2023年高考数学复习试题讲义-每日1题（第二周）

多维训练每日1题(第二周)

星期一(三角)2022年—月一日

【题目1】(2021•济南统考)在①(a+Z?)(a—A)=(a-c)c,②2a-c=2反osC,③

(a—Z?cosO=csin8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问

题.

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,b=2y[3.

(1)若a+c=4,求△ABC的面积；

(2)求a+c的取值范围.

(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)

解若选条件①，由(a+/?)(a—b)=(a—c)c,

化简得a2+c2—b2=ac,

4+/一阱1

由余弦定理得cos8=---荻---，故cos3=,

7T

因为兀，所以B=y

若选条件②，由2a-c=2bcosC及正弦定理，

得2sinA—sinC=2sinBcosC,

即2sin(B+Q-sinC=2sin8cosC,

化简得2cosBsinC=sinC.

因为0＜。＜兀，所以sinCWO,所以cos8=；,

jr

又0＜8〈兀，所以B=y

若选条件③，由小(a—AcosC)=csinB及正弦定理，

得小(sinA-sin8cosC)=sinCsinB,

即《[sin(8+C)—sinBcosC]=sinCsinB,

化简得#cosBsinC=sinCsinB.

因为0＜。＜兀，所以sinCWO,所以tan8=#,

jr

又Q<B<n,所以B=y

(1)由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB=(a+c)2—lac—2accosB,即12=42—2ac

c1

—

4

解得ac=y

所以△ABC的面积

c1.n14.7t近

S=y^csinB=yXV-XVsin

a_____c_____h___2^3

由正弦定理得

(2)sin&-sinC-sinB~妇一

2

所以a=4sinA,c=4sinC.

因为A+C=n—B=-^,

sinA+sin伶—A)]=4S(gcosA+坐sin

所以a+c=4(sinA+sinC)=A)=4小

sin(A+1

因为0<A<y,

所以白4+聿丹，所以sin(A+季1

ooo\07\Z

所以a+c£(2，§,4，5],

即a+c的取值范围为(2小，473].

星期二(数列)2022年—月—日

【题目2】已知数列｛“"｝和｛仇｝的前〃项和分别为S”Tn,0=2,bi=l,且为

+1=。1+27]?.

(1)若数列｛〃〃｝为等差数列,求S〃；

(2)若d+1=历+2&,证明：数歹ij｛z+瓦｝和｛雨一5｝均为等比数列.

⑴解由小+i=〃i+2G,得。2=。1+2"，

又ai=2,b\=\,所以“2=4.

因为数列｛z｝为等差数列，

所以该数列的公差为或一0=2,

77(n-1)

所以S,,=2n+------2-------2=/+〃.

(2)证明当〃22时，an=a\+2Tn-\,

因为Tn—Tn-\~bin所以Cln+l—Cl"=2bn,

即an+\=an+2hn,同理可得仇+1=儿+2所

则dn+1+bn+1=3(«/;+bn),所以,,+=3(/1^2),

Cln\Un

又。2=。1+24=4,b2=b\+2ai=5,

历4+5「广，、1〃〃+1+及+1*

所以一^7"=二一=3,所以——；—=3(〃《N*),

a\+b\3an-vbn

所以数歹Ij｛z+儿｝是以3为首项，3为公比的等比数列.

因为Ow+l—bn^l=—(an—bn)9

LLt、|O〃+l-bn+1

所以-----;—二一〃

an-bn1(22),

一历4—5^.ai+\—bn+\*

又一r=­T=—1，所以t--f--；—=-1,

a\—b\2—1an—bn

所以数列｛。〃一瓦｝是以一1为首项，一1为公比的等比数列.

星期三(概率与统计)2022年—月一日

【题目3】近年来，高铁的发展逐渐改变了人们的出行方式，我国2016〜2020

年高铁运营里程的数据如下表所示.

年份20162017201820192020

年份代码X12345

高铁运营里程)(万千米)1.92.22.52.93.5

(1)若x与y具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)每一年与它前一年的高铁运营里程之差即为该年新增的里程，根据这五年的

数据，若用2017〜2020年每年新增里程的频率代替之后每年新增相应里程的概

率，求2024年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率.

附：线性回归方程；=联+晟中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

Hxiy-nx'yA—A-

1=1

b~~7Z，bx.

