2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题试题（含答案+解析）

黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试题

一、选择题（每题3分，满分30分）

1.下列运算中，计算正确的是（）

A.—-b2—a2B.3a-2a—6a

C.D.a6^a2=a3

【答案】C

【解析】

【分析】根据完全平方公式、同底数幕相乘除，积的乘方进行计算，即可判断.

【详解】仅—4=〃+。2_2"，故A选项错误，不符合题意；

3a•2a=6/,故B选项错误，不符合题意；

（―父）2=/，故c选项正确，符合题意；

故D选项错误，不符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幕相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（)

A.B.C.

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义判断即可.

【详解】解：；是轴对称图形，也是中心对称图形,

...不符合题意;

是轴对称图形，不是中心对称图形

不符合题意;

不是轴对称图形，是中心对称图形

；•符合题意;

轴对称图形，不是中心对称图形

不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图

形绕某点旋转180。后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键.

3.学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172,169,180,182,175,

176,这6个数据的中位数是（）

A.181B.175C.176D.175.5

【答案】D

【解析】

【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数

据的中位数.

【详解】解：将172,169,180,182,175,176从小到大进行排序为：169,172,175,176,180,182,

排在中间的两个数为175,176,

.•.这6个数据中位数为175+176=175.5,故D正确.

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中

间的一个数或两个数，注意偶数个数是求中间两个数的平均数.

4.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是

（）

ffi□由

VHI?用

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最

多个数，再相加即可.

【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个,

那么搭成这个几何体所需小正方体最多有5+3=8个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考

查.

5.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少

支队伍参加比赛？（）

A.8B.10C.7D.9

【答案】B

【解析】

【分析】设有x支队伍，根据题意，得：x（x-l）=45,解方程即可.

【详解】设有x支队伍，根据题意，得：x（x-l）=45,

2

解方程，得M=10,X2--9（舍去），

故选B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

6.已知关于x的分式方程--------乙=1的解是正数，则，”的取值范围是（）

X—11-X

A.机>4B.<4C.zn>4且〃2H5D.〃？<4且加工1

【答案】C

【解析】

【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到加-4>0

且m-4—1/0,即可求解.

【详解】方程两边同时乘以（x—l）,得2x-〃z+3=x—l,

解得x=，篦—4,

・.・关于X的分式方程上二"一-3—=1的解是正数，

X—11—X

了.x>0,且工一1。0,

即"2—4>0且加一4一1。0,

.二加>4且加w5,

故选：C.

【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0,熟练掌握知识点是解题的关键.

7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动.某班同学报名参加书法和围棋两个社团，

班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元.其中毛笔每支15元，围棋每

副20元，共有多少种购买方案？（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

【分析】设设购买毛笔X支，围棋y副，根据总价=单价X数量，即可得出关于x,y的二元一次方程，结合

X,y均为正整数即可得出购买方案的数量.

【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，

15x+20_y=360,即3x+4y=72,

又•.”，y均为正整数,

x=4x=8x=\2x=16-=20

或＜或,"9或或＜

、y=15一y=12y=6y=3'

...班长有5种购买方案.

故选：A.

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的

关键.

3

8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形。区4。的顶点8在反比例函数丁=一的图象

x

上，顶点A在反比例函数y=A的图象上，顶点。在x轴的负半轴上.若平行四边形。的面积是5,

X

则女的值是（）

【答案】D

【解析】

【分析】连接。4设AB交y轴于点C,根据平行四边形的性质可得S-AB//OD,再

根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解.

【详解】解：如图，连接设AB交y轴于点C,

•••四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5,

C1c5

・・S——SOBADAB//OD,

A()[i2~—2»

轴，

ak.

・・•点B在反比例函数y=士的图象上，顶点A在反比例函数y=一的图象上,

xx

C__Ck

COBmA

3-2'2

3k5

•q—qaq—————

,•UAAOB-LCOBT

222

解得：k=a

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性

质，反比例函数比例系数的儿何意义是解题的关键.

