专题2.1 一元二次方程根与系数的关系（压轴题专项讲练）（北师大版）（原卷版）

专题2.1一元二次方程根与系数的关系【典例1】已知关于x的二次方程x2（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；（2）a为何值时，方程只有一个正根．【思路点拨】（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式Δ=(-a)2-4(a2-4)>0，x₁+x₂＞0，（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．【解题过程】解：（1）根据题意得，方程x2∴Δ=-a2且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解由①②③组成的不等式组得，2＜a＜43故当2＜a＜43（2）Ⅰ当方程x2∴Δ=-a2且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解①得：a=433或a=﹣当a=433时，满足②、而a=﹣433不满足故当a=43Ⅱ当方程x2则Δ=-a2且x₁·x₂=a²-4＜0②解①得：-4解②得：-2＜a＜2，即-2<a<2Ⅲ当方程x2-ax+a则Δ=-a2且x₁·x₂=a²-4=0②x₁+x₂=a＞0③解①得：-4解②得：a=±2，由③a＞0即a=2综上所述：-2<a≤21．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（）A．﹣27＜a＜25 B．a＞25 C．a＜﹣27 D．﹣22．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程x2+2px-3p-2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足A．0 B．-34 C．-1 D3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②(m-1)2A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根为5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2-(m-2)x-m24=0两个实根x16．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x1，x2，且a＞b＞c，a+b+c＝0，设d=x1-x27．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+21和8．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成ax+h2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程x+12-2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x19．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”①方程x2-x-2=0是“倍根方程②若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使1x1-1x11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、（1）求|α-β|的值；（2）求αβ（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x312．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x的方程(k-1)x（1）求k的取值范围．（2）若x1，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，问：是否存在实数k13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1,α214．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6-a=0的根x1（1）两个根同为正根；（2）两个根均大于1；（3）x115．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．（1）若x12+（2）令T＝mx11-x116．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（1）求证：方程有两个实数根；（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1<x（3）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+3m+1x+3=0m≠0的两个根都是整数，a与a+bb≠0分别是关于x17．（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程（2）若关于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程（3）若关于x的一元二次方程x2+1-mx-m=0是“限根方程19．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：2(x-k)=x-4为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：(k-1)x（1）求k的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k-m=2，2k-（3）当方程②有两个实数根x1，x2满足x1+x20．（2022春·湖南邵阳·