2023年九年级中考数学二轮复习六四边形综合

第六模块四边形综合

【课标要求】

四边形

(1)了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并

掌握多边形内角和与外角和公式.

(2)理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四

边形的不稳定性.

(3)探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角

线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平

行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平

行四边形.

(4)了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.

(5)探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线

相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的

四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线

互相垂直的平行四边形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性质.

【考点梳理】

考点一：多边形

(1)多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接

组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，

每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的

对角线。

(2)多边形的内角和:n边形的内角和=(n—2)180°

(3)正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形.

(4)多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这

个多边形的外角.在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做

多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°

(5)过n边形的一个顶点共有(n—3)条对角线，n边形共有四二2条对角线.

2

(6)过n边形的一个顶点将n边形分成(n—2)个三角形.

考点二：相似多边形

(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.

(2)相似多边形的性质：

①相似多边形的周长的比等于相似比；

②相似多边形的对应对角线的比等于相似比；

③相似多边形的面积的比等于相似比的平方；

④相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比.

考点三：平行四边形的性质与判定

1.平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究

线段相等、角相等和直线平行的根据之一.

2.平行四边形的定义:两组对边分别的四边形是平行四边形.

3.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的，叫做

两条平行线间的距离.两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变,

两条平行线间的距离处处.

4.平行四边形的性质：ABJLCD

AD^BC

平行四边形的两组对边分别；―^ABC=ZADC

平行四边形的两组对边分别；符号诘NDAB=NDCB

平行四边形的两组对角分别；匕一OA=OC=~AC

平行四边形的对角线互相.

平行四边形的邻角.

5.平行四边形的判定：

两组对边分别的四边形是平行四边形；

两组对边分别的四边形是平行四边形；

一组对边且的四边形是平行四边形；

对角线互相的四边形是平行四边形.

符号语言表达：

AB/7CD.BC〃AD=四边形ABCD是平行四边

AB=CD,BC=AD=四边形ABCD是平行四边形.

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD=四边形ABCD是平行四边形.

OA=OC,OB=OI)=四边形ABCD是平行四边形.

考点四、特殊的平行四边形

1.性质：

(1)矩形：①矩形的四个角都是：②矩形的对角线；③矩形具有平行四边

形的所有性质.

(2)菱形：①菱形的四条边都；②菱形的对角线互相，并且每条对角线

平分一组：③具有平行四边形所有性质.

(3)正方形：①正方形的四个角都是，四条边都；②正方形的两条对角

线，并且互相，每条对角线平分一组.

2.判定：

(1)矩形：①有一个角是直角的四边形是矩形；②对角线的平行四边形是矩形；③

有个角是的四边形是矩形.

(2)菱形：①对角线的平行四边形是菱形：②一组邻边的平行四边是

菱形；③条边都相等的四边形是菱形.

(3)正方形：①有一个角是的菱形是正方形；②有一组邻边的矩形是方

形；③对角线相等的是正方形；④对角线互相垂直的是正方形.

3.面积计算：

(1)矩形：5=长*宽；

(2)菱形：S=L-l,(小4是对角线)

2

(3正方形：S=边长2

4.平行四边形与特殊平行四边形的关系

【应用策略】

1.中点①直角三角形斜边中线等于斜边一半；②三角形中位线；③中点平行构造三

角形全等；④倍长中线

①往角的两边做垂直，垂线段相等；②角平分线，平行，等腰三角形相互转换；③往

角两边截取等线段证全等；④过角平分线某点做角平分线的垂线，出现等腰三角形

例1.如图，Z^ABC中，D是AB上一点，DE_LAC于点E,F是AD的中点，FG_LBC于

点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分NBAC,连接GE,；GD.

(1)求证：△ECGZ/XGHD

(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

(3)若NB=30°,判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理

由.

例2.己知两个等腰Rtz^ABC,Rt^CEF有公共顶点C,ZABC=ZCEF=90°,连接AF,

M是AF的中点，连接MB、ME.

(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MB〃CF；

(2)如图2,当/BCE=45°时，求证：BM=ME.

