2023届江苏省如皋市常青初级中学数学九年级第一学期期末调研试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列事件中，属于必然事件的是（

A.明天太阳从北边升起B.实心铅球投入水中会下沉

C.篮球队员在罚球线投篮一次，投中D.抛出一枚硬币，落地后正面向上

2.下列事件为必然事件的是（）

A.打开电视机，正在播放新闻B.任意画一个三角形，其内角和是180。

C.买一张电影票，座位号是奇数号D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

3.已知线段a是线段b,c的比例中项，则下列式子一定成立的是（）

abacacbc

A.­=—B.—=—C.—=—D.—=—

hcbacbab

4.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知ADEF的面积为S,则四边形ABCE的面积为（）

6.某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学

到的知识找到圆心O,再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1）,测量出AB=4分米；②将圆环进行翻折使点

B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、

D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度.

图1

小明计算橡胶棒CD的长度为（）

A.20分米B.2百分米C.30分米D.36分米

7.下列多边形一定相似的是（）

A.两个平行四边形B.两个矩形

C.两个菱形D.两个正方形

8.数据3,1,x,4,5,2的众数与平均数相等，则x的值是（)

A.2B.3C.4D.5

9.在比例尺为1:10000000的地图上，测得江华火车站到永州高铁站的距离是2cm,那么江华火车站到永州高铁站的

实际距离为（）km

A.20000000B.200000C.2000D.200

11.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3,贝!!BE：EC=（）

1

D.-

4

12.一元二次方程x2-2x+3=0的一次项和常数项分别是（)

A.2和3B.-2和3C.-2x和3D.2x和3

二、填空题（每题4分，共24分）

13.数据3000,2998,3002,2999,3001的方差为

14.代数式有意义时，x应满足的条件是

15.计算(GY+1的结果是.

16.在一次夏令营中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60。方向走了5切，到达3地，然后再沿北偏西30。方向

走了若干千米到达。地，测得A地在C地南偏西30。方向，则A、C两地的距离为km.

17.如图，A、8是。。上的两点，若NAOB=8(T，C是。。上不与点A、8重合的任一点，则ZACB的度数为

x5x-y

18.已知一=彳，则——二=___.

>3y

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，在AABC中，AC=4,CD=2,BC=8,点D在BC边上,

⑴判断AABC与ADAC是否相似?请说明理由.

⑵当AD=3时，求AB的长

20.(8分)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a#0)相交于A(；尚)和B(4,6),点P是线段AB上异于

A、B的动点，过点P作PC_Lx轴于点D,交抛物线于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当C为抛物线顶点的时候，求ABCE的面积.

(3)是否存在质疑的点P,使ABCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.

21.(8分)如图，已知抛物线旷=-；/+桁+4与x轴相交于A、8两点，与V轴相交于点C,若已知A点的坐标为

A(-2,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)求线段8c所在直线的解析式；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使AACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请

说明理由.

22.(10分)如图，抛物线7=.必+5“*+。(a<0)与x轴负半轴交于4、8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于

C点，。是抛物线的顶点，过。作ZWJLx轴于点"，延长交AC于点E,且SAX孙SAACB=9：16,

(1)求4、8两点的坐标；

(2)若△08//与△8E"相似，试求抛物线的解析式.

23.（10分）如图，AB是。O的直径，DOLAB于点O,连接DA交。O于点C,过点C作。。的切线交DO于点E,

连接BC交DO于点F.

（1）求证：CE=EF；

（2）连接AF并延长，交。O于点G.填空：

①当ND的度数为时，四边形ECFG为菱形；

②当ND的度数为时，四边形ECOG为正方形.

24.（10分）已知y-1与X成反比例，当X=1时，y=-5,求y与X的函数表达式.

25.（12分）某商业银行为提高存款额，经过最近的两次提高利息，使一年期存款的年利率由1.96%提高至2.25%,

平均每次增加利息的百分率是多少？（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）

26.为了配合全市“创建全国文明城市”活动，某校共1200名学生参加了学校组织的创建全国文明城市知识竞赛，拟

评出四名一等奖.

