立,P(叫A)=P(B)B.若事件AuB,则P(B|A)=1

C.若4B是对立事件，则P(8|A)=1D.若AB是互斥事件，则P(B|A)=O

【答案】ABD

【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥

事件的意义判断C,D作答.

【详解】对于A,随机事件AB相互独立，则P(AB)=P(A)P(B),P(8|A)=与学=P(B),A正确；

P(A)

对于B,事件P(AB)=P(A),P(B|A)=-^j=l,B正确；

P(AR\

对•于C,因是对立事件，则P(AB)=0,P(B|A)=477s=0,C不正确；

P(A)

对于D,因A,B是互斥事件，则P(A3)=(),P(B|A)=MF=0,D正确.

故选：ABD

10.如图所示，在正六边形A8CZ)£户中，下列说法正确的是()

3

A.AC-AE=BFB.AC+AE=-AD

2

C.ADAB=\AB^D.A。在A8上的投影向量为AB

【答案】BCD

【分析】根据图形，结合向量的线性运算及数量积运算，对选项逐一判断即可.

【详解】

因为A3CDEF为正六边形，即每个内角都为120。

numuuuuuuuuuuu

对于A,4<7-4后=£：。=尸8才8/:'，故人错1天.

对于B,连接AE,AC,CE,AO则△?!(：£为等边三角形，设六动形边长为“，CE中点为连接40,

33

则CE=6a,AD=2a,AM=-a,所以2AM=—A。

22

umnuunuuur-iuuu

即AC+AE=2AM=-A。，故B正确.

2

uuuuun|UuuHuiii|i

对于C,由B选项可知，AD-AB=\AD\ICOS600=2a-ax-=a2

|UUD|2

2

且卜叫=af故C正确.

Ulll

।uuuI।uiin।严“IABuun

对于D,因为卜4=2,4，所以AD在AB匕的投影向量为1Aoi<°$60°•圈=AB

故D,正确.

故选:BCD.

II.设加eR,过定点A的动直线4：x+冲=0,和过定点8的动直线％：如一)「〃7+3=0交于点P,圆

C:(x—2y+(y—4):3,则下列说法正确的有()

A.直线4过定点(1，3)B.直线4与圆C相交最短弦长为2

C.动点尸的曲线与圆C相交D.|孙|+|尸8|最大值为5

【答案】ABC

【分析】根据直线过定点的求法求出定点坐标即可判断A；

由题意可知当4,CB时所得弦长最短，由与•号,“=T求出旭进而得到4的方程，结合到直线的距离公式

和勾股定理求出弦长即可判断B；

当,〃=0时得到尸(0,3),尸在圆C外；当〃?时，根据两直线方程消去，〃得到点P的轨迹方程，比较圆心

距和两圆半径之和的大小即可判断C；

由题可证/J4，设NABP=，可得1PAi=Ji5sin8|PB|=Ji5cos，，进而得到

|/训+归8|=2遥sin(0+?),结合三角函数的值域即可判断D.

［详解］A：由4：/加_y_m+3=0nm(x_l)+(3_y)=0,

有。c=x=Ly=3,所以直线过的定点为(1,3),故A正确;

[3-y=0

B：由圆的标准方程可得圆心为C(2,4),半径厂=行，直线4过的定点为5(1,3),当

时所得弦长最短，则网•号6=-1，又生=机，Q=1,所以m=_l,得

Z2：x+y—4=0,则圆心到直线4的距离为“=,所以弦长为:2介-屋=2,

故B正确;

C：当机=0时，4：x=o,4：y=3,则点尸(0,3),此时点P在圆C外;

Y

当加工0时，由直线4得切=-二，代入直线4中得点P的方程为

y

ffi)N：(x-l)2+(y-1)2=^,得N4q),半径为R=姬，

222222

所以圆心距NC=X^<豆+®=r+R,所以两圆相交.故C正确；

22

D：由《x+冲=0=>A(0,0),

当机=0时，4：x=0,Z2：y=3,有§~L%.

