2022年河南省驻马店市正阳县高级中学高考数学全真模拟密押卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(幻=1(A-0),且关于％的方程/(幻+%-。=0有且只有一个实数根，则实数。的取值范围

Inx(x>0)

().

A.[0,+oo)B.(l,4w)C.(0,+oo)D.[-oo,l)

2.已知随机变量X的分布列如下表:

X-101

Pabc

其中a,b,c>0.若X的方差o(x)<g对所有ae(0,l-8)都成立，贝!|()

,1,2,1,2

A.b<-B.b<-C.b>-D.b>-

3333

3.若a=log231=log/,c=OT,则实数。，4c的大小关系为()

A.a>h>cB.c>a>hC.h>a>cD.c>b>a

jr

4.如图，四面体ABC。中，面9和面BCQ都是等腰直角三角形，AB=6,NBAD=NCBD=一,且二面角

2

A-BO-C的大小为7,若四面体ABC。的顶点都在球。上,则球。的表面积为()

B,D

22兀28万7tIn

A.---B.---C.-D.—

3323

4

5.已知i是虚数单位，则复数（）

（i-I）

A.2zB.-2iC.2D.-2

6.刘徽（约公元225年-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割

之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆

术的核心思想是将一个圆的内接正〃边形等分成〃个等腰三角形（如图所示），当〃变得很大时，这n个等腰三角形的

面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin2的近似值为（）

A.71GB.-兀-c.--71-Dc.71

90180270360

xvl是x+,<-2的（）条件

7.

X

A.充分不必要B.必要不充分c.充要D.既不充分也不必要

设数列{4}（〃wN'）的各项均为正数，

8.前〃项和为S“，log2«„+1=l+log2a„,且为=4,则$6=()

A.128B.65c.64D.63

9.sin80cos50°+cos140sin10=()

V3V31_1_

A.rc.——D.

2222

10.已知定义在R上的函数/（x）在区间［0,+8）上单调递增，且,y=/（x-l）的图象关于％=1对称，若实数。满足

/log/</（-2）,则。的取值范围是（）

27

11

—,+00C.

4)?4

ii.已知非零向量满足=o，I«1=3,且4与Q+B的夹角为:，则［5|=（）

4

A.6B.3亚C.2&D.3

12.复数z满足+=贝!|z=()

A.\-iB.1+zC.---/D.—+—i

2222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知平行于x轴的直线/与双曲线C：、-1=1（.〉0/〉0）的两条渐近线分别交于「，。两点，。为坐标原

点，若AOPQ为等边三角形，则双曲线。的离心率为.

14.在矩形ABCQ中，5C=4,M为8c的中点，将AABM和△DGW分别沿AM，DW翻折，使点8与。重合

于点P.若ZAPD=15O°，则三棱锥M-Q4D的外接球的表面积为.

15.（2%-十）展开式的第5项的系数为.

16.如图，直三棱柱ABC-44G中，/。18=90°,AC=AB=2,CG=2,尸是8G的中点，则三棱锥。一AG「

的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，三棱台ABC-EEG的底面是正三角形，平面ABC_L平面BCGb,CB=2GF,BF=CF.

（1）求证：AB工CG；

（2）若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.

18.(12分)已知函数/(x)=21n(x+l)+sinx+l,函数g(x)=at-l—〃Inx(R,Q。。0).

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)证明：当x2()时，,/(x)<3x+l.

⑶证明：当x>-1时，/(x)<(x2+2x+2)esinx.

19.(12分)已知函数/(X)=|4X-1|TX+2].

(1)解不等式/(x)>2；

(2)记函数y=/(x)+5|x+2]的最小值为3正实数“、〃满足a+6)=£求证：J竺型％2娓.

9Vah

尤=]+COS(D

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为'|.।(。为参数).在以坐标原点为极点，工轴

y-|sin(p\

的正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为。sin(6-看)=3.