（1）求每一位同学获得一等奖的概率；

（2）学校对本次竞赛获奖情况进行了统计，其中七、八年级分别有一名同学获得一等奖，九年级有2名同学获得一等

奖，现从获得一等奖的同学中任选两人参加全市决赛，请通过列表或画树状图的方法，求所选出的两人中既有七年级

又有九年级同学的概率.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、

【解析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断.

【详解】A、明天太阳从北边升起是不可能事件，错误；

B、实心铅球投入水中会下沉是必然事件，正确；

C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，错误；

D、抛出一枚硬币，落地后正面向上是随机事件，错误；

故选B.

【点睛】

考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件.

2、B

【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件.

【详解】VA,C,D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意.

二一定发生的事件只有B,任意画一个三角形，其内角和是180。，是必然事件，符合题意.

故选B.

【点睛】

本题考查的是对必然事件的概念的理解.解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、

解决问题，提高自身的数学素养.用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件

是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3、B

【解析】根据比例的性质列方程求解即可.解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c,即b2=ac,那么b

叫做a与c的比例中项.

【详解】A选项，由f=2得，b2=ac,所以b是a,c的比例中项，不符合题意；

B选项，由;=£得22=k,所以a是b,c的比例中项，符合题意；

ba

ac

C选项，由3=：，得c2=ab,所以c是a,b的比例中项，不符合题意；

cb

hc

D选项，由一=:得b2=ac,所以b是a,c的比例中项，不符合题意；

ab

故选B.

【点睛】

本题考核知识点：本题主要考查了比例线段.解题关键点：理解比例中项的意义.

4、B

【解析】分析：由于四边形ABC。是平行四边形，那么AO〃8C,AD=BC,根据平行线分线段成比例定理的推论可得

△DEFS4BCF,再根据E是40中点，易求出相似比，从而可求户的面积，再利用ABCF与尸是同高的三

角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求AOb的面积，进而可求口ABC。的面积.

详解：如图所示，

■:四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

:.tJ)EFsABCF,

•c.c-(—)2

•,MDEF・"BCF_lBC，

又•・・£是AD中点，

DE^-AD^-BC,

22

:.DE:BC=DF:BF=1:2,

:,S.DEF-5=，=1：4,

:•S.BCF=4S,

又尸:BF=1:2,

S.DCF-2S,

S°ABCD=2(SA℃F+SABCF)=12s.

二四边形ABCE的面积=9S,

故选B.

点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

5、D

【解析】试题分析：：•.,kiVOVkz,

.••直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限.

故选D.

考点：1.反比例函数的图象；2.正比例函数的图象.

6、B

【分析】连接OC,作OE_LCD,根据垂径定理和勾股定理求解即可.

【详解】解：连接OC,作OE_LCD,如图3,

图1

•.•AB=4分米,

；.OC=2分米,

,••将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置,

二OE=」OC=1分米,

2

在RtAOCE中，CE=,"2_0石2=6分米，

...CD=26分米；

故选：B.

【点睛】

此题综合运用了勾股定理以及垂径定理.注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算.

7、D

【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案.

【详解】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，

两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，

两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，

两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，

故选D.

【点睛】

本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键.

8、B

【分析】先根据平均数的计算方法求出平均数，根据众数的确定方法判断出众数可能值，最后根据众数和平均数相等,

即可得出结论.

尤+3

【详解】根据题意得，数据3,1,X,4,5,2的平均数为(3+1+X+4+5+2)+6=(15+x)+6=2+——，

数据3,1,x,4,5,2的众数为1或2或3或4或5,

.*.x=1或2或3或4或5,

•.•数据3,1,x,4,5,2的众数与平均数相等,

x+3

.,.2+-------=1或2或3或4或5,

6

，x=-9或-3或3或9或15,

，x=3,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了众数的确定方法，平均数的计算方法，解一元一次方程，掌握平均数的求法是解本题的关键.

9、D

【分析】由题意根据图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可.