9.如图，AABC中，AB^AC,AO平分N84c与BC相交于点。，点E是AB的中点，点F是。C的中

点，连接EF交于点P.若AABC的面积是24,PD=1.5,则PE的长是()

【答案】A

【解析】

【分析】连接。区取的中点G,连接EG,先由等腰三角形“三线合一”性质，证得AOLBC,BD=CD,

再由E是AB的中点，G是A。的中点，求出SAEGD=3,然后证AEG尸也△FCP(AAS),得GP=CP=1.5,从

而得Z)G=3,即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长.

【详解】解：如图，连接。E,取AO的中点G,连接EG,

：AB=AC,AO平分N&4C与8c相交于点。,

\AD±BC,BD=CD,

AAM；BC1c,

,•S=L=-x24=i2,

2

.,E是AB的中点,

••S”所;S.ABD=—x12=6,

2

.•G是的中点,

.1o1/

•SAEGD=-SAAED=-X6=3

.♦E是AB的中点，G是A。的中点,

,.EG//BC,EG=3BD=；CD,

NEGP=NFDP=90°,

.•尸是CO的中点,

DF=gcD,

\EG=DF,

：NEPG=/FPD,

,.丛EGP刍丛FDP(AAS),

GP=PD=L5,

\GD=3,

SA£GD=—GD-EG-3,即‘EGx3=3,

22

\EG=2,

在用△EGP中，由勾股定理，得

22225

PE=VEG+GP2=V2+I.5=-，

故选：A.

A

【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形

中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键.

10.如图，正方形A8C。的对角线AC,8。相交于点O,点F是。上一点，OE上OF交BC于点、E,连

接AE,BF交于点、P,连接。P.则下列结论：①AE_L即:②NOQ4=45°：③AP-BP=皈OP；④

41

若BE:CE=2:3,则tanNC4E=-；⑤四边形OEC尸的面积是正方形ABC。面积的一.其中正确的结

74

A.①②©®B.①②®@C.©©③④D.①③④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：

①通过证明MF且AC0£（4SA）得至I]EC=FD,再证明AEACGAFEXSAS）得至|J/EAC=/F8Z）,从而证明

ZBPQ=ZAOQ=90°,即短_|_3/；

②通过等弦对等角可证明ZOPA=ZOBA=45°；

③通过正切定义得tan/BA石=三RF=不RP，利用合比性质变形得到AP-BP=C±F.RPk，再通过证明

ABAPBE

OP.AEOP，AE.BP

△AOPS^AEC得到=代入前式得AP-BP=u1，最后根据三角形面积公式得到

AOAO-BE

AEBP=ABBE,整体代入即可证得结论正确;

FCFG

④作EGLAC于点G可得EG〃8O,根据tanNC4E=*=.;二,设正方形边长为5a,分别求出EG、

AGAC-CG

3

AC、CG的长，可求出tanNC4E=—,结论错误；

7

⑤将四边形。EC厂的面积分割成两个三角形面积，利用AOOF0ACOE(ASA),可证明5四边彩

OECF=S^COe+S^COF=SADOF+SACOF=SACOD即可证明结论正确.

【详解】①•••四边形ABCQ是正方形，。是对角线AC、8。的交点，

/.OC=OD,OCLOD,ZODF=ZOCE=45°

OELOF

：.ZDOF+ZFOC=ZFOC+ZEOC=90°

：.NDOF=/EOC

在4DOF与4COE中

ZODF=NOCE

<OC=OD

NDOF=NEOC

：.AOOF%COE(ASA)

：.EC=FD

EC=FD

在^EAC与^FBD中,ZECA=NFDB=45°

AC=BD

：.△£4c也AF8£>(SAS)