(1)求曲线。的普通方程及直线/的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线/的距离的最大值与最小值.

x=，cosa

21.(12分)在直角坐标系中，曲线G的参数方程为0."为参数，0Ka<〃)，点"(0,—2).

y=-2+，sma

以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为夕=4&cos(e+?J.

(1)求曲线G的直角坐标方程，并指出其形状；

(2)曲线G与曲线C，交于A,B两点,若」一+二一=姮，求Sina的值.

\MA\\MB\4

22.(10分)已知｛4｝是等差数列，满足4=3,a4=12,数列也｝满足4=4,%=20,且也_%｝是等比数

列.

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)求数列｛2｝的前〃项和.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据条件可知方程/(x)+x-a=0有且只有一个实根等价于函数v=f(x)的图象与直线y=-％+。只有一个交点,

作出图象，数形结合即可.

【详解】

解：因为条件等价于函数y=/(x)的图象与直线y=-x+〃只有一个交点，作出图象如图,

由图可知，a>\,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题.

2.D

【解析】

根据X的分布列列式求出期望，方差，再利用a+8+c=l将方差变形为£)(X)=-4[a-mJ+1-4从而可以利用二

次函数的性质求出其最大值为1-^<|，进而得出结论.

【详解】

由X的分布列可得X的期望为£(X)=-a+c,

又a+Z?+c=l,

所以X的方差£>(X)=(―1+a—〃+(〃-c)~Z?+(1+a—c)2c

=（＜7-C）2（Q+Z?+C）-2（Q-C）2+Q+C

=一（。一。）2+Q+C

=一（2。-1+〃/+1—Z?

1—b

因为4£(0,l-b)所以当且仅当"亍时,Z)(X)取最大值1-。，

又。(x)vg对所有ae(O,l-切成立，

12

所以1一人〈彳，解得8之彳，

33

故选:D.

【点睛】

本题综合考查了随机变量的期望、方差的求法，结合了概率.二次函数等相关知识，需要学生具备一定的计算能力,属于中

档题.

3.A

【解析】

将“化成以4为底的对数，即可判断。力的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出反c与1的大小关

系，从而可判断三者的大小关系.

【详解】

依题意，由对数函数的性质可得"=log23=log49>h=log47.

又因为c=0.74<0.7°=l=log44<log47=/?,故a>b>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相

同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;

若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.

4.B

【解析】

分别取B。、CO的中点M、N,连接AM、MN、AN,利用二面角的定义转化二面角A-%)一。的平面角为

4AMN=石,然后分别过点M作平面河的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点。，在即AOMN中计算出

OM,再利用勾股定理计算出Q4,即可得出球。的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】

如下图所示，

分别取B。、CO的中点M、N,连接AM、MN、AN,

由于是以为直角等腰直角三角形，M为80的中点，」.AM，3。，

7T

•：NCBD=—,且加、N分别为BD、CO的中点，所以，MN/IBC,所以，MNLBD,所以二面角A—8£)—C

2

27r

的平面角为NAMN=§,

AB=AD=&，则BD=1AB，+A。。=2,且8C=2，所以，AM=^BD=1,MN=^BC=\,

•.•A4BD是以/胡。为直角的等腰直角三角形，所以，AABD的外心为点”，同理可知，ABCD的外心为点N,

分别过点M作平面曲的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点。，则点。在平面AVN内，如下图所示，

27rTCTC

由图形可知，4OMN=4AMN—4AMO=------=一，

326

广八“MN273

在及AQMN中，岖=cosNOMN=，

0M2-

2

所以，0A=y/OM2+AM2=—,

所以，球。的半径为R=应，因此，球。的表面积为4万R2=4万xj也T|=也.

3I3J3

故选：B.

【点睛】

本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等

题.

5.A

【解析】

根据复数的基本运算求解即可.

【详解】

442ic.

------=---=---=2/

(1-z)2-2i-i2----.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.

