2022年山东济南、济南高三冲刺模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

Z,

1.复数4=2+"若复数马",在复平面内对应的点关于虚轴对称，则」等于（）

Z2

3+4i3+4zc-3+4z

A.---------B.-------C.-3+4/D.---------

555

2.已知复数z,满足z(3-4i)=5i,则目=()

A.1B.75C.73D.5

3.将函数/（X）=sin（2x-?）（XGR）的图象分别向右平移9个单位长度与向左平移，?（〃>0）个单位长度，若所得到

的两个图象重合，则〃的最小值为（）

D.兀

4.某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A（l,0）作x轴的垂线与曲线

y=e'相交于点3,过B作N轴的垂线与N轴相交于点C（如图），然后向矩形。钻C内投入M粒豆子，并统计出

这些豆子在曲线>=，上方的有N粒（N<M）,则无理数。的估计值是（）

NMM-NM

C.

M-NM-NNN

5+3,则不等式/(lgx)>3的解集为(

5.已知函数f(x)=log)

-8t)510,+8)

C.(1,10)D.历』5】』。)

6.某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中

抽取一个容量为〃的样本.若样本中高中生恰有3()人，则”的值为()

A.20B.50C.40D.60

71-1的图象上各点横坐标缩短到原来的;(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说

7,若将函数〃x)=2sinX+—

法正确的是()

A.函数g(x)在(0，。［上单调递增B.函数g(x)的周期是T

C.函数g(x)的图象关于点［4，()］对称D.函数g(x)在卜，力上最大值是1

8.设曲线y=a(x—l)-Inx在点(1,0)处的切线方程为y=3x-3,则。=()

A.1B.2C.3D.4

9.已知点A(x”yJ,8伍,必)是函数/(》)=々6+加的函数图像上的任意两点，且y=/(x)在点

(土孕处的切线与直线A5平行，贝!!()

I2\L))

A.。=0,人为任意非零实数B.b=0,。为任意非零实数

C.a、b均为任意实数D.不存在满足条件的实数a,b

10.若i为虚数单位，则复数z='±L在复平面上对应的点位于()

1+2;

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.已知过点P(U)且与曲线y=相切的直线的条数有().

A.0B.1C.2D.3

12.已知集合U={L2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},则(物)0(一)=()

A.{3,5,6}B.{1,5,6}C.{2,3,4}D.{1,2,3,5,6)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知{4}是等比数列，若汗=(4,2),6=(。3,3),且公〃石,则京言=.

14.已知函数2：二,若对于任意正实数玉，々，当，均存在以/(王),/伍)，/(不)为三边边长的三角形，

则实数k的取值范围是.

15.已知/(%)为偶函数，当x<0时，f(x)=e-x-x,贝!J/(ln2)=.

16.函数y=gsinxcosx+cos?x在区间^0,-yJ上的值域为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)一张边长为2帆的正方形薄铝板ABC。(图甲)，点E,尸分别在AB,上，且AE=CE=x(单

位：加).现将该薄铝板沿所裁开，再将拉ME沿。E折叠，ADCE沿。尸折叠，使ZM,。。重合，且AC重合

于点M，制作成一个无盖的三棱锥形容器。-MEE(图乙)，记该容器的容积为V(单位：〃?D,(注：薄铝板的厚

度忽略不计)

(1)若裁开的三角形薄铝板目有恰好是该容器的盖，求x,V的值;

(2)试确定x的值，使得无盖三棱锥容器。-MEF的容积V最大.

18.(12分)在/A3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos8=2a—0,

(I)求NC的大小：

(ID若CA--CB=2,求A4BC面积的最大值.

19.(12分)已知函数/(x)=x|x+a|,awR.

(1)若/(1)+/(-1)>1,求。的取值范围;

(2)若“<0,对,不等式/(x)4y+日3+y+£CL恒成立，求"的取值范围.

20.(12分)已知C(x)=|av+2|.

(1)当。=2时，求不等式/(x)>3x的解集；

2

(2)若/⑴,，M,/(2)„M,证明：

21.(12分)AA8C的内角A,B,C的对边分别为“，b,c已知+c?+6ac=b?，石sinA+cosB=().

