2023年广西玉林市高考数学三模试卷（文科）及答案解析

2023年广西玉林市高考数学三模试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数z对应的向量为被（0为坐标原点），次与实轴正向的夹角为120。，且复数z的模

为2,则复数2为（）

A.1+V_3iB.2C.（-1,~3）D.-1+V~3/

2.设集合4={0,1,2},AUB=[0,1,2,3）,则选项正确的是（）

A.06BB.3gCRB

C.AnB={0,1,2}D.AUB

3.已知命题p：%K3且丫片2,q：x+y于5,则p是勺的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设a,0为两个不同的平面，则a〃口的一个充要条件可以是（）

A.a内有无数条直线与6平行B.a,口垂直于同一个平面

C.a,£平行于同一条直线D.a,£垂直于同一条直线

5.已知f（x）=x3g（x）为定义在R上的偶函数，则g（x）的解析式可以为（）

A.g（x）=（：尸-3XB.g（x）=x3+x2C.g（x）=（j）x+3XD.g（x）=x2—x3

6.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船

与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦

点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面S],近地点（长轴端点中离地面最近

的点）距地面52,地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为（）

A./~S^B.2/~S^

C.J（Si+幻⑸+R）D.2j（Si+R）（Sz+R）

7.若两个等差数列{aj也}的前n项和分别为与和r“，且行需，则舞=（）

A.|B.券C.会D.I

8.已知某样本的容量为50,平均数为36,方差为48,现发现在收集这些数据时，其中的两

个数据记录有误，一个错将24记录为34,另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正

后，重新求得样本的平均数为3方差为s2,则（）

A.x=36,s2<48B.x=36,s2>48C.x>36,s2<48D.i<36,s2>48

9.如图，动点P从点M出发，按照MTDTCTB路径运动，

四边形ZBCD是边长为2的正方形，弧DM以4为圆心,/W为半径，

设点P的运动路程为x,AAPB的面积为y,则函数y=/(x)的图

象大致是()

11.已知?(5,0)是双曲线C；★-马=l(a>0">0)的右焦点，点工(0,CI).若对双曲线C

左支上的任意点M,均有|M4|+|MF|210成立，则双曲线C的离心率的最大值为()

A.VHHLB.5c・|D.6

12.函数f(x)对任意x,yGR总有f(%+y)=/(x)+〃y),当x<0时，f(x)<0,/(l)=

则下列命题中正确的是()

A.f(x)是偶函数

B./(x)是R上的减函数

C./(%)在［-6,6］上的最小值为-2

D.若f(x)+/(x-3)2-1,则实数x的取值范围为［3,+8)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数/'(x)-ax3—bx—tanx+2,若/'(zn)=1,贝(1/(—m)=.

14.记数列｛%｝的前n项和为无,己知向量沅=(an+i，Sn),n=(1,2),若的=2,且记〃元,

则｛即｝通项为.

x+2y>4

15.设心y满足约束条件卜％—y+2NO,则z=/+g一4)2的最小值为.

%<4

16.在正四棱柱4BCD-&B1C15中，AB=1,44=4,E为。久中点，P为正四棱柱表面

上一点，且GPIBiE,则点P的轨迹的长为—.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+bsinA=c.

(1)求角4的大小；

(2)若a=/2，AABC的面积为［二，求b+c的值.

18.(本小题12.0分)

为改善学生的就餐环境，提升学生的就餐质量，保证学生的营养摄入，某校每学期都会对全

校3000名学生进行食堂满意度测试.已知该校的男女比例为1：2,本学期测试评价结果的等高

(1)填写上面的列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意

度”情况与性别有关；

(2)按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人，再从这5人中随机选出3人

交流食堂的问题，求选出的3人中恰好没有男生的概率.

2_n(ad-bc)2

附:K7i=a+b+c+d.

-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

Pg>ko)0.100.050.0100.001

k()2.7063.8416.63510.828

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，P4J_平面4BCD,底面4BCD是矩形，PA=AD=2,AB=4,

M,N分别是线段4B,PC的中点.

(1)求证：MN〃平面PAD；

(2)在线段CD上是否存在一点Q,使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为家若存在，求出

黑的值；若不存在，请说明理由.