例3.已知，如图(1)在平行四边形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且AE=AF,

ZAEC=ZAFC.

(1)求证：四边形ABCD是菱形.

(2)如图(2),若AD=AF,延长AE,DC交于点G,求证：AF2AG*DF.

(3)在第(2)小题的条件下，连接BD,交AG于点H,若HE=4,EG=12,求AH的长.

跟踪训练1：如图，在四边形ABCD中，AC平分/BCD,ACXAB,E是BC的中点，AD

±AE.

(1)求证：AC2=CD«BC；

(2)过E作EG_LAB,并延长EG至点K,使EK=EB.

①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH_LGH；

②若NB=30°,求证：四边形AKEC是菱形.

跟踪训练2：如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，NBEF=90。，BE=EF,连

接DF,点P是FD的中点，连接PE、PC.

⑴如图1,当点E在CB边上时,求证：CEPE；

⑵如图2,当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的

猜想，并给与证明。

跟踪训练3：在平行ABCD中，NBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

⑴在图1中证明CE=CF；

(2)若ZABC=90。，6是£尸的中点(如图2),直接写出ZBDG的度数；

(3)若NABC=120。，FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求NBDG的度数。

跟踪训练4：如图，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足为F.

(1)求证：△ABCgZXADE；

(2)求NFAE的度数;

(3)求证：CD=2BF+DE.

跟踪训练5：已知在矩形ABCD中，NADC的平分线DE与BC边交于点E,点P是线段

DE上一定点(其中EPVPD),点F是CD延长线上一点，连接PF,过点P作PGLPF,

交射线DA于点G.

(1)求证：PG=PF；(2)求证：DG=&DP+DF.

跟踪训练6：如图，四边形ABCD中，ACLBD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的

中点，BN平分/ABE交AM于点N,AB=AC=BD.连接MF,NF.

(1)判断aBilN的形状，并证明你的结论；

(2)判断△MFN与之间的关系，并说明理由.

跟踪训练7：如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC,AD±AC,E是AB的中点，F

是AC延长线上一点.

⑴若ED_LEF,求证:ED=EF；

⑵在(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四

边形?并证明你的结论(请先补全图形,再解答)；

⑶若ED=EF,ED与EF垂直吗?若垂直给出证明.

①半角模型；②拉手模型

例4：在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终NMAN=45°.

如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时，写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；

并给予证明；

(2)如图2,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立，

若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；

(3)如图3,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN=CD=6,设BD与AM的

延长线交于点P,交AN于Q,直接写出AQ、AP的长.

例5：如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，ZEAF=45°,其两边分别交BC、CD于E、

F,交BD于H、Go

(1)求证：AD2=BGDH；

(2)求证：CEf但DG；

(3)求证：EF=V2HG.

例6:如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧

作等边aAPE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.

(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE,BP与CE的数量关系式,

CE与A1)的位置关系是；

(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立，请予以证明；若不成

立，请说明理由(选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理)；

(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时，连接BE,若AB=2小,BE=2乖，求

四边形ADPE的面积。

跟踪训练8:如图①，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点E在AC上(且不与点A,

C重合)，在aABC的外部作aCED,使/CED=90°,DE=CE,连AD,分别以AB,AD

为邻边作平行四边形ABED,连接AF.

(1)请直接写出线段AF,AE的数量关系；

(2)将4CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断

线段AF,AE的数量关系，并证明你的结论；

(3)在图②的基础上，将4CED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是

否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由.

跟踪训练9:某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了

如下探究：在aABC中，ZBAC=90=,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重

合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.

⑴观察猜想

如图①，当点D在线段BC上时。

①BC与CF的位置关系为：；

②BC,CD,CF之间的数量关系为：「；(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立?若成立，请给予

证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

(3)拓展延伸

如图③,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若已知

AB=2y/2,CD=|BC,请求出GE的长。

跟踪训练10：在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边aABE,点E在CD上，以BC

为边作等边aBCF,点F在AE上，点G在BA延长线上且FG=FB.

(1)若CD=6,AF=3,求4ABF的面积；

(2)求证：BE=AG+CE.