当时，勺=-'，k=m'则4%=T，所以/JL，

又点P是两直线的交点，所以Q4_LP8,所以1PAi2+伊川=[明2=[0,

设/A8P=(9,则|B4|=而sin(9,|PB|=J15cos，，

因为|PA|20,|用20,所以。曰0,9，

所以1PAi+1PB\=厢(sin9+cos，)=2后sin(，+()<245,故D错误.

故选：ABC.

12.如图，在三棱锥P-43C中，AB=BC=0，BA±BC,PA=PB=PC=2,。为AC的中点，点〃

是棱8c上一动点，则下列结论正确的是()

A.三棱锥尸-ABC的表面积为4+石+1

B.若M为棱8C的中点，则异面直线PM与A8所成角的余弦值为也

7

C.若PC与平面所成角的正弦值为则二面角"-B4-C的正弦值为电

23

D.PM+M4的取值范围为76+277,4

【答案】ABD

【分析】连结08.证明出QPL面48co为原点，以0B,0C,0P分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标

系.

对于A：直接求出三棱锥P-"C的表面积，即可判断：

对于B：用向量法求出异面直线PM与AB所成角的余弦值，即可判断；

对于C：用向量法求出二面角M-R4-C的平面角的正弦值为且，即可判断；

3

对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，P/0+M4最大；PM+M4的最小值为AP,利用余弦

定理可以求得.

【详解】连结08.

在三棱锥尸一A3C中，AB=BC=名,BALBC,PA=PB=PC=2.

所以OPJ_AC,O3JLAC,且OP==6.08=1.

所以。"、。尸=依2,所以03_LOP.

又因为O8J_AC=O,所以OPJ­面ABC.

可以以。为原点，以OB,OC,OP分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则。(0,0,0),4(0,-1,0),8(1,0,0),C(0,l,0),尸(0,0,6),所以何=(0,-1,-⑹，厢=(1,0,-⑹,

PC=(O,I,-73).CB=(I,-I,O).

对于A：在三棱锥尸-ABC中，AB=BC=e，BALBC,PA=PB=PC=2,

所以底面三角形ABC为宜角三角形，其面积为:x夜x夜=1；

△APC为边长为2的等边三角形，所以面积为工x2x2x1=6；

22

△4P8和△(7也为腰长为2,底边为力的等腰三角形，所以面积均为^=咚:

所以三棱锥P-ABC的表面积为2x且+6+1="+力+1.故A正确；

2

“为棱3c的中点，所以加］；［,。),所以PM=

对于B：

|A.-+-+0

所以异面直线PM与AB所成角的余弦值为卜osPM,AB^=2=五.故B正

PA1|X|AB[7

确;

对于C：点M是棱BC上-动点，不妨设CM=4。8=之(1,-1,0)=(4-4,0),(0W4W1)

所以AM=AC+CM=(0,2,0)+(4—40)=(/1,2-/1,0).

n-PA=0—y—Gz=0

设〃=(x,y,z)为面的一个法向量，则＜

nAM=2x+(2-2)y=0

不妨设3=i,贝服=

A3

PC=(0,1,-6).因为PC与平面P4M所成角的正弦值为g,

丁…sin0=cosPC,n\

所以।2,

解得：号+巫

~~r

显然，面以C的一个法向量为机=(1,0,0).

-遍+。+。

3

设二面角M-R4-C的平面角为《，所以cos尸二|cosm,n\=

Jl+O+Oxj*+1+13

所以sin1-cos2p

故C错误;

对于D:

如图示，把平面尸BC展开，使A、B、C、P四点共面.

当M与B重合时，PM+MA=2+四<4：

当M与C重合时，PM+M4=2+2=4最大;

连结AP交8c于由两点之间宜线最短可知，当M位于也时，PM+M4最小.

山余弦定理得：AP=yjAB2+BP1-2AB-BP-cosZABP

22

=4k/2+2-2x^x2x

=16+2"

所以8W+M4的取值范围为76+277,4

故D正确.

故选：ABD

【点睛】立体几何题目的解题策略：

(1)证明题：几何关系的证明，用判定定理；

(2)计算题：求角或求距离(求体积通常需要先求距离)，可以用向量法.