6.A

【解析】

360。]360°

设圆的半径为每个等腰三角形的顶角为^—，则每个等腰三角形的面积为:;/sin——，由割圆术可得圆的面积为

n2n

1•360°3P一3.360°2乃w1~、4口日-1*0

7ir9=n--r2sin----，整理可得sin----=—，当〃=18()时即可为所求.

2nnn

【详解】

由割圆术可知当〃变得很大时，这〃个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，

360°

设圆的半径为〃，每个等腰三角形的顶角为^一,

n

1360°

所以每个等腰三角形的面积为一户sin--,

2n

山”回的赤切石212•360°.360°2万

所以圆的面积为万广=〃•一厂sin----，即sin-----=——，

2nnn

所以当〃=180时，可得sin^=sin2o=2%=±,

18018090

故选:A

【点睛】

本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.

7.B

【解析】

利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】

设P：x<l对应的集合是A=(F,1),由x+,<—2解得x<0且XH—1

X

q：X+J<-2对应的集合是3=(-8,-1)U(-1,O)，所以8.A,

故X<1是x+'<-2的必要不充分条件，故选B。

x

【点睛】

本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。

设A={x|xep},B={x|xeq},

如果A=则P是4的充分条件；如果A则P是4的充分不必要条件；

如果BqA,则。是9的必要条件；如果3-A，则"是4的必要不充分条件。

8.D

【解析】

根据log2=1+log2an,得到log2an+i=log22an,即an+l=2an,由等比数

后再利用前"项和公式求$6.

【详解】

因为log2a“+|=1+log2q,,

所以log2all+}=log22an,

所以a.+t=2a”,

所以数列{q}是等比数列,

又因为四=4,

所以4=>％,

q(l-力ix(l-26)

3A=-------------=--------------=03・

6\-q1-2

故选：D

【点睛】

本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前〃项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9.D

【解析】

利用10'=90°-80°,140。=90'+50",根据诱导公式进行化简，可得sin80°cos500-cos80'sin50°,然后利用两角

差的正弦定理，可得结果.

【详解】

由80"=90°-10°,140=90°+50°

所以sin10"=sin(900-80)=cos10

cos140°=cos(90+50)=-sin50,

所以原式=sin80cos50°-cos80°sin50=sin(80-50)

所以原式=$皿30=’

2

故sin800cos500+cos140°sin10=—

2

故选：D

【点睛】

本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.

10.C

【解析】

根据题意，由函数的图象变换分析可得函数y=/(x)为偶函数，又由函数y=/(x)在区间［0,+8)上单调递增，分

析可得了log,«</(-2)y(|log2a\)</(2)|log2a\<2,解可得。的取值范围，即可得答案.

\2J

【详解】

将函数.y=/(x-l)的图象向左平移1个单位长度可得函数y=f(x)的图象，

由于函数y=/(x—1)的图象关于直线x=1对称，则函数y=/(x)的图象关于)'轴对称，

(\

即函数y=/(x)为偶函数，由/log］a</(-2),得川咋2硝</⑵,

V2>

••・函数y=/(x)在区间［。,+00)上单调递增，则|log24<2,得一2<log2a<2,解得;<。<4.

因此，实数”的取值范围是4).

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数y=/(x)的奇偶性，属于中等题.

11.D

【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.

【详解】

7T

解：非零向量九B满足4石=0,可知两个向量垂直，1—1=3,且£与£+五的夹角为:，

说明以向量2,E为邻边，Z+B为对角线的平行四边形是正方形，所以则|司=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.

12.C

【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.

【详解】

解.“"上(=&(J).&(—)=＞显i

■1+z1+z(l+z)(l-z)222

故选：C

【点睛】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

根据AOPQ为等边三角形建立a,b的关系式，从而可求离心率.

【详解】

据题设分析知，NR9Q=60。，所以2=tan60。，得b=6a，

a

所以双曲线C的离心率e=£='="『+3/=2.

aaa

【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立a/,c之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素

养.

14.68万.

