基本初等函数知识点(一轮复习)

根本初等函数中学阶段〔初高中〕我们只要求掌握根本初等函数及其复合函数即可。什么是根本初等函数？就是那些：幂函数〔一次二次负一次〕、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质〔奇偶性、周期、单调等的性质〕，掌握某些函数的特殊技巧。一次函数初中的一个函数，Primary根本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下……画出以下解析式的图像：要求快y=x+1;(2)y=x-1(3)y=-x+1(4)y=-x-1(5)x=1(6)y=1(7)y=2x根据以下条件，设出一次函数的解析式：直线经过(1,2)点直线的斜率是2总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。二次函数二次函数的大局部内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质．1、二次函数的三种表示形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))；(3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0))求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已Eg：二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式．Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1.∴最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a.∵xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝7即(x1＋x2)2－2x1x2＝7∴4－eq\f(2(15＋a),a)＝7，∴a＝－6.2、二次函数在特定区间上的最值问题EX：函数y=x2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.解析:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0.答案:3 0进阶Eg：(建议一做)：函数f(x)=-x2+2mx+1-m在0≤x≤1时有最大值2,求m的值(1)假设(<=0)(2)假设(0<<1)(3)假设(>=1)key:m=-1orm=2解析：每种情况分别画出草图。原草图作法：求根得到与x轴的交点，c与y轴的交点，a看开口，估计着画。但是这里m为参数解不出根，c也未知。题目的条件是固定区间的最值，我们只要知道定义域内的增减性〔单调性〕即可，由于已经知道开口向下，所以只要分类讨论对称轴的位置即可。123问分别是分类讨论的三种情况进阶Ex：f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],假设f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.解析：所求二次函数解析式〔所以图像也〕固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.3、方法技巧：待定系数法，恒成立问题之别离变量Eg/Ex:二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m的取值范围．Ex：假设函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，且f(1)=3。X^2+m+2>f(x)在R上恒成立〔1〕求f(x)的解析式；(2)求m的取值。Key:f(x)=2x+1;m>0幂函数解析式，当a=1时，一次函数；当a=2时，二次函数；当a=-1时，反比例函数；当a=时，y=。幂函数只要求掌握a为某些特殊值的时候的图象即可。幂函数性质的推广(1)一般地,当α>0时,幂函数y=xα有以下性质:①图象都通过点(0,0),(1,1);②在第一象限内,函数值随x的增大而增大【也就是x>0单调递增咯】③在第一象限内,α>1时,图象是向下凹的;0<α<1时,图象是向上凸的;④在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展.(2)当α<0时,幂函数y=xα有以下性质:①图象都通过点(1,1)②在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凹的;【也就是x>0单调递减咯】③在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图象下落的速度越快.看指数判断图象前人归纳的结论：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否在第二、三象限内出现，要看奇偶性；在(0,1)上幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴(简记“指大图低〞)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．Eg：如上图，为幂函数y＝x^n在第一象限的图象，那么C1、C2、C3、C4的大小关系为()A．C1>C2>C3>C4B．C2>C1>C4>C3C．C1>C2>C4>C3D．C1>C4>C3>C2【解析】观察图形可知，C1>0，C2>0，且C1>1，而0<C2<1，C3<0，C4<0，且C3<C4.【答案】CEx:如上图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，那么()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1key:A比拟大小---利用幂函数的单调性比拟大小要注意以下几点：(1)将要比拟的两个数都写成同一个函数的函数值的形式．(2)构造的幂函数，要分析其单调性．(3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到．(4)假设直接不易比拟大小，可构造中间值，间接比拟其大小．〔中间值通常选用0、1〕幂函数的概念〔补加的〕指数函数指数函数是高中新学的，反响相同的底数a被自乘x次的结果。同时它也是理解对数函数的根底。1、指数运算能力*根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，．〔2〕分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．〔3〕分数指数幂的运算性质①如果是除法就相减咯。②③解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化繁为简.图像性质：自变量在指数的位置，注意跟幂函数区别(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如下图,那么0<c<d<1<a<b.在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小;即无论在y轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大.*另记，作x=1，从下往上，底数从小到大比拟大小比拟0.7a与0.8a的大小。利用上述的图象性质设函数y=0.7x与y=0.8x,那么两个函数的图象关系如图.当x=a≥0时,0.8a≥0.7a;当x=a<0时,0.8a<0.7a.[方法与技巧]对于不同底而同指数的指数值的大小的比拟,利用图象法求解快捷而准确.*假设底数与指数均不同,那么可用中间值1Eg：比拟30.4与0.43的大小.[解]因为y=3x是增函数,所以30.4>30=1,又y=0.4x是减函数,所以0.43<0.40=1,故30.4>0.43.五、对数对数其实是指数的逆过程。指数函数是相同的底数a被自乘x次之后的结果；对数就是知道了这个结果和底数，求一下究竟自乘了多少次。1、(1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)对数性质①零和负数没有对数,即N>0;②1的对数为0,即loga1=0(a>0且a≠1);③底的对数等于1,即logaa=1(a>0且a≠1).对数恒等式:②logaab＝b(a>0，且a≠1，b∈R)(4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为lgN.(5)自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,N的自然对数logeN简记作lnN.2、对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么运算能力在对数运算中，要注意以下几个问题：(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法那么化简合并．(2)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．图象性质f(x)=logax对数函数的图象:经过点(1,0),且图象都在第一､四象限;都以y轴为渐近线(当0<a<1时,图象向上无限接近y轴;当a>1时,图象向下无限接近y轴)无论在x轴的上侧还是下侧,底数随顺时针方向变大.*另记，作y=1,从左往右，底数从小到大。Eg：以下图中曲线C1、C2、C3、C4是函数y＝logax的图象，那么曲线C1、C2、C3、C4对应的a的值依次为()注意第一象限内最左是C3，第二是C4，接着才是C1、C2A．3、2、eq\f(1,3)、eq\f(1,2)B．2、3、eq\f(1,3)、eq\f(1,2)C．2、3、eq\f(1,2)、eq\f(1,3)D．3、2、eq\f(1,2)、eq\f(1,3)大小比拟Eg：〔如上图〕假设loga2<logb2<0，那么以下结论正确的选项是()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a>b>1D．b>a>1key：BEx：(2023·天津卷)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，那么()A．a<c<bB．b<c<aC．a<b<cD．b<a<c【解析】由于b＝(log53)2＝log53·log53<lo