第II卷(非选择题)

三、填空题(共20分)

sin7tr,x<0

13.已知函数/(x)=/(—x),0<xKl,则/2(021=-)=.

/(x-2),x>l

【答案】T

【分析】根据分段函数/(x)的解析式求得正确答案.

【详解】f］甯=｛侬+1=佃=/1J=如,扪-1.

故答案为：-1

14.若直线y=2x-l与抛物线y2=2无交于点A（ax）I（孙％），则04・08的值为.

【答案】二3

4

【分析】首先将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出y+%与乂必的值，然后利用向量数量积的坐标运

22

算公式及抛物线方程得QA-08=X]X2+）”2=牛+）1）2,将,必的值代入即可.

【详解】已知4（玉,乂），3（々,必），

将2x=y+l代入抛物线中得：y2=y+i，即y2-y-i=o,

所以％+%=i,»M=T.

（冷

04=x）,0B=（x2,y2）

XR

OAOB=+y1y2»

乂#=2同,y\—2X2,•.x|%2="J'

222

得OA-OB=x\X2+V|y!2=：：+yp'2=（；）一+（-1）=-

3

故答案为：一:

4

15.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者

去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的“，从这个

回答分析，5人的名次排列共可能有种不同的情况.（用数字作答）

【答案】54

【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个

位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3种情况，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，

其他三名同学排在三位置全排列有A；种,

由分步乘法计数原理可知共有3x3xA；=54种，

故答案为：54.

16.在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解.例如：曲线y=d在户1处的切线方

程为y=2x-l,Kx2>2x-l,若已知"?+"+f=3,则/??+/+J22加-1+2〃一1+2f-l=3,当m=〃=t=l

时等号成立，所以济+/+产的最小值为3.已知函数/（X）=X3-6X2+12X,若数列｛凡｝满足442,且

4+4+...+/=10,则数列｛A4）｝的前10项和的最大值为；若数列｛5｝满足2>0,且

&+3+...+%=210,则数列｛〃"）｝的前100项和的最小值为.

【答案】70630

【分析】利用导数的几何意义求X=l、x=3处的切线方程，根据题设描述，数形结合求"(%)｝的前10项

和最大值、"S,,)｝的前100项和的最小值，注意等号成立条件.

【详解】f\x)=3x2-12x+12=3(x-2)2>0,则f(x)在R上单调递增，如下图所示：

①易知/0)=7,尸(1)=3,

所以曲线丫寸㈤在x=l处的切线方程为V—7=3(x—1),即y=3x+4,

结合图象知/(X)43X+4(X<2),所以/(4)43q,+4,

所以/(4)+/(，)+•••+/'(“">)-3(4+4+…+4O)+4O=70,

当且仅当4=/=…=Go=1B寸，等号成立：

②曲线y=f(x)在x=/处的切线为y=(3x：-12%+12)(x-4)+£-6x：+12xn,

因为6“NO,则令此切线过原点，解得%=3或x0=0,

所以曲线y寸(x)在户3处的切线方程为y=3x,结合图象知f(x)23x(x20),

所以f⑺+f(b2)+...+f(bl00)>独+4+…+b,M)=630当且仅当勿=0或〃,=3时等号成立，

取伪=刈=…=%=3,优।=%=.“=伉(X,=0,即｛b“｝的前10。项中有70项为3,30项为0时,等号成立.

故答案为：70,630.

【点睛】关键点点睛：根据导数几何意义求切线方程，数形结合列不等式求"3")｝、"(〃)｝前〃项和的

最值.

四、解答题(共70分)

17.(本题10分)设各项非负的数列｛4｝的前"项和为S"，已知2S“=a'-〃(”eN*),且%，%，%成等比数

列.

⑴求｛叫的通项公式；

4+1

(2)若"=，数列列“｝的前〃项和却

【答案】（1）《="T

n+2

⑵1=4一

2”T

【分析】（1）利用4=S,-Si（〃N2）得出｛《｝的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比

数列的性质可求得勺，这样可得通项公式4（〃22）,然后由已知式中令〃=1求得q,比较后可得结论;

（2）用错位相减法求和.