【详解】解：设江华火车站到永州高铁站的实际距离为xcm,根据题意得：

2：x=l：10000000,

解得：x=20000000,

20()()()000cm=2()0km.

故江华火车站到永州高铁站的实际距离为200km.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查比例线段，解题的关键是熟悉比例尺的含义进行分析.

10、A

【分析】根据圆周角定理和正切函数的定义，即可求解.

【详解】.../1与N2是同弧所对的圆周角，

.".Z1=Z2,

【点睛】

本题主要考查圆周角定理和正切函数的定义，把N1的正切值化为N2的正切值，是解题的关键.

11、A

【解析】试题解析：是平行四边形，

AD\\BC.

.♦.△BFESADFA

：.BE:AD=BF:FD=i:3.

:.BE:EC=BE:(BC—BE)=BE:(AD—BE)=1:(3—1)=1:2.

BE:EC=1:2.

故选A.

12、C

【分析】根据一元二次方程一次项和常数项的概念即可得出答案.

【详解】一元二次方程x2-2x+3=0的一次项是-2x,常数项是3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的一次项与常数项，注意在求一元二次方程的二次项，一次项，常数项时，需要先把一元

二次方程化成一般形式.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、2

【分析】先根据平均数的计算公式求出平均数，再根据方差公式计算即可.

0-2+2-1+1

【详解】数据3000,2998,3002,2999,3001的平均数是：x——-----------+3000=3000,

方差是：

[[(3000—3000)2+(2998—3000)2+(3002—3000)2+(2999-3000)2+(3001-3OOO)2]

=■^(0+4+4+1+1)

=2,

故答案为：2

【点睛】

本题考查了方差的定义，熟记方差的计算顺序：先差、再方、再平均.

14、x>8.

【解析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出X的取值范围.

1

【详解】解：代数式有意义，可得：x-8>0,所以x>8,

故答案为：x>8.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键.

15、4

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.

【详解】解：原式=3+1=4.

故答案为4

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键.

1073

3

【分析】由已知可得到AABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长.

【详解】解：如图.由题意可知，AB=5km,Z2=30°,NEAB=60。，Z3=30°.

VEF//PQ,

.*.Zl=ZEAB=60°

XVZ2=30°,

:.ZABC=180°-Z1-Z2=l80o-60°-30o=90°,

.'AABC是直角三角形.

又：MN//PQ,

.*.Z4=Z2=30°.

:.ZACB=Z4+Z3=30o+30°=60°.

AB击-1°百

AAC=--------------(km),

sinZ.ACBT丁

故答案为电2g.

3

【点睛】

本题考查了解直角三角形的相关知识，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答.

17、40°或140°

【分析】根据题意，可分为两种情况：点C正在优弧和点C在劣弧，分别求出答案即可.

【详解】解：当点C在优弧上，则

VZAO8=80°,

ANACB=-ZAOB=-x80°=40°；

22

当点C在劣弧上时，则

■:ZAO8=80°,

A/ADB=-ZAOB=1x80°=40°,

22

:.ZACB=180°-ZADB=180°-40°=140°；

工NACB的度数为:40。或140°；

故答案为:40°或14案.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，注意分类讨论进行解题.

c2

18、一

3

x-y

【解析】根据题意，设x=5A,y=3A,代入即可求得——-的值.

y

【详解】解：由题意，设x=5A,y=3k,

x-y5k-3k_2

y3k3

故答案为

【点睛】

本题考查了分式的求值，解题的关键是根据分式的性质对已知分式进行变形.

三、解答题(共78分)

19、(1)^CAD-^BA,见解析；(2)AB=6

【分析】(1)由这=3=2,如=刍=2可得=t以及NC=NC可证〜ACBA；

CD2AC4CDAC

(2)由AC4Q〜可得刊2=生=2,即可求出AB的长.

ABAC

【详解】解：(1)AC4D〜“784理由如下：

VAC=4,CD=2,BC=8,

.AC.。BC_8

CD2AC4

.ACBC

••=9

CDAC

又：NC=NC,

:.ACADXBA,

(2)V„CAD~^CBA,

.AB_BC

ADAC

:.AB-2AD=6；

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及运用，掌握相似三角形的判定及运用是解题的关键.