，ZEAC=ZFBD

^'：ZBQP=ZAQO

：.ZBPQ=ZAOQ^O°

：.AE±BF

所以①正确；

②：乙4OB=/AP8=90°

...点尸、。在以AB为直径的圆上

•••AO是该圆的弦

ZOPA^ZOBA=45°

所以②正确；

BEBP

③•・•tanNBAE

ABAP

.ABAP

.AB—BEAP-BP

*'-BE-BP

.AP—BPCE

一~BP~~BE

,AP-BP=N

BE

■:ZEAC=NOAP,Z.OPA=ZACE=45°

4Aop^AAEC

OPAO

~CE~~AE

OPAE

CE=

AO

OPAEBP

AP-BP=

AOBE

,/-AEBP^-ABBE=S

22

AEBP=ABBE

…一等普嚼。…

所以③正确;

④作EGJ_4c于点G,则EG〃80,

.EGCECG

设正方形边长为5a，则BC=5a,OB=OC=^^a，

2

BE2

若BE:CE=2:3,则k二一，

CE3

.BE+CE2+3

CE一丁

CE_3

~BC~5

EG=、B=­a

BC522

VEG1AC,ZACB=45°,

ZGEC=45°

CG二EG二逑

2

3亚

EG2_3

tanZCAE====

AGAC-CG~~^―37F7

572a--------a

2

所以④错误;

⑤ADOF=ACOE(T4SA),SWUIKOEO^S^COE+SACOF

SmumOECF=SADOF+SAC。产S^COD

,SACOD=aS正方暗BCO

S叫边柩OECF=；5正方形ABC。

所以⑤正确；

综上，①②③⑤正确，④错误，

故选B

【点睛】

本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角

函数的定义是解题的关键.

二、填空题(每题3分，满分30分)

11.我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数

据1.89亿用科学记数法表示为.

【答案】1.89x1()8

【解析】

【分析】把亿写成10,最后统一写成ax10"的形式即可.

【详解】解：由题意得：1.89亿=L89X1()8,

故答案为：L89X10'.

【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键.

12.函数丁=四二5中自变量x的取值范围是.

【答案】x>1.5

【解析】

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,即可求出答案.

【详解】解：根据题意，

2.x—320,

x>1.5；

故答案为：x>1.5.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于。进行解题.

13.如图，在四边形ABC。中，对角线AC,80相交于点O,OA^OC,请你添加一个条件,使

△AOB”卫OD.

A/^-----------------刁D

【答案】OB=OD（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据SAS添加08=07）即可

【详解】解：添力口。8=。。，

△A0B和△COO中，

AO=CO

<NA0B=NC0D,

0B=0D

：.AAOB珏COD（SAS）

故答案为08=00（答案不唯一）

【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键.

14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个

球，摸到红球的概率是________.

【答案】|

【解析】

【分析】利用概率公式计算即可.

【详解】•；不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，

21

...摸到红球的概率是——

2+43

故答案为：

3

【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键.

[2x-l<3

15.若关于x的一元一次不等式组《八的解集为x<2,则a的取值范围是

x-a<0

【答案】a>2##2<a

【解析】

【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案.

2x-1<3①

【详解】解:

x—a<0(2)

解不等式①得：x<2,

解不等式②得：xVa,

（2x-l<3

•.・关于》的不等式组。一。〈。的解集为x<2'

a>2.

故答案为：a>2.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的

口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）.

16.如图，在。。中，AB是的弦，OO的半径为3cm,C为上一点，ZACB=6O°,则AB的长

为—cm.

【答案】36

【解析】

【分析】连接04、08,过点。作于点，由垂径定理和圆周角定理可得=

2

4403=120。，再根据等腰三角形的性质可得/。3=/。84=30。，利用含30。角的直角三角形的性质

和勾股定理即可求解.

【详解】解：连接04、OB,过点。作OOJLA8于点。，

AD^BD=-AB,ZODA=90°,

2

Z4c6=60°,

/.ZA<9B=i20°,

-.OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=3Q°,

・.♦OA-3cm,

3

/.OD=—cm,

2

AD=yJo^-OD2=^cm，

2

二.AB=36cm>

故答案为：3后.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质和勾股定理,

熟练掌握知识点是解题的关键.