20.(本小题12.0分)

已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为产，准线为八点P为E上的一点，过点P作直线，的垂

线，垂足为M，且|MF|=|FP|,FM-FT=32.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)已知△BCD的三个顶点都在抛物线E匕顶点B(2,4),△BCD重心恰好是抛物线E的焦点F,

求CD所在的直线方程.

21.(本小题12.0分)

设函数/'(x)=(x+a)lnx+b,曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程为x+y-2=0

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)证明:等<1

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，直线/的直角坐标方程为y=「无，曲线C的参数方程为

W：:震(a为参数).以坐标原点。为极点'x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(y-L।Dinu.

(1)求直线I和曲线C的极坐标方程；

11

(2)若直线E与曲线C交于4B两点,求两+两.

23.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=|x-2|4-|x+2|.

(1)求不等式/(%)>2%4-4的解集；

(2)若f(x)的最小值为k,且实数a,b,c,满足a(b+c)=k,求证：2a24-62+c2>8.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：设复数z对应的点为(x,y),

则x=\z\cosl200=2x(-1)=-1,y=\z\sinl20°=2x孕=

二复数z对应的点为(一1,/百)，则Z=-1+Oi.

故选：D.

设复数z对应的点为(x,y),求解直角三角形可得x,y值，则z可求.

本题考查复数的模，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：集合A={0,1,2},AUB={0,1,2,3),

对于4由并集定义得。不一定是B中元素，故A错误；

对于B,3€B,二3CCRB,故8正确；

对于C,由并集定义得8中一定有元素3,不一定有元素0,1,2,故C错误；

对于D,当8={3}时，4UB不成立，故。错误.

故选：B.

利用并集、子集定义、元素与集合的关系直接求解.

本题考查集合的运算，考查并集、子集定义、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：(等价转化法)判断p是q的何种条件，等价于判断飞：x+y=5是x=3或x=2

的何种条件，

显然由飞推不出"，由"也推不出「q,

所以p是q的既不充分也不必要条件，

故选：D.

利用等价转化法，判断p是q的何种条件，等价于判断%：“+、=5是"：久=3或％=2的何种

条件，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：4a内有无数条直线与/?平行推不出a〃氏故A不符合，

B：a,0垂直于同一平面，得到(?〃0或al/?,故8不符合，

C：a,0平行于同一条直线，得到a〃夕或a与0相交，故C不符合，

D：a,6垂直于同一条直线oa〃夕，故。符合.

故选：D.

利用线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判定4、8、C、。的结论.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的

判定和性质，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由于/(%)=/。(乃为定义在R上的偶函数，

所以f(—x)——x3g(—x)-x3g(x),

所以g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数.

在四个选项中，4选项g(x)=©)x—3x是奇函数，BCD选项都不是奇函数.

故选：A.

根据函数的奇偶性确定正确答案.

本题考查函数的奇偶性，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意得a+c=S]+R,a-c=S2+/?,

b2=a2-c2=(Si+R)&+R)，

故b=J(Si+R)(S2+R)，

2b=2j⑸+R)(S2+R)，

故选：D.

根据椭圆的远地点和近地点的距离可得a+c=Si+R,a-c^S2+R,进而可得X,求得从可

得答案.

本题主要考查了椭圆性质的简单应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：依题意，可设%=kn(3n+2),Tn=fcn(2n+1),

又当？i>2时，有册=S"—Sn_］-fc(6n-1),bn=Tn-Tn_1—fc(4n-1),

.£12=M6X12-1)=71

"b15~fc(4xl5-l)-59'

故选：C.

先由题设求得当与7；的关系式，进而求得an与垢的关系式，即可求得结果.

本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：设收集的48个准确数据为修，x2,-x48,

所以X]+X2+…+X48+34+38=36,

所以X1+冷T----卜*48=1728,

所以京=X1+X2+…蓝48+24+48=36)

11

又48=—[(%i-36)2+(%2—36)2+…+(%48—36产+(34—36)2+(38—36)2]=—[(%!—

222222

36)2+(尤2-36)+…+(x48-36)+8],s=[(/-36)+(x2-36)+…+(x48-36)+

22222

(24-36)+(48-36)]=盍[(勺-36)+(x2-36)+-(%48-36)+288]>48.