5.直角的等量代换

①三垂直模型；②十字架模型

例7:如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE,作BFLAE,垂足为H,交CD于F

,作CG〃AE,交BF于G.

(1)求证CG=BH

(2)FC=BF•GF；

,、FC2GF

⑶密F

跟踪训练U:如图1,在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，

且AF_LBE.

(1)求证：AF=BE；

(2)如图2,在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且

MP_LNQ.MP与NQ是否相等？并说明理由.

图1图2

跟踪训练12:在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连结

BE.

感知如图①，过点A作AFLBE交BC于点F.求证aABFgZSBCE.

探究如图②，取BE的中点M,过点M作FGLBE交BC于点F,交AD于点G.

(1)求证：BE=FG.

(2)连结CM,若CM=1,求FG的长.

应用如图③，取BE的中点M,连结CM.过点C作CGLBE交AD于点G,连结EG,MG.若

CM=3,求四边形GMCE的面积.

例1(1)证明：AF=RG,

•••ZFAG=ZFGA，

・.・AG平分NC48,

•­Z•CAG=ZFAG，

:./CAG=4FGA,AC//FG

••­DEI.AC，・・-FGA.DE，

•・­FGLBC，

•••DE//BC，•・・AC1BC，

•••NC=NDHG=90，ZCGE=ZGED，

♦.•/是A。的中点，FG//AE,”是E。的中点，

，FG是线段££>的垂直平分线，

•••GE=GD，/GDE=NGED，・♦・4CGE=4GDE，・-・XECG三kGHD

(2)证明：过点G作GP_LAB于点p,，GC=GP,

(3),\AC4G=AR4G>

AC=AP.由⑴得EG=DG,

•••Rt\ECG=Rt\GPD，・♦・EC=PD，

AD=AP+P£>=AC+EC.

(4)四边形A£Gb是菱形，理由如下：•.•NB=30,

AE=-AD

♦­・ZADE=3Q，・-♦2，

.•.AE=AF=EG.由(i)得AE//FG,

.•.四边形AEGE是菱形.

例2解(1)证法一：

如答图la,延长AB交CF于点D,则易知AABC与4BCD均为等腰直角三角形，

，AB=BC=BD,...点B为线段AD的中点，

又；点M为线段AF的中点，,BM为4ADF的中位线，

，BM〃CF

证法二：

如答图1b,延长BM交EF于D,VZABC=ZCEF=90°,

.\AB±CE,EF1CE,

，AB〃EF,AZBAM=ZDFM,

是AF的中点,，AM=MF,

在△ABM和中，

'/BAM二NDFM

<AM=FM，

ZAMB=ZFMD

/.△ABM^AFDM(ASA),

，AB=DF,

VBE=CE-BC,DE=EF-DF,.\BE=DE,

.♦.△BDE是等腰直角三角形，

AZEBM=45°,

•.•在等腰直角ACEF中，ZECF=45°,

，/EBM=NECF,...MB〃CF；

(2)证法一：

如图，延长AB交CE于点D,连接DF,则易知aABC与ABCD均为等腰直角三角形,

.,.AB=BC=BD,AC=CD,...点B为AD中点，又点M为AF中点，

.♦.BMJDF

2

延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知ACEF与4CEG均为等腰直角三角形，

.,.CE=EF=EG,CF=CG,

.•.点E为FG中点，又点M为AF中点，

.,.MEJAG.

2

在4ACG与ADCF中，

'ACXD

.NACG=/DCF=45°，/.△ACG^ADCF(SAS)，，DF=AG,ABN^ME.

CG=CF

证法二：

如图,延长BM交CF于D,连接BE、DE,

VZBCE=45°,

/.ZACD=45°X2+45°=135°

/.ZBAC+ZACF=45°+135°=180°,

，AB〃CF,

/.ZBAM=ZDFM,

•；M是AF的中点,

/.AM=FM,

在△ABM和△FDM中，

'NBAM=NDFM

<AM=FM，

ZAMB=ZFMD

.,.△ABM^AFDM(ASA),

，AB=DF,BM=DM,

.•.AB=BC=DF,

在ABCE和aDFE中，

'BC=DF

<NBCE=/DFE=45°，

CE=FE

AABCE^ADFE(SAS),

/.BE=DE,ZBEC=ZDEF,

，ZBED=ZBEC+ZCED=ZDEF+ZCED=ZCEF=90°,

...△BDE是等腰直角三角形，

又：BM=DM,

/.BM=ME=1.BD,故BM=ME.