17.若一个圆锥的母线长为5cm,它的侧面展开图的圆心角为120。，则这个圆锥的底面半径为cm.

【答案】|

【解析】

【分析】由于圆锥的母线长为5cm,侧面展开图是圆心角为120。扇形，设圆锥底面半径为巾m,那么圆锥

底面圆周长为2〃cm,所以侧面展开图的弧长为2m,cm,然后利用弧长公式即可得到关于『的方程，解方程

即可求解.

【详解】解：设圆锥底面半径为em,

则圆锥底面周长为：2〃rcm,

侧面展开图的弧长为：2%rcm,

解得：

3

故答案为：—•

3

【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解

决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

18.如图，菱形48co中，对角线AC,8。相交于点0,ZaW=60°,AD=3,AH是NR4C的平分线,

CE_LAH于点E,点P是直线A8上的一个动点，则OP+PE的最小值是.

【答案］亚

2

【解析】

【分析】作点。关于AB的对称点尸，连接。口交AB于G,连接PE交直线AB于P,连接P。，则P0=P尸，

此时，P0+PE最小，最小值=E凡利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF,0E长，再

证明△£»尸是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可.

【详解】解：如图，作点。关于A8的对称点尸，连接。尸交AB于G,连接PE交直线48于P,连接P0,

则尸O=PF,此时，PO+PE最小，最小值=EF,

•.•菱形A3CD,

：.AC±BD,OA=OC,0=00,AD=AB^3,

•：ZBAD=60°,

.•.△ABD是等边三角形，

：.BD=AB=3,ZBA0=30°,

.3

・・OB——

29

：.OA=-y/3

2f

・,・点。关于AB的对称点F,

AOF1.AB,OF=2OG=OA=-43

2f

：.ZAOG=60°f

•；CE_LAH于E,OA=OCf

：.OE=OC=OA=-y[3

2t

・・・4H平分N8AC,

AZCAE=15°,

・・・ZAEC=ZCAE=\50,

：.ZDOE=ZAEC+ZCAE=30°,

JZDOE+ZA(9G=30O4-60O=90O,

・・・ZFOE=90°,

・・・由勾股定理，得尸2+。石2=

2

...PO+PE最小值=亚.

2

故答案为：亚

2

【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点。关于

AB的对称点F,连接OF交43于G,连接PE交直线AB于P,连接PO,则PO=PF,则PO+PE最小，最

小值=所是解题的关键.

19.在矩形A8C。中，AB=9,4)=12,点E在边CO上，且CE=4,点P是直线BC上的一个动点.若

VAPE是直角三角形，则8P的长为.

【答案】」31或1^5或6

34

【解析】

【分析】分三种情况讨论：当/APE=90°时，当/AEP=90°时，当/B4E=90°时，过点P作尸FLOA交

D4延长线于点尸，即可求解.

【详解】解：在矩形4BCD中，AB=CD=9,AD=BC=n,ZBAD=ZB=ZBCD^ZADC=90°,

如图，当/APE=90。时，

ZAPB+ZCPE=90Q,

ZBAP+ZAPB=90°,

NBAP=NCPE,

VZB=ZC=90°,

：./XABPs/\PCE,

.ABBP9BP

,即

"PC-CEn-BP

解得:BP=6；

如图，当/4EP=90°时,

AZAED+ZPEC=90°,

VZDAE+ZAED=90°,

JZDAE=ZPEC,

VZC=Z£>=90°,

:.LADEsAECP,

...丝=”,占工

CEPC4PC

解得：pc=1,

3

31

・・.BP=BC-PC=—；

3

如图，当NR1E=9O°时，过点P作尸/UDA交D4延长线于点尸,

根据题意得N3AQNA3P=NF=90°,

・・・四边形A8P尸为矩形，

PF=AB=9fAF=PB,

'：ZPAF+ZDAE=90°,ZB4F+ZAPF=90°,

・・・ZDAE=ZAPFf

VZF=ZZ>90°,

・・・XAPFsgAD,

,AFPFAF_9

.・-.......，RJ---------——,

DEAD9-412

解得：AF=-,即PB="；

44

3115

综上所述，BP的长为」或三或6.