【解析】

计算ZW*外接圆的半径「，并假设外接球的半径为R,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据

W面Q4O，/?2=f—+/即可得解.

I2）

【详解】

由题意可知，MPA.PA,MPA.PD,PDcP*P,

所以可得PM上面PAD，

设AADP外接圆的半径为「，

由正弦定理可得———=2r,即一--=2r,r=4,

sinZAPDsin150°

设三棱锥M-外接球的半径R,

因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点,

则R2=（掾）+/=1+16=17,

所以外接球的表面积为S=4%/?2=68万.

故答案为：68万.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.

15.70

【解析】

根据二项式定理的通项公式加=C：（2x）”（-或=）,可得结果.

【详解】

4

由题可知：第5项为7；二或3

故第5项的的系数为或［一；)-24=70

故答案为：70.

【点睛】

本题考查的是二项式定理，属基础题。

16.2

3

【解析】

证明回，平面A4CC，于是％-AGP=%-AGC=；%T£C，利用三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

A4,_L平面ABC,平面ABC,

AAtlAB,又ABJ_AC,A41cAe=A.

AB_L平面A4|GC,

•.•P是BQ的中点，

1111__2

V=V=V=222=

C-AtClPP-AtC,C2B-AlClC2'3'2'''3^'

2

故答案为：-

3

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)见证明；(U)亚

4

【解析】

(I)取8c的中点为。，连结。尸，易证四边形COFG为平行四边形，即CG//DF,由于=。为8。的

中点，可得到从而得到CG_L8C,即可证明CGL平面ABC,从而得到CG_LAB；(II)易证OB,DF,

D4两两垂直，以。8,DF,D4分别为x,V,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一盯z,求出平面BEG的

AEn

一个法向量为n=(x,y,z),设AE与平面BEG所成角为。,则sin(9=|cos(AE,力〉卜,即可得到答案.

【详解】

解：(I)取5c的中点为。，连结。尸.

由ABC—EFG是三棱台得，平面ABC//平面EFG,从而BC7AFG.

,:CB=2GF,：.CDgF,

•••四边形CDFG为平行四边形，，CGHDF.

,:BF=CF,。为8c的中点，

ADFLBC,：.CG±BC.

•平面ABC_L平面3CGF,且交线为BC,。6匚平面3。6尸，

二CG_L平面ABC,而ABi平面A8C,

ACG1AB.

(H)连结AO.

由AA3C是正三角形，且。为中点，则ADJ_8c.

由(I)知，CG_L平面ABC,CG//DF,

•'-DF1AD，DF1BC,

ADB,DF,D4两两垂直.

以DB,DF,0A分别为x,>,二轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一盯z.

设BC=2,则A((),0,A/5),E--,V3,-^-,Z?(l,0,0),G(—1,A/5,0),

\/

：.AE=--!-,V3,--\=(-2,73,0),.

、22J(22,

设平面BEG的一个法向量为n=(x,y,z).

D7=；-「—2x+s/3y=0

.,BGn=0,,

由｛一一可得，｛3「G.

BEn-0——x+J5yH———z=0

22

令x=6，则>=2,z=—1,/.H=^V3,2,—1j.

AE-nV6

设AE与平面BEG所成角为。，贝IIsin。-|cos(A£,n)|-

HH4

E

【点睛】

本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求

解能力，属于中档题.

18.(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

(D求出g(x)的定义域，导函数，对参数”、匕分类讨论得到答案.

(2)设函数/?(x)=/(x)—(3x+l),求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.

(3)由(1)可知xNl+lnx,可得(x+lpe而*Nl+ln[(x+l)2e"n[,即+221n(x+l)+sinx+l又

(x2+2x+2)esinv>(x+l)2esinv即可得证.