(1)

当几=1时，2q=-1,

当"22时，2s①，2S,”|-("-1)②.

2

①.②得2an=d+i-a；-1,即=片+%+1=(a〃+1)，

'：a„>0,：.an+l4+1，

・・・数列｛为｝从第2项起是公差为1的等差数列.

二an=a2+n-2(〃>2),

又〃2，%，%成等比数列，，=。2。5，即（4+1）2=。2（%+3），

解得4=1,aLl+zi-Zf-lSNZ),

V2a1=a^-l,Aax=0,适合上式,

数歹!l｛为｝的通项公式为4=〃-1

⑵

a=市.

.••数列也｝的前"项的和为

—123n—\n4

(=声+^+齐++*r+而③

123n-\+爰④

=F+?+F++/

③-④得

,111n

/=1+]+于+H---；----

2“T2”

nc1n3八+2

_411---=2---------=2------

2〃2n~lT2〃

2

18.体题12分）在中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且》cosC=2a+c.

⑴求角8的大小；

（2）若人=26，。为AC边上的一点，比>=1,且,求..45C的面积.

①8。是zB的平分线；②。为线段4c的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并

作答）.

【答案】（1）B=T2兀

⑵6

【分析】（1）利用正弦定理化筒助cosC=2a+c,再根据三角形中角的范围可求得8=亍；

（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得oc=4,然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的

向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得四=4,然后根据面积公式即可.

（1）

由正弦定理知：2sin3cosc=2sinA+sinC

又：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

代入」二式可得：2cos6sinC+sinC=0

CG（O,TC）,则sinC>0

故有：cos8=-;

又Be（O,兀），则8=?

27t

故N5的大小为：y

（2）

若选①：

1118。平分NABC得：SAABC=S^BD+S^BCD

I1.2兀I1.兀Ii.7C..

贝nij有：—6zcsm——=-x1xcsin—+—x1x6?sm—,UnJac=a+c

232323

27r

在ABC中，山余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos—

又力=26，则有：a2+c2+ac=\2

\ac=a+c

联立2o

\a~+c+ac=\2

可得：（ac）—ac—12=0

解得：ac=4（ac=-3舍去）

故5AAM=­6/csin—=-x4x-^-=73

△ABC2322

若选②:

->21/_>_>\(_>2__>_>2

可得：BD=^BA+BCJ,BD=-lBA+BC\=-BA+2BABC+BC

1=—\c2+2accos-+a222

4(3可得：a+c—ac=4

在,."C中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosy,^a2+c2+ac=\2

a2+c2-ac=4

联立

a2+(?+a。=12

解得：ac=4

=Lcsinx4x包二0

故SAABC

2322

19.（本题12分）如图，在四棱锥尸-A3CD中，四边形ABCZ）是矩形，E为A£>的中点，AQ_L平面

PA±PB.

⑴若点〃在线段尸8上，且直线〃平面PC£>,确定点”的位置；

（2）若AP=AO,AB=gAD，求平面PCE与平面丛8所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）M为P8的中点

⑵|

【分析】（1）根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，再利用平行四边形的性质及三角形的中位

线，结合平行的传递性即可求解；

（2）根据（1）建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面PCE和平面的法向量，再

利用向量的夹角公式即可求解.

（1）

M为所的中点时，直线EM//平面PCO.

证明如下：设平面gT交直线PC丁尸，连接。

因为EM〃平面PCQ,

平面EDMF）平面PCD=DF,EMu平面EDMF，所以EMHDF.

因为£>E〃8C,平面P8C,8Cu平面PBC,所以£>E//平面P8C,

平面EDMF|平面PBC=MF.r>Eu平面EDMF,所以〃短0,

所以四边形EDMF为平行四边形，从而DE=FM.

因为£为4。的中点，则OE=1A£）=:BC,

22

所以MF=；BC又MF//BC,所以点M为PB的中点.

（2）

因为AQ_L平面附8,则45_LP4,AD±PB,以A为原点，以垂直43所在宜线为x轴，A8为y轴，AD

为z轴，建立的空间直角坐标系A-^