⑴求cosC；

(2)若A4BC的面积S=2,求近

2

22.(10分)已知函数/(x)=lnx+/l(：—x}/leR).

(1)当x>l时，不等式/(x)<0恒成立，求丸的最小值；

(2)设数列N*),其前"项和为S,,,证明：S,,—S“+%>ln2.

nv74

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

Z.

先通过复数Z1,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到Z,=-2+『，再利用复数的除法求解」.

Z2

【详解】

因为复数Z1,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数4=2+i,

所以Z2=-2+i

斫以A=2+i=2+i(_2-i)=_3_4

所以z2-2+i(-2+z)(-2-z)55

故选:A

【点睛】

本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.

2.A

【解析】

首先根据复数代数形式的除法运算求出2,求出Z的模即可.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题.

3.B

【解析】

首先根据函数."X）的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合,

那么〃?+〃=上7，利用/（X）的最小正周期为不，从而求得结果.

【详解】

的最小正周期为万，

__*TC..

那么§+〃=左不（&GZ）,

于是〃=左万一鼻，

于是当攵=1时，〃最小值为g,

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.

4.D

【解析】

利用定积分计算出矩形OABC中位于曲线y=e，上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e的等式,

解出e的表达式即可.

【详解】

在函数y=e'的解析式中，令x=l,可得y=e,则点8（l,e）,直线8c的方程为了=0,

1

矩形OABC中位于曲线y=e'上方区域的面积为S=\（e-ex）dx=（ex-ex^=\,

0

矩形。48C的面积为lxe=e,

N1M

由几何概型的概率公式得一=一，所以，e=—.

MeN

故选：D.

【点睛】

本题考查利用随机模拟的思想估算e的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域

的面积，考查计算能力，属于中等题.

5.D

【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到且IgxwO,解不等式得解.

【详解】

由题得函数的定义域为(-8,0)U(0,+8).

因为/(—x)=/(x),

所以fM为(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，

因为函数丁==+1,y=二都是在(0,+8)上单调递减.

所以函数fM在(0,+00)上单调递减.

因为/⑴=3J(lgx)>3=〃l),

所以一l<lgx<l,且IgxwO,

解得卜(1,10).

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

6.B

【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

由题意，30=1500x---------------,解得“=50.

1500+1000

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

7.A

【解析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到g(x)解析式；利用整体对应的方式可判断出g(x)在［(),£］上单调递增，A正确;

关于点(一吉,-1］对称，C错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知3错误；根据正弦型函数在区间内值域的求

解可判断出最大值无法取得，。错误.

【详解】

将/(x)横坐标缩短到原来的g得：g(x)=2sin(2x+\-1

当仪°'旬时'2X+6€l«

•.♦sinx在仁马上单调递增.•.g(x)在(。⑤上单调递增，A正确；

g(x)的最小正周期为：T=§=".•.g不是g(x)的周期，8错误；

乙Z.

当尤=*时，2x+7=0,g5意=T

1ZOv'乙)

••e(月关于点［4，-1］对称，C错误；

当xe［吟)时，2x+?e^?，l).•.g(x)€(ai)

此时g(x)没有最大值，O错误.

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段

区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.

8.D

【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率，列出”的方程即可求解

【详解】

因为y'=a—J，且在点。，0)处的切线的斜率为3,所以。一1=3,即a=4.

故选：D

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题

9.A

【解析】

求得/(x)的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得。=0,〃为任意非零实数.

【详解】

依题意.尸(刈=袅+2笈，y=/(x)在点七^,./［正产J处的切线与直线A3平行，即有

%；-ayjx^-hx^

X2-Xy

直一")+小+所以

12(\+.八=«+直，由于对任意为,占上式都成立，可得。=0,方为非

々一%

零实数.

故选:A

【点睛】

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题.

10.D

【解析】

31

根据复数的运算，化简得到2，再结合复数的表示，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，根据复数的运算，可得z=［不=］<八<=丁=丁丁,

l+2z(l+2z)(l-2z)555

所对应的点为（I,-]卜立于第四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解

答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

11.C

【解析】

设切点为（xo，y0）,则yo=x03,由于直线1经过点（1,1）,可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处

的切线斜率，建立关于X。的方程，从而可求方程.