【详解】

(1)解：8(%)的定义域为(0,+纥)，g,(x)=aCb,

当a>0,b<0时，g'(x)>0,则g(x)在(0,+力)上单调递增；

当a>0,匕>0时，令g'(x)>0,得x>,，令g'(x)<0,得0<尤<2,则g(x)在(0,?上单调递减，在

上单调递增；

当。<0,0>0时，g'(x)<0,贝！lg(x)在(。,+8)上单调递减；

当。<0,6<0时，令g'(x)>0,得0<x<:,令g'(x)<0,得则g(x)在(0,\上单调递增，在

上单调递减；

/、/2

(2)证明：设函数〃(x)=/(x)-(3x+l),贝!|/z'(x)=-^j+cosx—3.

2

因为xNO,所以一1e(0,2],cosxe[-1,1],

贝！|/«x)W0,从而〃(x)在[0,m)上单调递减，

所以/2(x)=/(x)—(3x+l)</?(0)=0,即/(x)W3x+l.

(3)证明：当a=匕=l时，g(x)=x-l-lnx.

由(1)知，g(x)111kl=g(1)=0,所以g(x)=x-l—InxNO,

即xNl+lnx.

当X>—1时，(x+l)2>0,(x+l)2esinA>0,

则(x+炉/,>l+ln[(x+1)2esinx],

即(x+1)2eSg221n(x+1)+sinx+1,

又(f+2x+2产>(x+l)2es一,

所以+2x+2)esinA>21n(x+l)+sinx+l,

即/(x)<(x2+2x+2)esin\

【点睛】

本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.

19.(1)(一°°L'|)u('|，+8)；(2)见解析.

【解析】

(D分xW—2、—2<x<；、xz]三种情况解不等式/(x)>2,综合可得出原不等式的的解集；

(2)利用绝对值三角不等式可求得函数y=/(x)+5|x+2|的最小值为攵=9,进而可得出。+劭=1,再将代数式

9+,与。+6。相乘，利用基本不等式求得+'的最小值，进而可证得结论成立.

abab

【详解】

(1)当xW—2时，由/(x)>2,得1—4x+x+2>2,即1一3x>(),解得此时xW-2；

133

当—2<x<：时，由得1—4x—x—2>2,即5x+3<0,解得x<—:，此时—2<x<—；

455

当xN；时，由/(x)>2,得4x-l-x-2>2,即3x—5>0,解得x>；,此时x>：.

综上所述，不等式/(另>2的解集为18,一|[u1|,+8);

(2)y=y(x)+5|x+2|=|4x—l|+4|x+2|=|4x—l|+|4x+8|>|4x—l-(4x+8)|=9,

当且仅当(4x—l)(4x+8)<0时取等号，所以2=9,a+6b=l.

61(61V八\,36ba”-36ba-

所以—I—=—I—(Q+6Z?)=6H----1F6N12+2J=24,

ab\ab)ab\ab

当且仅当迎=3,即4=,，匕=，时等号成立，所以9+，224.

ab212ab

竺32而

所以即

\abab

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考

查运算求解能力，属于中等题.

,-5

20.(1)C:(%-l)~+y2=L(y>0),/:x-V3j+6=0(2)最大值万，最小值1

【解析】

X=1+COS(P

(1)由曲线C的参数方程〈,得85。=%-1,>=同11嫉两式平方相加求解，根据直线/的极坐标方程

y二|sin(p\

psin^-—j=3,展开有Qsin8^"_Qcoseg=3,

再根据y=。Sine,x=『cos，求解.

(2)因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.

【详解】

X=1+COS(P

(1)因为曲线C的参数方程为《

y=|sin^|

所以coso=x—l,y=卜皿同

两式平方相加得：(x—l)2+y2=L(yzo)

因为直线/的极坐标方程为夕sin[e-J=3.

61

所以psin^^--pcos^—=3

所以y^--x-=3

22

即x-也y+6=0

(2)如图所示:

圆心C到直线的距离为：d'=——=2

2

所以圆上的点到直线的最小值为：dmin=d'—r=l

2+35

则点M(2,0)到直线的距离为最大值：dnm=--=