34

故答案为：331•或，15或6

34

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩

形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，点A，4,4,A4……在x轴上且。4=1,。4=2。4,

0Al=2OA3……按此规律，过点a,4,4,4……作X轴的垂线分别与直线y=Jit交于点B-B2,

B3,B4……记AOA4,AOA2B2,M3B3,A(9A4B4……的面积分别为S1,邑，S3,S4……，则§2022=

【解析】

【分析】先求出44=百，可得5小八=走，再根据题意可得4瓦〃4昆〃4员……〃A”B”,从

1■4>[2

而得到282sAOA为SAOA纥……sXO'B、,再利用相似三角形的性质，可得S.OAB,：

22232

SAOA?%•SAOA0•^„OA4BA...•S&OANB”=1:2:(2)：(2)：……(2"不，即可求解.

【详解】解：当户1时，丫=也,

.•.点4(1,6),

・•・a片="

，Son区=—xlx^3=，

・・,根据题意得：4片〃4鸟〃人&.〃4纥，

△0/41B}sAOA,B,s^OA3B3s^OA4B4.../\OAnBfl,

••Sq%B\:SQ&B?:SAOA'B?:S&0Al%......：S,0AA=0A|2：OA22-0A32:OA“2,

,JQA=1,0A2=204,OA,=2OA,OA4=2OA3...,

.•.。&=2,。43=4=22,04=8=23……OA,,=2"-',

：

・q・q・q・qSQA,B.二

AOA4B4

1:22:（22）2：（23）2:……（2"-1）2=l:22:24:26:

・C-,2”-2s

,•QSR,一乙u.OA优，

•••S2022=22*2°22-2x#=24M退.

故答案为：2404lV3.

【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是

解题的关键.

三、解答题（满分60分）

（a1—2a,2a—1一

21.先化简，再求值：—------1------,其中a=2cos30°+1.

Ia--1）a+1

【答案】—）卫

\-a3

【解析】

【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出。值，然后把。值代入

化简式计算即可.

ci~-1]a+1

【详解】解:原式=6?2—1J2a—1

1—2a。+1

/-12a—1

1

\-a

当a=2cos30°+l=G+M，

is共16

原式=----7=---=-----

1-V3-13

【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，AABC的三

个顶点坐标分别为B（2,-5）,C（5,T）.

（1）将AABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到"男弓，画出两次平移后的△AgG，

并写出点A的坐标；

（2）画出"gG绕点G顺时针旋转90。后得到△4名G,并写出点4的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留兀）.

【答案】⑴见解析；4（一5,3）

（2）见解析；A（2,4）

（3）点4旋转到点儿所经过的路径长为|兀

【解析】

【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；

（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可）

（3）根据旋转可得点A旋转到点a为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可.

【小问1详解】

解：如图所示即为所求，

A（-5,3）；

【小问2详解】

如图所示AA282c2即为所求，A（2,4）；

【小问3详解】

•••="+42=5

...点A旋转到点A所经过的路径长为"上=-71.

1802

【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识

点是解题关键.

23.如图，抛物线y=V+bx+c经过点A（-l,0）,点8（2,-3）,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P,使APBC的面积是△38面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-2x-3

（2）存在，^（1+75,1）,8（1一石,1）

【解析】

]_b।c—0

【分析】⑴将点A（-1,0）,点B（2,-3）,代入抛物线得｛二c,一.，求出"，c的值，进而可得抛

'，'/[4+2b+c=-3

物线的解析式.

