最全数学归纳法的应用

【课标要求】1．掌握数学归纳法的实质及归纳与猜想的关系．2．能运用数学归纳法解决实际问题．【核心扫描】1．数学归纳法与函数、数列、不等式及几何问题相结合．(重点)2．能通过“归纳—猜想—证明”解决一些数学问题．(难点)第一页第二页，共35页。自学导引数学归纳法用框图表示就是：第二页第三页，共35页。想一想：数学归纳法的两个步骤有何关系？

提示使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．第三页第四页，共35页。名师点睛1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．归纳→猜想→证明

(1)归纳、猜想和证明是人们探索事物发展规律的常用方法，在数学中是我们分析问题、解决问题的一个重要的数学思想方法．

(2)在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．

(3)在数学归纳法证明阶段体现的是有限和无限的转化，是一种极限的思想．第四页第五页，共35页。第五页第六页，共35页。第六页第七页，共35页。

用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．第七页第八页，共35页。第八页第九页，共35页。第九页第十页，共35页。第十页第十一页，共35页。证明①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．第十一页第十二页，共35页。卡盟

卡盟MicrosoftOfficePowerPoint，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等第十二页第十三页，共35页。

应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．第十三页第十四页，共35页。【变式2】

用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 证明

(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．

(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1

＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，

∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立．第十四页第十五页，共35页。第十五页第十六页，共35页。第十六页第十七页，共35页。第十七页第十八页，共35页。

用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．第十八页第十九页，共35页。第十九页第二十页，共35页。第二十页第二十一页，共35页。第二十一页第二十二页，共35页。第二十二页第二十三页，共35页。第二十三页第二十四页，共35页。第二十四页第二十五页，共35页。第二十五页第二十六页，共35页。【题后反思】探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．第二十六页第二十七页，共35页。第二十七页第二十八页，共35页。第二十八页第二十九页，共35页。第二十九页第三十页，共35页。第三十页第三十一页，共35页。