故选：B.

根据数据总和不变，则平均数不变，再结合方差公式，即可求解.

本题主要考查方差公式的应用，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：根据题意，在区间［0,网上，P在曲线上运动，此时设4PAM=仇y=^ABxAPx

sin0=2sin9,

在区间［匹兀+2］上，P在DC上运动，此时y为定值2,

在区间［五+2,冗+4］上，P在上运动，止匕时y=；xxP8=P8=兀+4—

分析选项，其图象与B选项对应，

故选：B.

根据题意，按x的范围分3段求出y的解析式，分析选项即可得答案.

本题考查函数的图象分析，涉及函数的解析式，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】解：/(%)=2sinx+4cosx=2y/~5(^-sinx+cosx)=2A/-5cos(x—<p),其中cosw=

—2/T>si.rup=—V-5>

丫函数f(%)=2sinx+4cos尤在x=勿处取得最大值2，§，

:.coscp——2<3>

故选：A.

先利用三角函数的恒等变换变形成余弦型函数，求解即可.

本题考查三角函数的恒等变换，余弦型函数性质的应用，属于中档题.

11.【答案】C

【解析】解：设E是双曲线的左焦点，M在左支上,

则|MF|-|ME|=2a,|MF|=|ME|+2a,\MA\+\MF\=\MA\+\ME\+2a>\EA\+2a,当且

仅当E,A,M三点共线时等号成立，

Ic55

则|E4|+2a=J(-5)2+(/H)2+2a>10,a>2>所以6=£=£三万，

所以离心率的最大值为I，

故选：c.

设E是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把|MF|转化为|ME|后易得|M*+|ME|的最小值，从而

得a的最小值，由此得离心率的最大值.

本题考查了双曲线的离心率的取值范围问题，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：取x=0,y=0,则/(0)=/(0)+/(0)，解得/(O)=O,y=-x,

则f(O)=f(X)+〃T).即一f(x)=f(-x),函数/(x)是奇函数，所以选项A错误；

令Xl，X2ER,且则因为当x<0时，/(X)<0,所以/(与—犯)<。，

贝"(巧)-f(&)=f(/)+/(-x2)=f(Xl_x2)<0.即/■(/)</(x2),

函数/(x)是R上的增函数，所以选项8错误；

因为函数/(无)是R上的增函数，所以函数在［-6,6］上的最小值为/(-6),

因为(-6)=/(-3)+/(-3)=2/(—3),汽―3)=一/(3),/(3)="2)+f⑴=3/1)=1.

故/(—6)=—2,f(x)在［—6,6］的最小值为一2,所以选项C正确：

/(%)+f(x-3)>-1,即f(2x-3)>/(-3),

因为函数/(x)是R上的增函数，所以2%-32-3,所以X20,

所以实数x的取值范围为［0,+8),所以选项。不正确.

故选：C.

利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断4

根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；

根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；

不等式转化为f(2x-3)>/(—3),利用函数的单调性，即可判断D.

本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及应用，属于中档题.

13.【答案】3

【解析】解：由题得f(m)=am3—bm—tanm+2=1,

•••am3—bm—tanm——1,

所以/(—m)=—am3+bm+tanm+2=—(am3—bm-tanm)+2=1+2—3.

故答案为：3.

3

根据题意可得azn，—bm—tanm=­1>结合f(—m)=—(am—bm—tanm)+2计算即可求解.

本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

(2,n=1

14.【答案】an=|(|r-2>2

【解析】解：•・,m//nfm=(an+1,Sn),n=(1,2),

，Sn=2an+i,

当n=l时,Sr=alf则02=1=1,

当九22时，2an+i=Sn,2c1n=Sn_1，

两式作差得册+1=。“，即乎=5,

乙anL

.・.数列是公比为I，首项为1的等比数列，

则与=(|)n-2(n>2),

_(2,n=1

又的=2不符合上式，贝=[(3尸-2,几22.

故答案为：％

由平面共线向量的坐标表示可得Sn=2厮+1，利用S„与与的关系求出数列的通项公式，即可得出

答案.