2

例3解(1)•.•四边形ABCD是平行四边形，

：.ZB=ZD.

VZAEC=ZAFC,ZAEC+ZAEB=ZAFC+ZAFD=180°,

ZAEB=ZAFD.

NB=ZD

在AAEB和△AFD中，<ZAEB=ZAFD

AE^AF

：.MEB^MFD(AAS),

/.AB=AD,

.••平行四边形ABCD是菱形

⑵由(1)知，MFD,则/BAE=NDAF.

♦.•四边形ABCD是平行四边形，；.AB〃DG,

/.ZBAE=ZG,.\ZG=ZDAF.

又；NADF=NGDA,二3钎ADG4，

••DF_AF,

~\D~~XG

・・AD^AF=AG^DF'

XVAD=AF,

・•・AF2=AG，DF・

(3)在菱形ABCD中,VAB//DC,AD//BC,

AAH:HG=BH:HD,

BH:HD=EH:AH,

AAH：HG=EH:AH.

VHE=4,EG=12,

AAH:16=4:AH,

AAH=8.

跟踪训练1证明：(1)•・•AC平分NBCD,

AZDCA=ZACB.

又,.,ACJ_AB,AD±AE,

.'.ZDAC+ZCAE=90°,ZCAE+ZEAB=90°,

・•・ZDAC=ZEAB.

又〈E是BC的中点，

・・・AE=BE,

.\ZEAB=ZABC,

.\ZDAC=ZABC,

・・・AACD^ABCA,

.AC=CD

**BC而，

/.AC2=CD-BC；

(2)①证明：连接AH.

VZADC=ZBAC=90°，点H、D关于AC对称,

・・・AHJ_BC.

VEG1AB,AE=BE,

・••点G是AB的中点，

・・・HG=AG,

AZGAH=GHA.

・・,点F为AC的中点，

；・AF=FH,

.\ZHAF=ZFHA,

・・・ZFHG=ZAHF+ZAHG=ZFAH+ZHAG=NCAB=90°,

Z.FH1GH；

②・.・EK_LAB,AC1AB,

AEK/ZAC,

又・.,NB=30°,

.,.AC=—BC=EB=EC.

2

又EK=EB,

AEK=AC,

即AK=KE=EC=CA,

四边形AKEC是菱形.

跟踪训练2证明：(1)延长EP交DC于点G,如图(1)所示:

ZFEC=ZDCE=90°,

/.EF/7CD,

.*.ZPFE=ZPDG,

又；/EPF=/GPD,PF=PD,

.,.△PEF^APGD(AAS),

；.PE=PG,EF=GD,

VBE=EF,

/.BE=GD.

VCD=CB,

，CG=CE,

...△CGE是等腰直角三角形，

ACPIGE,CP=1EG=PE,

...△CPE是等腰直角三角形.

ACE=小PE

(2)CE=取PE；,理由如下：如图⑵所示：

延长EP交CD的延长线于点G,

VZFEB+ZDCB=180，＞,

；.EF〃CD,

/.ZPEF=ZPGD,

又；NEPF=NGPD,PF=PD,

/.△PEF^APGD(AAS),

.♦.PE=PG,EF=GD,

：BE=EF,

，BE=GD.

VCD=CB,

，CG=CE,

...△CGE是等腰直角三角形，

ACP±GE,CP=^EG=PE,

.'.△CPE是等腰直角三角形。

ACEPE

跟踪训练3(1)证明：...AF平分NBAD,

，/BAF=NDAF,

•••四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,AB〃CD,

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF

,.\ZCEF=ZF.

.\CE=CF.