Y.Xi—nx2,

i=i

解(l)x=gX(l+2+3+4+5)=3,

y=7X(1.9+2.2+2.5+2.9+3.5)=2.6.

IX1.9+2X2.2+3X2.5+4X2.9+5X3.5=42.9,

1+4+9+16+25=55,

4=2.6—0.39X3=1.43,

所以y关于光的线性回归方程为y=0.39%+1.43.

(2)设每年新增高铁运营里程为X万千米，则X的取值为0.3,0.4,0.6,由条件

知X的分布列为

1

2

若2024年中国高铁运营里程小于5万千米，则2021~2024年每年新增的高铁运

营里程有三种情况：0.3X4,0.3X3+0.4,0.3X2+0.4X2.

4322

相应概率为Q)+嗯)x(+c(|)与,

所以2024年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率为1一点9=金23.

星期四(立体几何)2022年—月—日

【题目4】如图，四边形ABC。为菱形，ZABC=120°,四边形8DFE为矩形,

平面及L平面ABCD,点P在A。上，EPLBC.

(1)证明：平面BEP；

(2)若EP与平面ABCD所成角为60°,求二面角C-PE-B的余弦值.

(1)证明因为“_LBC,AD//BC,所以

因为四边形BDFE为矩形，所以

又因为平面8。尸及L平面ABCD,且平面BDFEC平面ABCD=BD,BEu平面

BDFE,

故由面面垂直的性质定理得平面A8CD,又AOu平面ABCD,所以BELAD,

又因为3EnEP=E,BE,EPu平面BEP,

所以AOJ_平面BEP.

(2)解由(1)知硝，平面ABC。，所以NEP8为EP与平面ABC。所成的角，所

以NEP8=60。，馨=小.

Drv

由A。，平面BEP,知AO_L8P.

设A8=2,则8Q=小，BE=3.

连接AC,以AC和BO的交点。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0,一5，0),C(0,y[3,0),。(一1,0,0),

所以无=停,乎,o),CE=(1,f,3).

设〃=(x,y,z)为平面CEP的一个法向量，

则卜:斗+鸣”可取〃=(_3仍」峭.

<n-CE=x—\/3y+3z=0,

由(1)可知国)=(一1,小,0)为平面8"的一个法向量，

所以cos〈〃，AD)=卫喜=--------邛

|矶蓝)|41+3X727+1十号

_3

3

结合图可知二面角C.PE.B为锐角,所以二面角C-P£-8的余弦值为亍

星期五(解析几何)2022年—月一日

【题目5】已知点P(4,4)在抛物线C：尸=2〃如>0)上，直线/:尸丘+2与抛

物线C有两个不同的交点.

⑴求人的取值范围；

(2)设直线/与抛物线C的交点分别为A,B,过点A作与C的准线平行的直线，

分别与直线0P和0B交于点M和N(0为坐标原点)，求证：IAMTMM.

⑴解由抛物线C：V=2px过点P(4,4),得p=2,

所以抛物线。的方程为V=4x.

fy=Ax+2,

由彳得Ff+(4攵-4)冗+4=0.

[y9'=4x

由题意ZW0,且/=(4Z—4产一16F=16—32%>0,

即舄，

因此上的取值范围是卜改<3且ZW0；.

(2)证明设A(xi,yi),8(x2,y2),显然，xi»X2均不为0.

4—4k4

由(1)可知11+九2=乒①，X\X2=~j^^).

由题意可得M,N的横坐标相等且同为加，

因为点P的坐标为(4,4),所以直线0P的方程为>=X，点M的坐标为(xi,xi).

直线0B的方程为点N的坐标为(如，啕.

若要证明|AM=|MN|,只需证2yM=泗+»，即证平^+>1=2X1,即证x\yi+x2y\

•X2

=2X1X2.

[y\=kx\~\-2,

将彳代入上式，即证/X2+2)X1+(AX1+2)X2=2X112,

[*=丘2十2

即证(2攵-2)XIX2+2(xi+%2)=0.(3)

AQ-QL

将①②代入③得(2攵一2)》+—1=(),此等式显然成立，

所以2yM=如+处恒成立，故|AM=|MN|.

星期六(函数与导数)2022年—