高等数学86几何应用7方向导数梯度课件

复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因12/6/20231D8_6几何中的应用8_7方向导数12/6/20232D8_6几何中的应用8_7方向导数一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停12/6/20233D8_6几何中的应用8_7方向导数1.曲线方程为参数方程的情况切线方程12/6/20234D8_6几何中的应用8_7方向导数此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程说明:若引进向量函数,则

为r(t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.12/6/20235D8_6几何中的应用8_7方向导数例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在,故12/6/20236D8_6几何中的应用8_7方向导数2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为12/6/20237D8_6几何中的应用8_7方向导数则在点切线方程法平面方程有或12/6/20238D8_6几何中的应用8_7方向导数也可表为法平面方程12/6/20239D8_6几何中的应用8_7方向导数例2.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量12/6/202310D8_6几何中的应用8_7方向导数法平面方程即解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得12/6/202311D8_6几何中的应用8_7方向导数切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量12/6/202312D8_6几何中的应用8_7方向导数解法3.M(1,–2,1)=(1,–2,1)下面的解法相同。12/6/202313D8_6几何中的应用8_7方向导数二、曲面的切平面与法线

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则

在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为

在该点的切平面.

上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.12/6/202314D8_6几何中的应用8_7方向导数证:在上,得令由于曲线

的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.12/6/202315D8_6几何中的应用8_7方向导数曲面

在点M的法向量法线方程切平面方程12/6/202316D8_6几何中的应用8_7方向导数曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程12/6/202317D8_6几何中的应用8_7方向导数法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,12/6/202318D8_6几何中的应用8_7方向导数例3.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令12/6/202319D8_6几何中的应用8_7方向导数例4.确定正数

使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有12/6/202320D8_6几何中的应用8_7方向导数1.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结12/6/202321D8_6几何中的应用8_7方向导数切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.12/6/202322D8_6几何中的应用8_7方向导数空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线12/6/202323D8_6几何中的应用8_7方向导数空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量12/6/202324D8_6几何中的应用8_7方向导数思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)12/6/202325D8_6几何中的应用8_7方向导数证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此2.设f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为12/6/202326D8_6几何中的应用8_7方向导数3.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.12/6/202327D8_6几何中的应用8_7方向导数4.

证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒12/6/202328D8_6几何中的应用8_7方向导数第八章第七节一、方向导数

二、梯度三、物理意义方向导数与梯度12/6/202329D8_6几何中的应用8_7方向导数一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作12/6/202330D8_6几何中的应用8_7方向导数定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故12/6/202331D8_6几何中的应用8_7方向导数对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角12/6/202332D8_6几何中的应用8_7方向导数例1.求函数

在点P(1,1,1)沿向量的方向导数.解:向量l的方向余弦为12/6/202333D8_6几何中的应用8_7方向导数例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为12/6/202334D8_6几何中的应用8_7方向导数例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数12/6/202335D8_6几何中的应用8_7方向导数二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：12/6/202336D8_6几何中的应用8_7方向导数1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义12/6/202337D8_6几何中的应用8_7方向导数函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.12/6/202338D8_6几何中的应用8_7方向导数3.梯度的基本运算公式12/6/202339D8_6几何中的应用8_7方向导数例4.证:试证处矢径r的模,12/6/202340D8_6几何中的应用8_7方向导数三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.12/6/202341D8_6几何中的应用8_7方向导数例5.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.12/6/202342D8_6几何中的应用8_7方向导数内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为12/6/202343D8_6几何中的应用8_7方向导数2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.12/6/202344D8_6几何中的应用8_7方向导数思考题12/6/202345D8_6几何中的应用8_7方向导数思考题解答12/6/202346D8_6几何中的应用8_7方向导数12/6/202347D8_6几何中的应用8_7方向导数思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角

.2.P73题1612/6/202348D8_6几何中的应用8_7方向导数12/6/202349D8_6几何中的应用8_7方向导数曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量12/6/202350D8_6几何中的应用8_7方向导数2.P73题1612/6/202351D8_6几何中的应用8_7方向导数备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y