【详解】

若直线与曲线切于点（x（）,）（x（）H0）,则k==3==x/X。+1,

x。-1x0-l

又•.,y'=3x2,工y[x=Xo=3xo2,2xJ-X。一1=0,解得x0=l,x0

•••过点P（l,l）与曲线C:y=x，相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+l=0,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

12.B

【解析】

按补集、交集定义，即可求解.

【详解】

”={1,3,5,6},a8={1,2,5,6）,

所以（疫A）n（4）={1,5,6}.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

3

【解析】

若少=(%,2),5=(6,3),且&〃石,则3a2=2%,由{%}是等比数列，可知公比为q=^=T.

a2+a4_1_2

%+Q5q3*

2

故答案为

-1/

14.-2,4

【解析】

根据三角形三边关系可知/(%,)+/(x2)>/(x,)对任意的X,々，工恒成立，将/(X)的解析式用分离常数法变形，由均

值不等式可得分母的取值范围，则整个式子的取值范围由％-1的符号决定，故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数

值域,再讨论3转化为f(x1)+/(W)的最小值与/(X,)的最大值的不等式，进而求出k的取值范围.

【详解】

因为对任意正实数玉,马，受，都存在以/(玉)，/(W)，/(刍)为三边长的三角形，

故/(玉)+/(々)>/(七)对任意的工|,々,毛恒成立，

(+依+i(左一1)无_k-1

八卜x2+x+l~x2+x+r〜,令UX+L1N3,

X+1+—X

X

贝！Jy=l+B(tN3),

当％-1>0,即左>1时，该函数在［3,欣)上单调递减，则yq1,—；

当左=1,即左=1时,yw{l},

当％—1<0,即2<1时，该函数在［3,+co)上单调递增，则ye-,11,

2"+44+2

所以，当人>1时，因为2</(%1)+/(/)<——,1</(七)4亍，

所以号*42,解得1〈人<4；

当人=1时,〃芯)=/优)=/(玉)=1,满足条件；

当上<1时,^-</(%)+/(%)<2,且^^/(王)<1,

2A-+41

所以丁一Nl,解得—彳<女<1,

32

综上,—V%<4,

2

故答案为：一；,4

【点睛】

本题考查参数范围，考查三角形的构成条件，考查利用函数单调性求函数值域，考查分类讨论思想与转化思想.

15.2+ln2

【解析】

由偶函数的性质直接求解即可

【详解】

/(ln2)=/(-In2)=eln2-(-ln2)=2+ln2.

故答案为2+In2

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力

16.(0,|_

【解析】

由二倍角公式降幕，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域.

【详解】

/T.2G•c1+COS2X6.11.1/(n乃)

y=V3sinxcos+cosx=——sin2xd-------------=——sin2x+—cos2x+—=sin2x+—+—GU,—

-22222I6j2I2；

c71(n7万、.(-乃)(11

2x+—G—,则nlsin]2x+—e——,1,

6Vo6yI6J12_

./吟1七3-

..sin2XH—H—G0,—.

I6)2I2」

3

故答案为：(0,]].

【点睛】

本题考查三角恒等变换(二倍角公式、两角和的正弦公式)，考查正弦函数的的单调性和最值.求解三角函数的性质的

性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)x=l,V=|；(2)当x值为6—1时，无盖三棱锥容器。—Affi厂的容积丫最大.

【解析】

(1)由已知求得x=l,求得三角形EM的面积，再由已知得到平面EA",代入三棱锥体积公式求V的值;

(2)由题意知，在等腰三角形ME户中，ME=MF=x,则EF=&(2-x),cosZEMF=v,写出三角形面积,

x

求其平方导数的最值，则答案可求.

【详解】

解：(1)由题意，AEF8为等腰直角三角形，又AE=CF=x,

BE=BF=2-x(O<x<2),

•.••/话恰好是该零件的盖，；.》=1,则

由图甲知，ADYAE,CD±AF,

则在图乙中，MDVME,MDVMF,

又ME,平面EME,.•.用。，平面目0/，

==丽丽=gx；x2=；；

(2)由题意知，在等腰三角形/中，ME=MF=x,

则EF=72(2-x),cosNEMF='一「),

厂

•••S：=；fsinNEMF=了•/.