(2)连接GC、BG,

■:四边形ABCD为平行四边形,ZABC=90u,

二四边形ABCD为矩形，

•；AF平分NBAD,

，/DAF=NBAF=45°

VZDCB=90»,DF/7AB,

；.NDFA=45。,ZECF=90°

.•.△ECF为等腰直角三角形，

为EF中点，

，EG=CG=FG,

CG±EF,

•..△ABE为等腰直角三角形，AB=DC,

，BE=DC,

VZCEF=ZGCF=45°,

；./BEG=/DCG=135°

在ABEG与ADCG中，EG=CG,ZBEG=ZDCG,BE=DC,

/.△BEG^ADCG,

，BG=DG,VCG±EF,

.,.ZDGC+ZDGA=90°,

又；NDGC=NBGA,

.,.ZBGA+ZDGA=90°,

.•.△DGB为等腰直角三角形，

:.ZBDG=45

.(3)延长AB、FG交于H,连接HD.

VAD/7GF,AB〃DF,

四边形AHFD为平行四边形

VZABC=120°,AF平分/BAD,

ZDAF=30°>ZADC=120°,ZDFA=30°

.♦.△DAF为等腰三角形

AAD=DF,ACE=CF,

，平行四边形AHFD为菱形

/.△ADH,Z\DHF为全等的等边三角形

，DH=DF,NBHD=NGFD=60°

VFG=CE,CE=CF,CF=BH,

・・・BH=GF,在△BHD与△GFD中，

VDH=DF,NBHD二NGFD,BH=GF,

/.△BHD^AGFD,

・・・ZBDH=ZGDF

ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°

跟踪训练4：证明：(1)VZBAD=ZCAE=90°,

AZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

・・・ZBAC=ZDAE,

在△BAC和4DAE中，

AB=AD

<ZBAC=ZDAE,

AC=AE

AABAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

AZE=45°,

由(1)知△BAC出△DAE,

AZBCA=ZE=45°,

VAF1BC,

・・・NCFA=90°,

AZCAF=45°,

AZFAE=ZFAC+ZCAE=450+90°=135°；

(3)延长BF到G,使得FG才B,

VAF±BG,

/.ZAFG=ZAFB=90°,

在△AFB和4AFG中，

BF=GF

vZAFB=ZAFG,

AF=AF

/.△AFB^AAFG(SAS),

AAB=AG,NABF=NG,

VABAC^ADAE,

.\AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,

.\AG=AD,ZABF=ZCDA,

.*.ZG=ZCDA,

在ACGA和ACDA中，

ZGCA=ZDC4

<ZCGA=ZCDA,

AG^AD

/.△CGA^ACDA,

/.CG=CD,

VCG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

/.CD=2BF+DE.

跟踪训练5：解⑴过P作PH_LPD交AD于H,

VPG1PF,

AZGPF=ZHPD=90°,

；./GPH=/FPD,

「DE平分/ADC,ZADC=90°

；.NCDE=/EDA=45°,

•••△HPD为等腰直角三角形，

；./DHP=/PDH=45°,PD=PF,

.".ZPIIG=ZPDF=135O

在△HPG和4DPF中，

，ZPHG=ZPDF

PH=PD，

ZHPG=ZDPF

/.AHPG^ADPF(ASA),

APG=PF；

(2)•.•△HPD为等腰直角三角形，

.•.DH=V2DP.

•/AHPG^ADPF,

；.GH=DF,

：DG-GH=DH,

；.DG=&DP+DF.

跟踪训练6：证明：：AB=AC,点M是BC的中点,

AAM1BC,AM平分NBAC.

：BN平分NABE,

NEBN=/ABN.

VAC±BD,

ZAEB=90°,

.\ZEAB+ZEBA=90°，

AZMNB=ZNAB+ZABN=1.(ZBAE+ZABE)=45°.

2

•••△BMN是等腰直角三角形；

(2)答：AMFN^ABDC.

证明：・・•点F,M分别是AB,BC的中点，

AFM/7AC,FM=LAC.

