高一数学人教A版必修1教案第二章第一节指数函数第三课时

第二章第一节指数函数第三课时导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是——实数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂．思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))(1)我们知道eq\r(2)＝1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，是eq\r(2)的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，是eq\r(2)的什么近似值？(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？eq\r(2)的过剩近似值5eq\r(2)的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752……

5eq\r(2)的近似值eq\r(2)的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.41429.7384619071.414219.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562……(3)你能给上述思想起个名字吗？(4)一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如5eq\r(2)，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？(5)借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于eq\r(2)的方向，另一方面从小于eq\r(2)的方向．问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联．问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．讨论结果：(1)1.41,1.414,1.4142,1.41421，…这些数都小于eq\r(2)，称eq\r(2)的不足近似值，而1.42，1.415,1.4143,1.41422，…，这些数都大于eq\r(2)，称eq\r(2)的过剩近似值．(2)第一个表：从大于eq\r(2)的方向逼近eq\r(2)时，5eq\r(2)就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于5eq\r(2)的方向逼近5eq\r(2).第二个表：从小于eq\r(2)的方向逼近eq\r(2)时，5eq\r(2)就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于5eq\r(2)的方向逼近5eq\r(2).从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面5eq\r(2)从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于5eq\r(2)的方向接近5eq\r(2)，而另一方面5eq\r(2)从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于5eq\r(2)的方向接近5eq\r(2)，可以说从两个方向无限地接近5eq\r(2)，即逼近5eq\r(2)，所以5eq\r(2)是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示5eq\r(2)的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是5eq\r(2)一定是一个实数，即51.4<51.41<51.414<51.4142<51.41421<…<5eq\r(2)<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明5eq\r(2)是一个实数．(3)逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．(4)根据(2)(3)我们可以推断5eq\r(2)是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数．(5)无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))1为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？2无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？3你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳．对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a＝－1，那么aα是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱．(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s都是无理数)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s都是无理数)．③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r是无理数)．(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂．实数指数幂的运算性质：对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1利用函数计算器计算．(精确到0.001)(1)0.32.1；(2)3.14－3；(3)3.1；(4)3eq\r(3).活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按eq\x(xy)键，再按幂指数2.1，最后按eq\x(＝)，即可求得它的值；对于(2)，先按底数3.14，再按eq\x(xy)键，再按负号eq\x(－)键，再按3，最后按eq\x(＝)即可；对于(3)，先按底数3.1，再按eq\x(xy)键，再按3eq\x(÷)4，最后按eq\x(＝)即可；对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按eq\x(xy)键，再按eq\x(\r())键，再按3，最后按eq\x(＝)键．有时也可按eq\x(2ndf)或eq\x(shift)键，使用键上面的功能去运算．学生可以相互交流，挖掘计算器的用途．解：(1)0.32.1≈0.080；(2)3.14－3≈0.032；(3)3.1≈2.336；(4)3eq\r(3)≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n＋1)位能否进位即可．例2求值或化简．(1)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)；(2)(eq\f(1,4))(a>0，b>0)；(3)eq\r(5－2\r(6))＋eq\r(7－4\r(3))－eq\r(6－4\r(2)).活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(eq\r(3))2＋(eq\r(2))2,22＋(eq\r(3))2,22＋(eq\r(2))2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．解：(1)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))＝ab(ab)＝a－2bab＝ab＝eq\f(\r(3,b4),\r(6,a11)).点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示．(2)(eq\f(1,4))＝aa－b－b＝eq\f(4,25)a0b0＝eq\f(4,25).点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数．