本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

15.【答案】1

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

z=x2+(y-4>的几何意义为可行域内动点到定点P(0,4)距离的平方,

则Z=9+(y-4产的最小值为(亍；；：)2=最

故答案为：I

由约束条件作出可行域，再由z=x2+(y-4)2的几何意义，即可行域内动点到定点P(0,4)距离的

平方求解.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

16.【答案】V-5+2

【解析】解：如图，连接Bi。1，&G，

由题可知，41cl1BQi，ED11平面&B1GD1，

因41clu平面4/1的。1，则EOi1&C],

又BRu平面ED1u平面EB也，E%n8也=么，则JL平面58也.

又B&Eu平面E&Di，

则G41BiE,

如图，过E做/Ci平行线，交CCi于尸，贝IJF为CG中点.

连接EF,B/,过G作当尸垂线，交BBi于G.

由题可得，DiG1平面BCC/i，

又EF"D[Ci，则EF_L平面BCG&,

因QGu平面BCCiBi，则GGJ.EF,

又8/u平面当尸E,FEu平面&FE,FEnBrF=F,则C"_L平面B/E,

因为BiEu平面B/E,则CiG1B】E,

因为GGU平面GG4,G4U平面GG4,G4nGG=q,则/E1平面GG4,

连接&G,则点P轨迹为平面QGA1与四棱柱的交线，即AAiCiG,

注意到4B1GG+乙GC、F=乙GCjF+NB/Q,

故NBIGG=Z.B1FC1,Z.CJBJG=/.FC1B1,

则4C1B1F~AFC1B1,

B、G=1,

则点P的轨迹的长为41G+C]G+41cl=21+3+V~2=A/-5+\T~2-

故答案为：yf~54-yT~2-

过CI作与直线81E垂直的平面%则点P的轨迹的长即为平面a与正四棱柱的交线长.

本题为立体几何中的轨迹问题，根据题意作出空间轨迹是解题关键，属于难题.

17.【答案】解：(1)△ABC中，acosB+bsinA=c,

由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

・•・sinBsinA=cosAsinB,

又sinB丰0,

:.sinA=cosA,

又AG(0,7T),

...7T

tanA=1,4=T；

4

⑵由SA48c=^bcsinA=?bc=-2~V<

解得be=2-VI;

又M=b2+c2-2bccosA,

・•・2=b2+c2-y/~2bc=(b+c)2—(2+A/-2)Z?c,

A(b+c)2=2+(2+yj~2)bc=2+(2+V"力(2—=4,

・•・b+c=2.

【解析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题.

(1)利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得4的值；

(2)由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c的值.

18.【答案】解：(1)•.•该校的男女比例为1：2,总人数为3000人,

该校男生数为3000x1=1000,该校女生数为3000x|=2000,

其中测试评价满意的男生数为1000x0.7=700,不满意的男生数为300,

其中测试评价满意的女生数为2000x0.4=800,不满意的女生数为2000-800=1200,

2x2列联表如下：

男女合计

满意7008001500

不满意30012001500

合计100020003000

..K2=3000x(700x1200-800x300)2=

,”一1500x1500x1000x2000—240>10,828

•••由独立性检验定义知，有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”与性别有关；

(2)按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人，

由分层抽样的定义可知，抽取的男生人数为5=1,抽取的女生人数为5-1=4,

设男生为A,女生为a,b,c,d,基本事件总数为10个，如下：

(A,a,b),(4,a,c),(4,a,d),(4,4c),(Atb,d),{A,c,d),(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)

恰好没有男生的基本事件个数为4个，如下：(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),

所以这5人中随机选出3人，恰好没有男生的概率为：P=^=l-

【解析】(1)根据题意和等高条形图，求出对应的数据，将列联表补充完整，利用卡方公式计算,

结合独立性检验的思想即可下结论；

(2)由分层抽样的定义可知抽取的男生1人，女生4人，利用列举法即可解决该古典概型问题.

本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

19.【答案】解：(1)如图，取PB中点E,连接ME,NE.