2

VAC=BD,

.・.FM=LBD,即II』

2BD-2

・・・△BMN是等腰直角三角形，

・・.NM=BM=LBC,即遮二L,

2BC~2

・FMM

•・而谅・

VAM±BC,

AZNMF+ZFMB=90°.

VFM//AC,

・・・ZACB=ZFMB.

VZCEB=90°,

AZACB+ZCBD=90°.

/.ZCBD+ZFMB=90°,

・•・ZNMF=ZCBD.

AMFN^ABDC.

跟踪训练7：(1)证明：在叫BCD中，TAD=AC,AD±AC,

・・・AC=BC,AC1BC,连接CE,二飞是AB的中点，

・・・AE=EC,CE±AB,

；・NACE=NBCE=45。,

・・・NECF=NEAD=135。,

VED±EF,

AZCEF=ZAED=90°-ZCED,

在aCEF和AAED中，ZCEF=ZAED,EOAE,ZECF=ZEAD,

AACEF^AAED,AED=EF；

(2)由(1)知ACEF丝/XAED,CF=AD,

VAD=AC,

AAC=CF,VDP//AB,AFP=PB,

ACP=12AB=AE,

・・・四边形ACPE为平行四边形；

(3)垂直，

理由：过E作EM_LDA交DA的延长线于M,

过E作EN_LFC交FC的延长线于N,

在AAME与ACNE中，NM=NFNE=90。

NEAM二NNCE=45。AE=CE,

AAAME^ACNE,

AZADE=ZCFE,

在AADE与4CF中，ZADE=ZCFE,ZDAE=ZFCE=135°,

DE=EF,

AAADE^ACFE,

・・・ZDEA=ZFEC,

VZDEA+ZDEC=90°,

・・・NCEF+NDEC=90。,

・・・NDEF=90。,

・・・ED_LEF.

例4：解:(1)BM+DN=MN,

理由如下：如图1,在MB的延长线上，截取BE=DN,连接AE,・・,四边形ABCD是正方形

AAB=AD,ZBAD=ZABC=ZD=90°,AZABE=90°=ZD,

AB^AD

在AABE和AADN中，＜NABE=ND,

BE=DN

/.△ABE^AADN(SAS),

；.AE=AN,ZEAB=ZNAD,

.•./EAN=/BAD=90°,

VZMAN=45°,

AZEAM=45°=NNAM,

AE=AN

在Z\AEM和aANM中，(ZEAM=NNAM,

AM=AM

.,.△AEM^AANM(SAS),

，ME=MN,又：ME=BE+BM=BM+DN,；.BM+DN=MN；(2)(1)中的结论不成立，DN

-BM=MN.

理由如下：如图2,在DC上截取DF=BM,连接AF,则NABM=90°=/D,

AB=AD

在AABM和AADF中，］ZABM=ZD,

BM=DF

.,.△ABM^AADJF(SAS),.,.AM=AF,ZBAM=ZDAF,

NBAM+/BAF=/BAF+NDAF=ZBAD=90°,

即NMAF=NBAD=90°,VZMAN=45°,

.../MAN=NFAN=45°,

AM=AF

在AMAN和4FAN中，*MAN=NFAN,

AN=AN

.,.△MAN^AFAN(SAS),

；.MN=NF,；.MN=DN-DF=DN-BM,

ADN-BM=MN

(3)•••四边形ABCD是正方形,

.,.AB=BC=AD=CD=6,AD〃BC,AB〃CD,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

，/ABM=NMCN=90°,

222

VCN=CD=6,/.DN=12,/.AN=VAD2-+-ON-V6-t-12=6^5,

••・AB//CD,.•.△ABQs/WQ,.•.翳=需=^哈丹然=(,

，AQ=JAN=2V5；

由(2)得：DN-BM=MN.设BM=x,则MN=12-x,CM=6+x,在RtZXCMN中，

62+(6+x)2=(12-x)2,解得：x=2,；.BM=2,

AM=y/AB2+BM2=V62+22=2V10,

VBC/7AD,.,•△PBM^APDA,

,RM13M21fTTx

••K=W7=W=m，••户何=5与叔=6^,

，AP=AM+PM=3加

例5：证明：(1)VBF±AE,CG〃AE,二CG±BF.