(3)eq\r(5－2\r(6))＋eq\r(7－4\r(3))－eq\r(6－4\r(2))＝eq\r(\r(3)－\r(2)2)＋eq\r(2－\r(3)2)－eq\r(2－\r(2)2)＝eq\r(3)－eq\r(2)＋2－eq\r(3)－2＋eq\r(2)＝0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用．例3已知x＝eq\f(1,2)(5－5－)，n∈N*，求(x＋eq\r(1＋x2))n的值．活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，5eq\f(1,n)与5－eq\f(1,n)具有对称性，它们的积是常数1，为我们解题提供了思路，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．x2＝eq\f(1,4)(5－5－)2＝eq\f(1,4)(5－2·50＋5－)＝eq\f(1,4)(5＋2＋5－－4)＝eq\f(1,4)(5＋5－)2－1.这时应看到1＋x2＝1＋eq\f(1,4)(5－5－)2＝eq\f(1,4)(5＋5－)2，这样先算出1＋x2，再算出eq\r(1＋x2)，代入即可．解：将x＝eq\f(1,2)(5－5－)代入1＋x2，得1＋x2＝1＋eq\f(1,4)(5－5－)2＝eq\f(1,4)(5＋5－)n，所以(x＋eq\r(1＋x2))n＝[eq\f(1,2)(5－5－)＋]n＝[eq\f(1,2)(5－5－)＋eq\f(1,2)(5＋5－)]n＝(5)n＝5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本习题2.1A组3.利用投影仪投射下列补充练习：1．化简：(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)的结果是()A.eq\f(1,2)(1－2－)－1B．(1－2－)－1C．1－2－D.eq\f(1,2)(1－2－)解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．因为(1＋2－)(1－2－)＝1－2－，所以原式的分子分母同乘以(1－2－)．依次类推，所以＝－1.答案：A2．计算(2eq\f(7,9))0.5＋0.1－2＋(2eq\f(10,27))－3π0＋9－0.5＋490.5×2－4.解：原式＝(eq\f(25,9))＋100＋(eq\f(27,64))－3＋3×49×eq\f(1,16)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(1,3)＋eq\f(7,16)＝100.3．计算eq\r(a＋2\r(a－1))＋eq\r(a－2\r(a－1))(a≥1)．解：原式＝eq\r(\r(a－1)＋12)＋eq\r(\r(a－1)－12)＝eq\r(a－1)＋1＋|eq\r(a－1)－1|(a≥1)．本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．4．设a>0，x＝eq\f(1,2)(a－a－)，则(x＋eq\r(1＋x2))n的值为__________．解析：1＋x2＝1＋eq\f(1,4)(a－a－)2＝eq\f(1,4)(a＋a－)2.这样先算出1＋x2，再算出eq\r(1＋x2)，将x＝eq\f(1,2)(a－a－)代入1＋x2，得1＋x2＝1＋eq\f(1,4)(a－a－)2＝eq\f(1,4)(a＋a－)2.所以(x＋eq\r(1＋x2))n＝[eq\f(1,2)(aeq\f(1,n)－a－eq\f(1,n))＋eq\r(\f(1,4)a\f(1,n)＋a－\f(1,n)2)]n＝[eq\f(1,2)(a－a－)＋eq\f(1,2)(a＋a－)]n＝a.答案：aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂2eq\r(3)的意义．活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5eq\r(2)的意义的过程，利用计算器计算出eq\r(3)的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算2eq\r(3)的过剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”2eq\r(3)的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．解：eq\r(3)＝1.73205080…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．eq\r(3)的过剩近似值2eq\r(3)的过剩近似值eq\r(3)的不足近似值2eq\r(3)的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.3172781831.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.3220182521.732043.32197221.7320513.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970911.732050793.321997045…………我们把用2作底数，eq\r(3)的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21．7,21.72,21.731,21.7319，…，同样把用2作底数，eq\r(3)的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：21．8,21.74,21.733,21.7321，…，不难看出eq\r(3)的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即eq\r(3)的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为2eq\r(3)，即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<2eq\r(3)<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说2eq\r(3)是一个实数，2eq\r(3)＝3.321997…也可以这样解释：当eq\r(3)的过剩近似值从大于eq\r(3)的方向逼近eq\r(3)时，2eq\r(3)的近似值从大于2eq\r(3)的方向逼近2eq\r(3)；当eq\r(3)的不足近似值从小于eq\r(3)的方向逼近eq\r(3)时，2eq\r(3)的近似值从小于2eq\r(3)的方向逼近2eq\r(3).所以2eq\r(3)就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319，…，和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321，…，按上述规律变化的结果，即2eq\r(3)≈3.321997.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))(1)无理指数幂的意义．一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．(2)实数指数幂的运算性质：对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．(3)逼近的思想，体会无限接近的含义．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本习题2.1B组2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多作练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))[备用习题]1．以下各式中成立且结果为最简根式的是()A.eq\f(a·\r(5,a3),\r(a)·\r(10,a7))＝eq\r(10,a4)B.eq\r(3,xy2\r(xy)2)＝y·eq\r(6,x5·y)C.eq\r(\f(a2,b)\r(\f(b3,a))\r(\f(a,b3)))＝eq\r(8,a7b15)D．(eq\r(3,5)－eq\r(125))3＝