9

22

20、(1)J=2X-8X+6；(2)=18(3)存在，S^CE=-6m+21m-12(m为点P的横坐标)当m=1时,

【分析】(1)把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b,即可求得解析式；

(2)根据第(1)问求出的函数解析式可得出C点的坐标，根据C、P两点横坐标一样可得出P点的坐标，将ABCE

的面积分成aPCE与△PCB,以PC为底，即可求出4BCE的面积.

(3)设动点P的坐标为(m,m+2),点C的坐标为(m,2m2-8m+6),表示出PC的长度，根据

SAABC=；.PC.(4—XA)=3PC，构造二次函数，然后求出二次函数的最大值，并求出此时m的值即可・

【详解】解：⑴；A(g,|)和3(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，

L+4+6=*

422

16a+4。+6=6

a—2

解得：

b=—8’

.•.抛物线的解析式y=2》2-8x+6；

（2）•.•二次函数解析式为y=2f-8X+6,

顶点C坐标为（2,-2）,

VPC±x,点P在直线y=x+2上,

.•.点P的坐标为（2,4）,

:.PC=6；

V点E为直线y=x+2与x轴的交点,

.•.点E的坐标为（一2,0）

：S«BCE=S-PCE+S^PCB=——xE^+—^PC^xB-xc)=-^PC^xB-x£)

^BCE=-X6X6=18.

(3)存在.

设动点P的坐标是(m,加+2),点C的坐标为(利,2ITT-8m+6),

S-BCE=-"E)=3PC

PC=(+2)-(2加-8〃?+6)=-2m2+9m-4

\2

147

,•S"BCE3PC=-6/n2+27m-24=-6(n--+——

l4

78

V--<0,

2

.•.函数开口向下，有最大值

.•.当〃2==9时，△ABC的面积有最大值为1k47.

48

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用.（1）中考查利用待定系数发求函数解析式，注意求出函数解析式后要再验算一遍，因

为第一问的结果涉及后面几问的计算，所以一定要保证正确；（2）中考查三角形面积的计算，坐标系中三角形面积要

以坐标轴或者平行于坐标轴的边为底，如果没有的话要利用割补法进行计算；(3)在(2)的基础上，求动点形成的三

角形面积的最值，要设动点的坐标，然后构造相应的函数解析式，再分析最值.

21、(1)y——x2H—尤+4；(2)y=—x+4；(3)存在，(2,2)或(2,-2)或(2,0)或(2,一)

3332

【分析】(D将A点代入抛物线的解析式即可求得答案；

(2)先求得点B、点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；

(3)设出P点坐标，然后表示出4ACP的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等建立方程，求解即可.

【详解】(1)将点A(—2,0)代入丁=一：/+瓜+4中，

得：—g(—2『+(—2)/?+4=0,

4

解得：b=—,

3

1,4

二抛物线的解析式为y=—§/+§x+4；

(2)当x=0时，y=4,

.•.点C的坐标为(0,4),

1,4

当y=0时，一一x2+—x+4=0,

-33

解得：%=-2,=6,

.,.点B的坐标为(6,0),

设直线BC的解析式为y^kx+n,

将点B(6,0),点C(0,4)代入,得：

0-6k+n

4=〃’

k=--

：.<3,

n=4

2

工直线BC的解析式为y=--x+4,

(3)抛物线的对称轴为X=991=2,

2

假设存在点P,设P(2"),

则AC=422+4?=疝，

AP=J[2-(-2)]2+r=J16+J，

CP=722+(r-4)2=8f+20，

•••△ACP为等腰三角形,

①当AC=AP时，而=加7,

解之得：，=±2,

.,.点P的坐标为(2,2)或(2,-2)；

②当AC=CP时，商=〃一8+20,

解之得：，=0或，=8(舍去),

二点P的坐标为(2,0)或(2,8),

设直线AC的解析式为y=kx+b,

-2k+b=Q

将点A(-2,0)、C(0,4)代入得＜

b=4

k=2

解得：

b=4

...直线AC的解析式为y=2x+4,

当x=2时，y=2x2+4=8,

...点(2,8)在直线AC上，

:.A、C、P在同一直线上，点(2,8)应舍去；

③当AP=CP时，，16+产=，产—8+20,

解之得：t=-,

2

.,.点P的坐标为Q,!)；

2

综上，符合条件的点P存在，坐标为：(2,2)或(2,-2)或(2,0)或(2,；).