♦.•在正方形ABCD中，ZABH+ZCBG=90°,ZCBG+ZBCG=90",

.\ZABH=ZBCG,ZAHB=ZBGC=90n,AB=BC,

.*.CG=BH;

(2)VZBFC=ZCFG,ZBCF=ZCGF=90",

.,.△CFG^ABFC,

/.FC:BF=FG:FC

.,.FC=BF•GF：

(3)ZGBC=ZFBC,ZBCF=ZCGB=90",

/.△BCG^ABFC,

.,.BC:BF=GB:BC.\BC2=BF•GB

VAB=BC,

.*.AB2=BF•GB

AAB2•GF=BF•GF•GB

VFC2=BF•GF

AAB2•GF=FC2•GB

.度GF

"AB5获

例5(1)证明：(I)*.•四边形ABCD为正方形

/.ZABD=ZADB=45°,AB=AD,

ZEAF=45°

/.ZBAG=45°+ZBAH,ZAHD=45°+ZBAH,

.*.ZBAG=ZAHD,

又：NABD=NADB=45°,

.,.△ABG^AHDA,

/.AB:DH=BG:DA,

又；AB=AD

/.AD:DH=BG:DA,

/.AD2=BGDH；

⑵如图，连接AC,

•.•四边形ABCD是正方形

ZACE=ZADB=ZCAD=45°,

:.ACNAD,

,//EAF=45°,

:.ZEAF=ZCAD,

，ZEAF-ZCAF=ZCAD-ZCAF,

:.ZEAC=ZGAD,

AAEAC^AGAD

.,.CE:DG=AC:AD=^/2,

：.CE=yf2DG；

⑶由⑵得:△EACS/XGAD,

.,.AE:AG=AC:AD=-\/2,

同理得：△AFCS^AHB,

.♦.AF：AH=AC：ABH,

・・・AE:AG=AF:AH=M,

ZGAH=ZEAF,

AAGAH^AEAF,

・・.EF：GHM，

JEF/GH.

例6：.解：(1)①BP=CE；,②CE_LAD.；

(2)(1)中的结论：BP=CE,CEJ_AD仍然成立,

图2证明如下：连接AC

•・•菱形ABCD,ZABC=60°,

•••△ABC是等边三角形，

AAB=AC,

:△APE是等边三角形，

AAP=AE,ZPAE=60°,

AZCAE=60°+NCAP=NBAP,

工ZBAP=ZCAE,

AAABP^AACE

ABP=CE,

*/ZACE=ZABP=30°

.-.ZDCE=30°.

VZADC=60°,

AZDCE+ZADC=90°,

/.ZCHD=90°,

ACE1AD.

图3证明如下:连接AC

•・•菱形ABCD,ZABC=60°,

•••△ABC是等边三角形，

AAB=AC,

:△APE是等边三角形，

AAP=AE,ZPAE=60°,

AZCAE=60°+NCAP=NBAP,

工ZBAP=ZCAE,

AAABP^AACE,

ABP=CE,

*/ZACE=ZABP=30°

.-.ZDCE=30°.

VZADC=60°,

AZDCE+ZADC=90°,

/.ZCHD=90°,

ACEXAD.

(3);连接AC,交BD与点0

由(2)知CEJ_ADBP=CE

VAD/7BC,

ACEIBC.

在直角aBCE中，有勾股定理得CE=8；.BP=8.

VZAB0=30°,AB=24

/.B0=D0=3,A0=V3

.*.BD=6.

，DP=2,

；.0P=5,

在直角aAOP中，有勾股定理得AP=2，7

作EH_LAP于点H

.「△APE是等边三角形，

：.PH=y[7,EH=V五.

**S四边形ADPE=SaADp+SziAPE

11

=-DP•A0+-AP•EH

=|X2X/+2X2巾X或1=8^/3.

跟踪训练8:解：(1)结论：AF=&AE.