•：M,N分别是线段48,PC的中点，

•••ME〃P4又ME<t平面PAC,P4u平面PAD,

•••ME〃平面PAD,同理得NE〃平面PAD,又MECNE=E,

.♦•平面PAD〃平面MNE,又MNu平面MNE,

MN〃平面240；

(2)♦.•四边形4BCD为矩形，[AB14D,又P4，平面4BCD,

AP>AB,AC两两垂直.

.•,以48、AD,4P所在直线为x、y、z轴建，立如图的空间直角坐标系,

则根据题意可得C(4,2,0),D(0,2,0),尸(0,0,2),M(2,0,0),N(2,1,1),

.-.'DM=(2,-2,0)，DN=(2,-1,1),

设平面DMN的法向量元=(x,y,z),

„.(n-DM=2x-2y=0“、

[n-DN=2x—y+z=0

若满足条件的CD上的点Q存在，设Q(t,2,0),0<t<4,

又N(2,l,l),.•.而=(t-2,l,-l)，

设直线NQ与平面DMN所成的角为0,

NQH._|t-2+l+l|1

则sin。=5，又0WtW4,

解得t=L•••(?(1,2,0),

•••DQ=1,CD=4,CQ=CD-DQ=4-1=3,

故CD上存在点Q,使直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为5且泻=,.

【解析】（1）取PB中点E,连接ME,NE.由线面平行的判定定理可证得ME〃平面PAD,NE〃平面

PAD,再由面面平行的判定定理，即可证明；

⑵以4B、AD.AP为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，由线面角的向量公式可求出Q点的

位置，即可得出黑的值.

本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理与性质，向量法求解线面

角问题，向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题.

20.【答案】解：（1）•••|PM|=\PF\=\FM\,PFM为等边三角形,

乙FMP=4PFM=60°,

又丽•~FP=\FM\-\FP\cos/.PFM=|FM|2cos60。=32.•••\FM\8,

设直线，交x轴于N点，则在Rt△MNF中乙NMF=30°,\NF\=4p,

.•・抛物线E的方程为f=8x；

(2)设CO[%),D(x2,y2),由(1)可得焦点尸(2,0),

_%1+冷+2

N--3—(%1+%=4

由重心坐标公式得2

0一%+丫2+4lyi+y2=

•••CD中点坐标为(2,—2),

将C,D的坐标代入抛物线的方程可得另=?叼，

172=8%2

作差比-yl=8X1-8打，即(%一丫2)()+丫2)=8(X1-尤2)，

所以略=五%=3=一2,即直线C。的斜率k=-2,

所以直线CO的方程为y+2=-2(x-2),即2x+y-2=0.

【解析】(1)根据抛物线的定义及已知条件可得APFM为等边三角形，再利用数量积的定义求出

\FM\,即可求出p,从而得解；

(2)设C(Xi，yJ,D(x2,y2),利用重心坐标公式得到CD中点坐标为(2,-2),再利用点差法求出品°，

即可求出直线方程.

本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为((x)=bix+誓，所以f'(l)=l+a=-l,所以a=-2

又点在切线x+y-2=0上，所以1+匕-2=0,所以b=l

所以y=f(x)的解析式为/'(x)=(x-2)lnx+1.

(2)令g(x)=x—e*,(x>0)

因为g'(x)=1-e*所以当尤>0时，g'(x)<0

所以g(x)在区间(0,+8)内单调递减，

所以g(x)<g(o)=-1<o

所以酷1<1等价于-1>9。)-

我们如果能够证明/(x)-1>-1,即/(乃>0即可证明目标成立.

下面证明：对任意x6(0,+8),/(x)>0.

由(1)知r(x)=Inx+令九(x)=+?(x>0)

则*(久)=：+捻>0,所以h(x)在(0,+8)内单调递增，

又九⑴=-1<0,九⑵=ln2>0,所以存在通e(1,2)使得Mx。)=0.

当0<x<&时，九(x)<0即/'(x)<0,此时“为单调递减;

当%>和时，九(乃>0即/'(%)>0,此时f(x)单调递增；

2

所以/(X)>/(&)=(&-2)/nx0+1.由r(&)=0得Inx。=--1

所以/(X)>/1(&)=(XO-2)/nx0+1=Qo-2)(：-1)+1=5-(x0+^).

令r(x)=x+^(l<x<2),则r，(x