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文档简介
2024届河北省张家口市高三数学试题期末试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.网格纸上小正方形边长为1单位长度,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.1 B. C.3 D.42.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计),底面直径为cm,高度为cm,现往里面装直径为cm的球,在能盖住盖子的情况下,最多能装()(附:)A.个 B.个 C.个 D.个3.的展开式中,含项的系数为()A. B. C. D.4.已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.5.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称6.集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.327.若复数(为虚数单位),则的共轭复数的模为()A. B.4 C.2 D.8.函数的图象大致为()A. B.C. D.9.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势10.已知函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.11.已知双曲线:(,)的右焦点与圆:的圆心重合,且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.312.复数的虚部为()A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在平行四边形中,,,则的值为_____.14.已知集合,则_______.15.利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,利用等体积法进行推导,在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值,则这个定值是______16.现有5人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有____种.(用数字作答)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足,等差数列满足,(1)分别求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,数列的前n项和为证明:.18.(12分)已知函数(为实常数).(1)讨论函数在上的单调性;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)对任意,都有恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切,都有成立.20.(12分)已知数列,,数列满足,n.(1)若,,求数列的前2n项和;(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.21.(12分)已知函数,.(1)若不等式的解集为,求的值.(2)若当时,,求的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)若对任意x0,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1x2),证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
采用数形结合,根据三视图可知该几何体为三棱锥,然后根据锥体体积公式,可得结果.【详解】根据三视图可知:该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥,长度如上图所以所以所以故选:A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积,熟悉常见图形的三视图:比如圆柱,圆锥,球,三棱锥等;对本题可以利用长方体,根据三视图删掉没有的点与线,属中档题.2、C【解析】
计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm,得到不等式,计算得到答案.【详解】由题意,若要装更多的球,需要让球和铁皮桶侧面相切,且相邻四个球两两相切,这样,相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体,易求正四面体相对棱的距离为cm,每装两个球称为“一层”,这样装层球,则最上层球面上的点距离桶底最远为cm,若想要盖上盖子,则需要满足,解得,所以最多可以装层球,即最多可以装个球.故选:【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.3、B【解析】
在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值,即可求得含项的系数.【详解】的展开式通项为,令,得,可得含项的系数为.故选:B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.4、B【解析】
根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=﹣1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解:∵f(x)为偶函数;∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.5、C【解析】
依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【点睛】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.6、A【解析】
计算,再计算真子集个数得到答案.【详解】,故真子集个数为:.故选:.【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.7、D【解析】
由复数的综合运算求出,再写出其共轭复数,然后由模的定义计算模.【详解】,.故选:D.【点睛】本题考查复数的运算,考查共轭复数与模的定义,属于基础题.8、A【解析】
根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.9、D【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故A正确;在B中,全年中,2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力.10、B【解析】
可判断函数在上单调递增,且,所以.【详解】在上单调递增,且,所以.故选:B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定,指数函数与对数函数的性质,利用单调性比大小等知识,考查了学生的运算求解能力.11、A【解析】
由已知,圆心M到渐近线的距离为,可得,又,解方程即可.【详解】由已知,,渐近线方程为,因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,所以圆心M到渐近线的距离为,故,所以离心率为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题,涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的运算能力,是一道容易题.12、D【解析】
根据复数的除法运算,化简出,即可得出虚部.【详解】解:=,故虚部为-2.故选:D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据ABCD是平行四边形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【详解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案为:﹣1.【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,相等向量和相反向量的定义,向量数量积的运算,考查了计算能力,属于基础题.14、【解析】
由可得集合是奇数集,由此可以得出结果.【详解】解:因为所以集合中的元素为奇数,所以.【点睛】本题考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.15、【解析】
计算正四面体的高,并计算该正四面体的体积,利用等体积法,可得结果.【详解】作平面,为的重心如图则,所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为:【点睛】本题考查类比推理的应用,还考查等体积法,考验理解能力以及计算能力,属基础题.16、36【解析】
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法,在此条件下,计算甲不排在两端的排法,最后相减即可得到结果.【详解】由题意得5人排成一排,甲、乙两人不相邻,有种排法,其中甲排在两端,有种排法,则6人排成一排,甲、乙两人不相邻,且甲不排在两端,共有(种)排法.所以本题答案为36.【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特,计算量庞大,对结果的检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则,如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等,只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全,这样才能做到不重不漏,正确解题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)因为,所以,所以,即,又因为,所以数列为等差数列,且公差为1,首项为1,则,即.设的公差为,则,所以(),则(),所以,因此,综上,.(2)设数列的前n项和为,则两式相减得,所以,设则,所以.18、(1)见解析(2)【解析】
(1)分类讨论的值,利用导数证明单调性即可;(2)利用导数分别得出,,时,的最小值,即可得出实数的取值范围.【详解】(1),.当即时,,,此时,在上单调递增;当即时,时,,在上单调递减;时,,在上单调递增;当即时,,,此时,在上单调递减;(2)当时,因为在上单调递增,所以的最小值为,所以当时,在上单调递减,在上单调递增所以的最小值为.因为,所以,.所以,所以.当时,在上单调递减所以的最小值为因为,所以,所以,综上,.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题,属于中档题.19、(1)(2)((3)见证明【解析】
(1)先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性,最后根据函数单调性确定最小值取法;(2)先分离不等式,转化为对应函数最值问题,利用导数求对应函数最值即得结果;(3)构造两个函数,再利用两函数最值关系进行证明.【详解】(1)当时,单调递减,当时,单调递增,所以函数f(x)的最小值为f()=;(2)因为所以问题等价于在上恒成立,记则,因为,令函数f(x)在(0,1)上单调递减;函数f(x)在(1,+)上单调递增;即,即实数a的取值范围为(.(3)问题等价于证明由(1)知道,令函数在(0,1)上单调递增;函数在(1,+)上单调递减;所以{,因此,因为两个等号不能同时取得,所以即对一切,都有成立.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.20、(1)(2)①见解析②数列不能为等比数列,见解析【解析】
(1)根据数列通项公式的特点,奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,选用分组求和的方法进行求解;(2)①设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,得出;当n为偶数时,得出,从而可证数列,的公差相等;②利用反证法,先假设可以为等比数列,结合题意得出矛盾,进而得出数列不能为等比数列.【详解】(1)因为,,所以,且,由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,数列是首项和公比均为4的等比数列,所以;(2)①证明:设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,当n为偶数时,,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,综上,,原命题得证;②假设可以为等比数列,设公比为q,因为,所以,所以,,因为当时,,所以当n为偶数,且时,,即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾,所以数列不能为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的综合,数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法,数列综合题要回归基本量,充分挖掘题目已知信息,细思细算,本题综合性较强,难度较大,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.21、(1);(2)【解析】试题分析:(1)求得的解集,根据集合相等,列出方程组,即可求解的值;(2)①当时,恒成立,②当时,转化为,设,求得函数的最小值,即可求解的取值范围.试题解析:(1)由,得,因为不等式的解集为,所以,故不等式可化为,解得,所以,解得.(2)①当时,恒
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