（2）将解析式化成顶点式得y=%2—2x—3=（X—1/一4,可得。点坐标，将x=0代入得，y=-3,可

得。点坐标，求出%心=1值，根据5"阮=4508可得邑M°=4,设P（〃z,病一2利一3）,则

S/BC=；X2X（/〃2_2/〃_3+3）=4,求出机的值，进而可得尸点坐标.

【小问1详解】

解：•.♦抛物线丫=/+笈+。过点4（—1,（））,点3（2,—3）,

.Jl-/?+c=0

••14+2。+。=-3'

h=—2

解得，，

；•抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

【小问2详解】

解：存在.

y=x2-2X-3=（JC-1）2-4.

。（1）,

将x=0代入得，y=-3,

.•・C（0,-3）,

D到线段BC的距离为1,BC=2,

^\BCD—~x2xl=l,

•q=4S=4

•♦°«PBCR。ABCDR，

设P^m,m2—2/n—3),

则S,PBC=5x2x(/〃-—2/TZ_3+3)=4,

整理得，〃/—2m=4.

解得小=1+石，或中j=l—

."(1+底1),£0—技1),

...存在点P,使”>6C的面积是△BCD面积的4倍，点P的坐标为片(1+逐,1),^(1-75,1).

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识.解

题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的

睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：

A组：X<8.58组：8.5<x<9C组：9<x<9.5。组：9.5<x<10E组：x>10

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求。组所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

【答案】(1)100(2)补全统计图见解析

(3)。组所对应的扇形圆心角度数为72°

（4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人

【解析】

【分析】（1）根据统计图中B组的人数与占比，计算求解即可；

（2）根据E组人数占比为15%,求出E组人数为100x15%人，然后作差求出A组人数，最后补全统计

图即可；

（3）根据。组人数的占比乘以360°计算求解即可；

（4）根据AB两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可.

【小问1详解】

解：由统计图可知，本次共调查了20+20%=100（人），

故答案为：100.

【小问2详解】

解：由统计图可知，E组人数占比为15%,

•••E组人数为100x15%=15（人），

A组人数为100-20-40-20-15=5（人），

补全统计图如图所示

条形统计图

【小问3详解】

20

解：由题意知，。组所对应的扇形圆心角度数为一x360°=72°,

100

组所对应的扇形圆心角度数为72°.

【小问4详解】

解：由题意知，1500x"a=375（人）

100

估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人.

【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识.解题的关键在于

从统计图中获取正确的信息.

25.为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市.甲、乙两辆货车从A市出发前往

8市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达8市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙

车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市.乙车维修完毕后立即返回4市.两车离A市的距

离y(km)与乙车所用时间x(h)之间的函数图象如图所示.

(1)甲车谏度是km/h,乙车出发时速度是km/h：

(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式(不要求写出自

变量的取值范围)；

(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km?请直接写出答案.

【答案】(1)10060

(2)y=-100x+1200

(3)3,6.3,9.125

【解析】

【分析】(1)根据图象分别得出甲车5h的路程为500km,乙车5h的路程为300km,即可确定各自的速度；

(2)设丁="+匕(女/0),由图象可得经过点(9,300),(12,0)点，利用待定系数法即可确定函数解

析式；

(3)乙出发的时间为f时，相距120km,根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系

求解即可.

【小问1详解】

解：根据图象可得，甲车5〃的路程为500km,

，甲的速度为：500+5=100km/h；

乙车5h的路程为300km,

二乙的速度为:300+5=60km/h；

故答案为：100；60；

【小问2详解】

设了=束+可左。0),由图象可得经过点(9,300),(12,0)点,

‘92+6=300

代入得<

\2k+b=Q

%=—100

解得《

8=1200

与X的函数解析式为y=T00x+1200；

【小问3详解】

解：设乙出发的时间为f时，相距120km,

根据图象可得，

当(Xz<5时，

100r-60/=120,

解得：z=3；

当5v<5.5时，根据图象可得不满足条件；

当5.5<7<8时，

500-100(Z-5.5)-300=120,

解得：r=6.3；

当8v<9时，

100(z-8)-300=120,

解得：t=\2.2,不符合题意，舍去；

当9<7<12时，

lOOx(9-8)+10009)+6009)=120,

解得：片9.125；

综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.125h时，两车之间的距离为120km.