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，

方程思想及分类讨论思想等知识点.在(3)中利用点P的坐标分别表示出AP、CP的长是解题的关键.

22、(1)c=4a;(2)见解析.

【分析】(1)根据顶点公式求出D坐标(利用a,b,c表示)，得到OC,DH(利用a,b,c表示)值，因为5“四：

SAACB=9：16,所以得到DH:OC=9:16,得到c=4a,利用交点式得出A,B即可.

EHAH

(2)由题意可以得到累=等，求出DH,EH(利用a表示)，因为△03"与相似，得至11器=署，即可求

0CAOBHEH

出a(注意舍弃正值)，得到解析式.

【详解】解：(1)y=67(x2+5x+—)--^6z+c=«(x+-)2-—a+c；・01-不^a+C\

,25

=

VC(0,c).**OC=^c9DH=------Q+CVS^ABDZS^ACB9.16

:.-----=(——-6f+c);(-c)=9:16

OC4

:.y=ax2+5ax+4a=a(x+l)(x+4)・・・4T,0),B(—1,0)

.EH_AH

(2)①9：EH//0C：.AAEH^AACO

0CAO

：.EH=-\.5a

-4a4

VDH=-225awEHVADBH与△BE”相似

:.NBDH=NEBH,又•:NBHD=NBHE=90°；.△DBHsgEH

.DH_BH.一2.25。BH

BHEHBH-1.5。

：.a=+—(舍去正值)

3

5瓜4A/6

x2------x-------

【点睛】

此题主要考查了二次函数与相似三角形等知识，熟练运用待定系数法、相似三角形是解题的关键.

23、(1)证明见解析；(2)①30°；②22.5°.

【解析】分析：(1)连接OC,如图，利用切线的性质得Nl+N4=9()。，再利用等腰三角形和互余证明N1=N2,然后

根据等腰三角形的判定定理得到结论；

(2)①当ND=30。时，ZDAO=60°,证明ACEF和AFEG都为等边三角形，从而得至！JEF=FG=GE=CE=CF,则可判断

四边形ECFG为菱形；

②当ND=22.5。时，NDAO=67.5。，利用三角形内角和计算出NCOE=45。，利用对称得NEOG=45。，贝！jNCOG=90。，

接着证明AOECg/XOEG得到NOEG=NOCE=90。，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG

为正方形.

详解：(D证明：连接OC,如图，

D

VCE为切线，

AOC±CE,

/.ZOCE=90°,BPZ1+Z4=9O°,

VDO±AB,

AZ3+ZB=90°,

而N2=N3,

/.Z2+ZB=90°,

而OB=OC,

AZ4=ZB,

AZ1=Z2,

/.CE=FE；

(2)解：①当ND=30。时,ZDAO=60°,

而AB为直径，

AZACB=90°,

:.ZB=30°,

.*.Z3=Z2=60°,

而CE=FE,

AACEF为等边三角形，

/.CE=CF=EF,

同理可得NGFE=60。，

利用对称得FG=FC,

VFG=EF,

AAFEG为等边三角形,

AEG=FG,

.\EF=FG=GE=CE,

，四边形ECFG为菱形；

②当ND=22.5。时，ZDAO=67.5°,

而OA=OC,

AZOCA=ZOAC=67.5°,

:.ZAOC=180°-67.5o-67.5o=45o,

AZAOC=45°,

AZCOE=45°,

利用对称得NEOG=45。，

:.ZCOG=9