理由：・・,四边形ABFD是平行四边形，

AAB=DF,

VAB=AC,

・・・AC=DF,

VDE=EC,

・・・AE=EF,

VZDEC=ZAEF=90°,

•••△AEF是等腰直角三角形，

AAF=V2AE.

故答案为AF=&AE_

(2)如图②中，结论：AF=&AE.

理由：连接EF,DF交BC于K.・・,四边形ABFD是平行四边形,

AAB/7DF,AZDKE=ZABC=45°,

.\ZEKF=180°-ZDKE=135°,EK=ED,

VZADE=180°-ZEDC=180°-45°=135°,

・•・ZEKF=ZADE,:ZDKC=ZC,

DK=DC,VDF=AB=AC,AKF=AD,

在aEKF和4EDA中，

'EK二ED

<ZEKF=ZADEy-AEKF^AEDA,

KF=AD

・・・EF=EA,ZKEF=ZAED,

AZFEA=ZBED=90o,

•••△AEF是等腰直角三角形，

・・・AF=&AE

(3)如图③中，结论不变，AF=&AE.

理由：连接EF,延长FD交AC于K.

VZEDF=180°-ZKDC-ZEDC=135°-ZKDC,

ZACE=(90°-ZKDC)+ZDCE=135°-ZKDC,

AZEDF=ZACE,VDF=AB,AB=AC,

・•.DF=AC在AEDF和AECA中,fDF=AC,

•NEDF二NACE

DE=CE

AAEDF^AECA,

・・・EF=EA,ZFED=ZAEC,

.\ZFEA=ZDEC=90°,

•・.△AEF是等腰直角三角形，

・・・AF=&AE

跟踪训练9证明：(1)①正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90o,

・・・ZBAD=ZCAF,

在ADAB与aFAC中，AD=AF,ZBAD=ZCAF,AB=AC,

.•.△DAB^AFAC(SAS),

・・・NB=NACF,

AZACB+ZACF=90°,

即BCLCF；故答案为：垂直；

②△DABg/kFAC,・・・CF=BD,

VBC=BD+CD,

・・・BC=CF+CD；

故答案为：BOCF+CD；

(2)CF_LBC成立；BCXD+CF不成立，CD=CF+BC.

(3)・・,正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90°,

/.ZBAD=ZCAF,

在aDAB与aFAC中，AD=AF,

/BAD二NCAF,AB=AC,

•••△DAB四△FAC(SAS),

JNABD=NACF,

・・・/BAC=90。,AB=AC,

/.NACB=NABO45。

.・・・NABD=180。—45。=135。,

/.ZBCF=ZACF-ZACB=135^Y5。=90。,

ACF1BC.VCD=DB+BC,DB=CF,

；・CD=CF+BC.

过A作AH_LBC于H,过E作EM_LBD于M,ENJ_CF于N,

VZBAC=90<>,AB=AC,

ABC=2AB=4,AH=2,

ACD=1,BCM,CH=2,ADH=3,

由⑵证得BC_LCF,CF=BD=5,

・・•四边形ADEF是正方形，

・・・AD=DE,ZADE=90°,

VBC±CF,EM1BD,EN1CF,

・・・四边形CMEN是矩形，

ANE=CM,EM=CN,

VZAHD=ZADC=ZEMD=90°,

/.ZADH+ZEDM=ZEDM+ZDEM=90-,

・・・ZADH=ZDEM,

在△ADH与△DEM中，ZADH=ZDEM,NAHD=NDME,AD=DE,

.•.△ADH^ADEM(AAS),

AEM=DH=3,DM=AH=2,

ACN=EM=3,EN=CM=3,

VZABC=45<>,

・・・NBGC=45。,

.'.△BCG是等腰直角三角形，

ACG=BC=4,

/.GN=1,

AEG=GN2+EN2

/.EG=^/W

跟踪训练10:解：,•'△ABE是等边三角形，

・・・NBAF=60°,AB=AE,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AB=CD=6,

・・・AE=AB=6,

VAF=3,

，AF=EF,

2

.•.SAABF=1SAABE=1*12-6=2^2.