【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意,

根据函数图象得出相关信息是解题关键.

26.AABC和AADE都是等边三角形.

(1)将AADE绕点A旋转到图①的位置时，连接B。，CE并延长相交于点尸(点尸与点A重合)，有

PA+PB=PC(或Q4+PC=P3)成立；请证明.

(2)将△4£＞石绕点A旋转到图②的位置时，连接B。，CE相交于点P,连接B4,猜想线段布、PB、PC

之间有怎样的数量关系？并加以证明；

(3)将AADE绕点4旋转到图③的位置时，连接CE相交于点P,连接以，猜想线段附、P8、PC

之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

【答案】(1)证明见解析

(2)图②结论：PB=PA+PC,证明见解析

(3)图③结论：PA+PB=PC

【解析】

【分析】⑴由AABC是等边三角形，得AB=AC,再因为点尸与点A重合，所以P8=AB,PC=AC,PA=O,

即可得出结论；

(2)在BP上截取3/=CP,连接A凡证明△BAD经(S4S),得ZABD=ZACE,再证明

△CAP^ABAF(SAS),得NC4P=ZBAF,AF=AP,然后证明AAFP是等边三角形，得PF=AP，

即可得出结论；

(3)在CP上截取C户=BP,连接AF,证明AEAZ注ACAE(SAS),得ZABD=ZACE,再证明

△BAP^ACAF(SAS),得出ZCAF=ZBAP,AP=AF，然后证明AAF尸是等边三角形，得PF=AP，

即可得出结论：PA+PB=PF+CF=PC.

【小问1详解】

证明：♦.•△A8C是等边三角形，

：.AB=AC,

•.•点P与点A重合，

：.PB=AB,PC=AC,B4=0,

P1+P3=PC或P4+PC=P8；

【小问2详解】

解：图②结论：PB=PA+PC

证明：在BP上截取3R=CP,连接4F,

AABC和△相)£都是等边三角形，

AAB=AC,AD=AE，ABAC=ZDAE=60°

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD^ZCAE,

：.^BAD^^CAE(SAS),

ZABD^ZACE,

"：AC=AB,CP=BF,

：./\CAP^/\BAF(SAS),

AZCAP^ZBAF,AF=AP，

：.ZCAP+ZCAF=ZBAF+ZCAF,

：.ZFAP=ZBAC=60°,

•••AAF尸是等边三角形，

...PF=AP，

PA+PC=PF+BF=PB；

【小问3详解】

解：图③结论：PA+PB=PC,

理由：在CP上截取C尸=3P,连接AF,

c

AABC和AADE都是等边三角形，

AB=AC,AD^AE，ZBAC=NDAE=60。

：.ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,

ZBAD=ZCAE,

^BAD^^CAE(SAS),

ZABD^ZACE,

•：AB=AC,BP=CF,

：.ABAP^AC4F(SAS),

ZCAF=/BAP,AP=AF>

：.ZBAF+NBAP=ZBAF+ZCAF,

ZFAP=ZBAC=60°,

；•AAFP是等边三角形，

/.PF=AP，

...PA+PB=PF+CF=PC,

即R4+PS=PC.

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性

质、全等三角形的判定与性质是解题的关键.

27.学校开展大课间活动，某班需要购买A、8两种跳绳.已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175

元：购进15根A种跳绳和10根8种跳绳共需300元.

(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？

(2)设购买A种跳绳机根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560

元，则有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

【答案】（1）购进一根A种跳绳需10元，购进一根8种跳绳需15元

（2）有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳

21根；方案三：购买A种跳绳25根，8种跳绳20根

（3）方案三需要费用最少，最少费用是550元

【解析】