空间向量基本定理+同步练习 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.1.2空间向量基本定理一、必备知识基础练1.如图,在空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,点N为BC中点,则MN=()A.12a-23b+12c B.-23a+C.12a+12b-12c D.23a+2.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若p=a+b,q=a-b,则()A.a,p,q是空间向量的一组基底B.b,p,q是空间向量的一组基底C.c,p,q是空间向量的一组基底D.p,q与a,b,c中的任何一个都不能构成空间向量的一组基底3.(多选题)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+A.1 B.0 C.3 D.14.若{a,b,c}构成空间向量的一组基底,则下列向量不共面的是()A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c5.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BA,BC,BB1上的点,且满足BA=3BE,BC=4BF,A.AB.BD1=3BE+4BFC.AC+BDD.EG6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CD1的中心,且AF=AD+mAB-nAA7.如图,已知平行六面体OABC-O'A'B'C',点G是侧面BB'C'C的中心,且OA=a,OC=b,OO'=c(1){a,b,c}是否构成空间向量的一组基底?(2)如果{a,b,c}构成空间向量的一组基底,那么用它表示下列向量:OB'8.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?二、关键能力提升练9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,OA=a,OB=b,OC=c,向量OD=xa+yb+zc,则x,y,z分别是()A.1,-1,2 B.-12C.12,-12,1 D.1210.[2023山西运城景胜中学高二阶段练习]如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是()A.AC1=6B.AC1⊥BDC.向量B1D.BD1与AC所成角的余弦值为611.[2023辽宁沈阳二十中高二阶段练习](多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点,若AB=a,AD=b,AA1=A.BM=12a-1B.AC1=a+bC.AC1的长为5D.cos<AB,A12.已知空间单位向量e1,e2,e3,e1⊥e2,e2⊥e3,e1·e3=45,若空间向量m=xe1+ye2+ze3满足:m·e1=4,m·e2=3,m·e3=5,则x+y+z=,|m|=13.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=7,∠BAD=π3,∠BAA1=∠DAA1=π4,则AC1的长为14.如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若AE=12OD+xOB15.已知非零向量e1,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.16.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分别为D1C1,C1B1的中点.求证:MN⊥AC1.17.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且A1E=2ED1,点F在对角线A求证:E,F,B三点共线.参考答案一、必备知识基础练1.BMN=ON−OM=12(OB+OC)-2.C假设c=k1p+k2q,即c=k1(a+b)+k2(a-b),得(k1+k2)a+(k1-k2)b-c=0,这与{a,b,c}是空间的一个基底矛盾,故c,p,q是空间的一组基底.故选C.3.ABC∵OM=xOA+且M,A,B,C四点共面,∴x+13+13=1,4.C对于A选项,因为b=12(b+c)+12(b-c),所以b+c,b,对于B选项,因为a=12(a+b)+12(a-b),所以a,a+b,对于C选项,假设a+b,a-b,c共面,则c=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,从而可知a,b,c共面,矛盾,C选项满足条件;对于D选项,因为a+b+c=(a+b)+c,所以a+b,a+b+c,c共面,D选项不满足条件.故选C.5.AB对于A选项,AC对于B选项,BD1=BA+BC+对于C选项,由图可知AC,BD不共线,则AC+对于D选项,EG=EB故选AB.6.12如图所示,可得AF=AD因为AF=AD+mAB-n所以m=12,n=-17.解(1)∵OA=a,OC=b,OO'=c∴{a,b,c}构成空间向量的一组基底.(2)OB'=OA+AB+BBBA'=BA+BB'=-AB+CA'=CO+OA+AA'=-OG=OC+CG=OC+128.解假设存在实数λ,μ,使p=λq+μr,则a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c.∵a,b,c不共面,∴2λ-7μ=1即存在实数λ=53,μ=13,使p=λq+μr,∴p,q,r二、关键能力提升练9.COD=OC+CD=OC+12BA=OC+110.B对于A选项,由题意可知AC1=AB+AD+AA1,则AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA∴|AC1|=6对于B选项,BD=∴AC1·BD=(AB+AD+AA1)·(AD−AB)=AB·AD+AD·AD+AA1∴AC1⊥BD,故选项B正确;对于C选项,B1C=B1B+BC=又0°≤cos<B1∴向量B1对于D选项,BD设BD1与AC所成角的平面角为θ,则cosθ=|cos<BD1,AC>|=BD111.BD对于A选项,BM=BB1+B1M=对于B选项,AC1=AB+AD+对于C选项,AC1=a+b+c,则|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a则|AC1|=对于D选项,AB·AC1=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=2,则cos<AB故选BD.12.834因为e1⊥e2,e2⊥e3,e1·e3=45,空间向量m=xe1+ye2+ze3满足:m·e1=4,m·e2=3,m·e3=5,所以解得x=0,y=3,13.98+562∵A∴|AC1|2=AC12=(AB+BC+CC1)2=|AB|2+|BC|2+|CC1|2+2|AB||BC|cosπ3+2|BC||CC1|cosπ4+2|AB||CC1|cosπ4=25+9+49+2∴AC1=|AC1|=14.解因为AE=AB+BC+CE=OB−OA+OC−OB−15.证明(证法一)令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0,则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.∵e1,e2不共线,∴λ易知λ=-5,μ∴A,B,C,D四点共面.(证法二)观察易得AC+AD=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5AB.∴由共面向量定理知,AB,AC又它们有公共点A,∴A,B,C,D四点共面.16.证明设AB=a,AD=b,AA1=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一组基底,我们用它们表示MN,AC1,则AC1=AB+BC+所以MN·AC1=(12a-12b)·(a+b+c)=12a·a+12a·b+12a·c-12b·