令f(x)=(S.F)2=^[X4-16(X-1)2J,

/.f\x)=x3-8(x-l)=(x-2)(x2+2x-4),

*/0<x<2,x=^-1.

可得：当XE(0,逐—1)时，r(x)>0,当xw(布-1,2)时，/Xx)<0,

二当X=逐-1时，SAEMF有最大值.

由(1)知，〃。_1平面£20~，

•・.该三棱锥容积的最大值为V=且仞0=2.

:•当x=时，./'(x)取得最大值，无盖三棱锥容器的容积V最大.

答：当x值为石-1时，无盖三棱锥容器D-MEF的容积V最大.

【点睛】

本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题.

18.(1)C=-(2)2G

3

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；

(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得出?的最大值，再由三角形的

面积公式计算即可得到所求的值.

详解：(1)2ccosB=2a-b,

2sinCcosB=2sinA-sinB，.二2sinCcosB=2sin(fi+C)-sinB,

..171

2sinBcosC=sinB,/.cosC=—,..C=—

23

(ID取BC中点。，则画一；丽|=2=|9，在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC)

____1____/\2,

(注：也可将文-q函1=2=19两边平方)即4=〃+£—竺

232

所以勿?48,当且仅当。=4力=2时取等号.

V422

此时5»品=(。戾皿0=乎。8，其最大值为

点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模

的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.

19.(1)»+；(2)[—3,0),

【解析】

(1)分类讨论1,-l<a<l,a>l,即可得出结果；

(2)先由题意，将问题转化为/。),四《(了+1+y+m%,,即可，再求出/(幻频.，y+.+y+m的最小值，解

不等式即可得出结果.

【详解】

(1)由/(1)+/(_1)>1得|。+1|一|。_1|>1,

若aW-1,则-l-a+a-1>1,显然不成立;

若一则l+a+a—l>l,a>-,即^VaVl；

22

若aNl,则l+a-a+l>l,即2>1,显然成立，

综上所述,a的取值范围是8

(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需/(X).<(y+丁+y+

4

当-a］时，/(x)=-x(x+a),所以/⑺…=/'［一句=］；

因为y+-■+y+~————,

4-242

2o

所以幺<士一0,解得一3WaWl,结合。<0,

442

所以a的取值范围是［—3,0).

【点睛】

本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式

的性质即可，属于常考题型.

20.(1)(-8,2)(2)见证明

【解析】

(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；

(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.

【详解】

(1)解：当a=2时，不等式/(x)<x可化为|2x+2|>3x.

2

当xW—1时，—2x—2>3x,x<--,所以x£—l；

当工>一1时，2x+2>3%,-l<x<2.

所以不等式/(x)>3x的解集是(-8,2).

（2）证明：由f（2）<M,得知可。+2|,M>\2a+2\,

3M=2M+M>2\a+2\+\2a+2\,

又2|a+2|+|2a+2|2|4-2|=2,

2

所以3M22,即MN—.

3

【点睛】

本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.

21.（1）cosA=,cosC=2占.；（2）b=5

105

【解析】

试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出siM,利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理

即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得无，利用正弦定理即可求出.

试题解析：（1）由/+/+血比=。2,得aX—b'—gac，

・•・cosi+i_-yjlac__V2

2ac2ac2

34

■:b<B<兀，：.B

由石sinA+cos5=0,#sinA=-^-cosB

----------X

5

3710

'cosA=Jl-sin2A

10

="c°sA+也sinAV23710&厢2石

cosC=cos—~A-------X---------------1---------X----------=-----------・

(2)由(1),得sinC=Jl-cos2c=叵

1125

由S=—acsinB及题设条件，得一acsin3=ac=5\/2-

2242

ab

abc

由,得Vio一正一方,

sinAsinBsinC

1025

.•・*¥"=孚x50=25,

h=5.

点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角

中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求

角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.

22.(1)(2)证明见解析.

【解析】

(1)=分/izL4V0三种情况推理即可；

v'%222

/II

(2)由(1)可得_*J，」.=_2：+1即in(〃+l)-ln〃〈针+引一万，利用累

加法即可得到证明.

【详解】

(1)由/(